La ciencia de la forma
Se pregona habitualmente de las ciencias designadas con el nombre común de Matemáticas, que, en virtud de su evidencia intuitiva, certeza y carácter sistemático, son principalmente adecuadas para despertar y educar el entendimiento y la fantasía, la penetración y la profundidad. Si esta alabanza fuese fundada hasta ese punto, se mostrarían dichas ciencias en su presente estado como un todo orgánico, verdaderamente científico, y en este respecto merecerían preferencia sobre todas las demás. Pero precisamente sucede lo contrario. Estimo el profundo y delicado sentido y la aplicación de un Platón, Euclides, Arquímedes, Newton, Leibnitz, Bernouilli, Euler, Segner y demás, que en el pasado y el presente se anudan a esta serie gloriosa; me complace el tesoro, ya casi inabarcable, de conocimientos matemáticos particulares: pero de estos juicios y sentimientos es independiente el juicio de la ciencia misma Matemática, según su propio ideal eterno, y como parte de la Ciencia entera.
La primera exigencia de toda construcción Orgánica de una ciencia, a saber, la exacta definición de su objeto y del modo de considerarlo, no ha sido hasta hoy cumplida en la Matemática. Un ensayo, aunque imperfecto, útil sin embargo en lo esencial, que hice, cuando joven, para determinar filosóficamente el concepto de la Matemática, esto es, en su eterna esencia (60), ha pasado sin razón desatendido para el público inteligente.
Defínese comúnmente la Matemática como ciencia de la cantidad o magnitud, y la cantidad se explica, diciendo que es todo lo que puede aumentarse o disminuirse, o en otros términos, que es grande (un cuanto, una cantidad) todo lo que puede agrandarse, y empequeñecerse explicación que en verdad nada dice, porque los conceptos de aumento y de disminución incluyen en sí ya el concepto de la cantidad, que es precisamente el que se intenta definir. Además, si fuese la Matemática la ciencia de la cantidad, debiera considerar a esta únicamente, y todas las cosas sólo bajo el respecto de la cantidad; pero no se mantiene en este límite. La llamada Combinatoria, en lo esencial, absolutamente nada tiene que ver con la cantidad; en la Geometría, se tratan las determinaciones específicas del espacio y sus límites, y en ellas también su cantidad, pero sólo entre otras propiedades; y otro tanto puede decirse de la Dinámica general. Por último, lo infinito, como infinito, no es grande ni pequeño (no es cantidad); y sin embargo se estudia, y con razón, en las Ciencias Matemáticas.
Algunas de estas existen hoy aisladas y formadas aparte, como puntos disgregados de cristalización, sin abrazarse en un todo superior, ni construirse conforme al plan unitario de su idea. No obstante, se las comprende todas juntas bajo el nombre de Matemáticas, y se habla de ellas como si existiese efectivamente una ciencia cuyas partes especiales, enlazadamente constituidas, fuesen la Aritmética, la Geometría, la Cronología, etc.
Pero en nuestra literatura no existe todavía en parte alguna este todo superior, como tampoco su parte general y más alta, a la cual únicamente correspondería el nombre de Matemática superior, usado hoy con suma impropiedad y vaguedad indefinida. Nadie, que yo sepa, ha expuesto aún la idea esencial de la Matemática toda, de la cual apenas se anuncia un oscuro presentimiento en lo pasado, a no ser en la doctrina de los números de Pitágoras, que tan desfigurada ha llegado a nosotros.
Y pues hasta aquí faltó la idea del todo, ¿cómo se hubiera podido conocer claramente lo que en él se comprende? Tan incompletos, tan indeterminados e inexactos como el concepto de la Matemática, son los de la Aritmética y de la Geometría. Se, dice de la primera, que es la ciencia de los números, y sin embargo, se trata en ella de relaciones incomensurables, esto es, que no son expresables por números; y en su parte llamada superior, el análisis infinitesimal, se habla de los órdenes de lo finito y de lo infinito, aunque lo finito de ningún modo se contiene numéricamente en lo infinito. El concepto completo de la Geometría tampoco ha sido todavía claramente expuesto; ni mucho menos se encuentra ella desenvuelta en su integridad, como un todo verdaderamente científico, según resulta ya del hecho de que, contra lo que es de rigor en toda ciencia, no se procede desde el espacio todo, tratando sus propiedades esenciales en general para venir de aquel a las partes, sino inversamente; ni se explica en realidad el carácter de las líneas y superficies curvas; ni en las construcciones finitas jamás se consideran como infinitas, esto es, como íntegras y totales, las líneas rectas que en ellas aparecen, de lo cual se deducen siempre, no obstante, las demostraciones primarias de los teoremas y todas las proposiciones auxiliares esenciales para ello; ni las líneas curvas se definen por su naturaleza intrínseca, mas sólo mediante líneas rectas, tiradas a ellas desde fuera: ejemplo de lo cual da la común definición del círculo, que no ve en él la uniformidad de la curvatura, sino la equidistancia del centro.
Según algunos filósofos, corresponde la Aritmética al tiempo, como la Geometría al espacio; pero la Aritmética, o teoría general de la cantidad, tanto tiene que ver con el tiempo como la Geometría, esto es, absolutamente nada. En ella, se descuida la doctrina de la relación, y menos todavía se hace de esta doctrina base fundamental, cual se debiera, por lo que nunca se ha podido dar una definición exacta. universalmente aceptable y aplicable, de la multiplicación y división. La Ciencia de las relaciones incomensurables, que con tan fundadas esperanzas comenzó Euclides, no ha vuelto a tocarse desde Keplero; la de las cantidades opuestas carece de fundamentación y desarrollo. El Álgebra se trata sin conexión alguna científica con la Aritmética, y lleva la pena de esta separación anti-natural en la falta de esencial progreso que en ella se nota.
Una marcha más segura, regular, armónica y científica, no es posible en semejantes condiciones; y si ciertamente la aplicación de la Ciencia combinatoria es indispensable en el proceso de toda construcción científica, no basta sólo con esto: porque la íntima contemplación de la naturaleza del objeto mismo es únicamente la que debe fundar, determinar y dirigir dicha aplicación Todo lo que poseemos en las Ciencias Matemáticas, aun lo más moderno y novísimo, se halla en un estado tan fragmentario, que quizá de él ha tomado pie un filósofo, por lo demás muy estimable, para afirmar que la Matemática no puede ser tratada sistemáticamente.
Lo que habitualmente se encomia como método sintético o analítico, no es sino un pensar en círculo (aunque muy agudo), sin vista del todo y de las partes en él, y sin proporcionada y medida circunspección: una sombra de la indagación y exposición verdaderamente científicas, en la que ni el entendimiento ni la fantasía obran con legitimidad, ni son guiados y regidos por la idea del objeto y por los principios superiores, sintéticos y orgánicos de la formación de la Ciencia (el llamado organon general).
En orden a lo particular, dominan ciertos prejuicios fundamentalmente corruptores. Así en los elementos, cuyo concepto vacila completamente, no se presenta la idea de lo infinito; y sin embargo, lo infinito de cualquier género es el todo, lo finito su parte, y el conocimiento científico camina siempre del todo a la parte, y forma cada una de estas con sus restantes coordenadas en el todo. En vano se apela a Euclides, que, al no haberse propuesto demostrar la teoría de las paralelas por medio de construcciones finitas, conoció ya perfectamente que, sin la intuición del infinito, es también imposible la de lo finito. Esta negligencia de la marcha que prescribe la naturaleza misma de las cosas, se paga con la confusión de los conceptos y los signos, y con la falta de sentido en las afirmaciones del llamado Cálculo diferencial e integral, que aun los más celebrados analistas acaban por confesar no es más que un cálculo de ceros. Pero si la doctrina de la relación se tratase, como corresponde, al frente de las Matemáticas y en general, no meramente reducida a teoría de las relaciones cuantitativas; y si la de los diferentes grados del límite (la teoría de los diversos órdenes de cantidades), cuya fácil comprensión ha mostrado ya Schultz en muchos escritos llenos de talento, precediese a la doctrina general de la cantidad, esos llamados cálculos superiores serían tan inteligibles como cualquiera otro principio, podrían hacer esenciales progresos, y nuevos horizontes se abrirían en las más elevadas y fecundas regiones de la Aritmética.
No es menos imperfecto el lenguaje matemático que poseemos. El estado interno de estas ciencias, todavía casi en la infancia, se evidencia ya desde luego en los nombres, inconvenientes y en su mayor parte exóticos, del todo y sus ramas, como son: Matemática (o Matemáticas), Aritmética, Geometría, Cálculo de lo infinitamente grande y lo infinitamente pequeño; así como en los términos técnicos de sus diversas partes, recogidos sin plan ni sistema de toda clase de lenguas: términos impropios los más ya desde su origen, otros inadecuados hoy en el progreso de la ciencia, y a menudo tan embarazosos como los de cuerpo geométrico (en vez de espacio finito en todas direcciones), relación geométrica y aritmética, proporción, cantidad positiva y negativa (en vez de opositiva),paralelepípedo, Álgebra, etc., etc.
El lenguaje de signos matemáticos (en estricto sentido), aunque no tiene semejante, fuera de la notación musical, y contiene tantos elementos en todo tiempo utilizables, es sin embargo tan poco sistemático Y elegido tan sin conformidad a los principios del arte general de los signos, cuanto insuficientemente detallado y desproporcionado, no ya para las exigencias de una ciencia superior y verdadera, sino aun para el tesoro actual de conocimientos matemáticos. Así, por ejemplo, el signo 0 indica, ora nada, ora una llamada cantidad de orden inferior; así también a/b tan pronto denota una relación, como un cociente; los signos + y - no son naturales ni cómodos, el de es indeterminadísimo; nos faltan signos propios para los distintos grados del límite (órdenes de cantidades), y aun para las operaciones que a ellos se refieren para los diversos géneros de relaciones (y aun para la relación misma), especialmente para las distintas clases de relaciones incomensurables y cantidades irracionales, y para muchos otros conceptos y operaciones fundamentales. Todo esto impide indescriptiblemente el progreso de la ciencia, y es una manifestación de su imperfecto estado.
Tal falta de perfección científica debían sentirla ante todo los filósofos, a quienes está presente el ideal de la Ciencia con mayor pureza y más por completo que a los meramente matemáticos; y así se han dejado llevar fácilmente, y sin la necesaria circunspección, a un precipitado menosprecio de estas ciencias formales. Por desgracia, la mayoría de los matemáticos carecen de espíritu filosófico, y los más de los filósofos, por el contrario, de sentido y conocimientos matemáticos. Sin embargo, es innegable que la Filosofía y la Matemática, y todas las ciencias en general, han alcanzado sus más esenciales progresos por medio de hombres que reunieron ambas cualidades en sí, como Platón y Keplero, Descartes y Espinosa, Leibnitz y Newton; y que además, a cada progreso de la Filosofía, ha seguido un progreso semejante en la Matemática, y a cada paso de ésta otro análogo en las Ciencias naturales. Cierto que muchos matemáticos, especialmente jóvenes, ora formados en las escuelas modernas de Filosofía, ora dotados de superiores talentos, han reconocido y sentido lo mucho que falta a las Matemáticas actuales, y comparten conmigo la pura aspiración de completarlas, como un todo verdaderamente orgánico y armónico, proporcionadamente formado en su interior construcción.
Para todo el que pone el pie, siquiera en el dintel de esta esfera del conocimiento, debe ser evidente (si ha traído a reflexión el ideal de la Ciencia en su unidad) que su estado dista harto de ser científico; y sentirá vivo anhelo por cooperar a sus progresos. Hoy parece haber llegado un tiempo más favorable que diez años hace, para corregir aquellas imperfecciones; y un ensayo sobre este asunto puede prometerse ahora mejor acogida que antes: pues, tanto la reanimación superior de un espíritu científico más firmemente fundado, principalmente en Alemania, como, y muy en especial, los extensos progresos de la Ciencia de la Naturaleza, consumados a favor de este espíritu, han conducido en gran parte a los filósofos a estimar y respetar de nuevo a la Matemática.
¡Ojalá que matemáticos y filósofos, unidos en su acción social, reconozcan las faltas de las Ciencias matemáticas, que he señalado antes sólo parcial y superficialmente, y comiencen su reedificación orgánica en un todo sistemático! ¡Ojalá que, determinando con rigurosa precisión la idea, esto es, lo eterno, general, esencial y propio de la Matemática, y reconociendo en ella las ideas subordinadas de las Ciencias particulares que comprende, las construyan cada una en sí misma, y todas en armónico enlace en y con su principio y por medio de él, cada vez más claramente sabido. Así también esta ciencia, conforme al ideal de la Ciencia toda, será digna y brillantemente completada como parte esencial de ésta.
Por mi parte, intento exponer aquí el bosquejo de esta reedificación, en cuanto he podido indagarlo y representármelo con claridad ante mi espíritu; en él, todas las piedras de la antigua construcción deben conservarse y respetarse, reapareciendo sólo en una ordenación superior.
- I -
La primera cuestión que nos sale al encuentro, si queremos fundar la Matemática con verdadero valor científico, es la de conocer lo esencial y general (la idea) de toda ella. Esto se llama también determinar el concepto de una ciencia (definirla); aunque comúnmente se entiende por concepto la exposición de algunas notas generales, abstraídas de lo particular y con exclusión de esto, como tal particular; y por definición, la indicación de alguna propiedad peculiar del definido. Pero semejante procedimiento no alcanza a fundar ciencia, para lo cual ha de abrazarse necesariamente lo esencial del objeto, antes de sus interiores determinaciones y divisiones, como un todo que incluye y cierra en sí todas sus partes (como idea), reconociéndolo en todas sus propiedades distintivas.
Para conocer la idea de la Matemática, partamos ahora del concepto que comúnmente se da de ella como Ciencia de la cantidad; aunque la Ciencia en rigor y en su propio enlace pide una definición completa e inmediata.
La expresión habitual de que la Matemática «es la Ciencia de la cantidad» no puede designar toda esta ciencia, porque sólo se refiere, como ya antes vimos, a una parte especial de su asunto. Hagamos, pues, abstracción, en el concepto de la cantidad, de lo que le es peculiar, y consideremos aquello que en su ulterior determinación engendra este concepto, elevándonos a una idea superior, más general y comprensiva. Ahora bien, llamamos grande (cantidad, un cuanto) a todo aquello que es parte de algo ilimitado, pero limitable, y hasta donde lo es; y parte, pues, dentro de determinados límites (finito). Así, por ejemplo, el cubo es grande, es una cantidad, porque es y hasta donde es (como parte del espacio ilimitado en sí mismo, pero precisamente, por esto interiormente limitable) un espacio finito dentro de determinados límites. Por los límites, es toda cantidad grande (es cantidad); y juntamente por esto, y en relación con otras, grande o pequeña, y variable como tal, mediante la extensión o restricción del límite.
En la pura idea de la cantidad se halla, tanto una nota esencial-general, como también otra esencial-particular y característica. Lo propio de la cantidad como tal, aquello por que es cantidad, es la limitación: pues, quitado el límite, ya no hay cantidad (grandor ni pequeñez), ya no hay magnitud: por ejemplo, el cubo, una vez suprimidas (no meramente disminuidas en dimensión) las seis superficies que constituyen su límite, cesa de ser cantidad, deja de ser grande, o, en comparación con otra cantidad mayor, pequeño. Mas lo que hallamos, suprimido ese límite, dentro del cual tan sólo la cantidad es cantidad, no es la nada, sino, antes bien, aquello real, esencial y en sí ilimitado, pero limitable, en donde la cantidad, como tal, se formó por la posición del limite y como su interior parte: así, por ejemplo, sustraídos del cubo los límites, queda la intuición intelectual del total e infinito espacio, como parte (omnilateralmente limitada) del cual era el cubo una cantidad geométrica, era grande. Esto esencial que queda, sustraídos los límites a la cantidad, no es ya en sí mismo grande ni pequeño: v. g., el espacio mismo no es una cantidad, sino que contiene en sí cantidades, magnitudes mayores o menores, sólo mediante su interior limitación.
Notemos que esto esencial superior a la cantidad, y de que ésta proviene, es por completo homogéneo con ella, como su parte, de la cual únicamente se distingue por no ser limitado, mientras que ésta, según su concepto, lo es siempre. Así el espacio todo es, en su esencia, enteramente homogéneo con el cubo, como con cualquiera otro espacio finito (cualquiera cantidad geométrica): ambos son extensión continua en tres direcciones: sólo que el espacio mismo no tiene límite, y aquel determinado espacio particular, por el contrario, lo tiene.
Ahora bien: la esfera esencial en donde la cantidad nace, parece ser, según lo anterior, el todo, del que la cantidad es parte: de suerte que nada es grande ni pequeño, sino dentro de determinados límites, como parte de un todo, del cual sólo se distingue mediante aquéllos. Ser cantidad supone, pues, en sí ser parte: la cantidad es en todas ocasiones, y como tal, parte. Sin embargo, el concepto de la parte y el de la cantidad no son idénticos. Pues aunque aquello que es parte es por lo mismo grande (un cuanto, una cantidad), y viceversa, abraza, no obstante, este concepto otras notas todavía en sí, además de la magnitud o cantidad y es, pues, más comprensivo que el de ésta. Con efecto, la parte se muestra siempre grande, sólo en cuanto es y contiene algo de su todo esencial en determinados límites; o bien, expresándolo científicamente: la cantidad (magnitud) de cada parte consiste en la determinación de sus límites. El concepto de la parte aparece, pues, desde el de la cantidad; siendo ésta una de sus notas. Es además evidente que la idea de parte sólo es concebible dentro de la de todo, que por consiguiente supone: pues parte dice lo que, mediante límites, y en ellos, es de la esencia del todo (esto es, de lo mismo, del misino género) y se contiene en él. Por ejemplo, el concepto de un espacio particular, de un cubo, supone siempre el concepto del espacio entero (el espacio mismo, el espacio total), y aun la imaginación no puede construir un cubo (ni cualquiera otro espacio particular), sino porque es posible oponer seis superficies planas en la misma oposición (rectangularmente). El concepto de cantidad supone, pues, el de parte, y éste el del todo. Sin entender estos conceptos, no hay Ciencia posible de la cantidad.
- II -
Antes de pasar adelante, saldré al encuentro de algunas objeciones.
Del todo -se dirá- en cuanto ilimitado (por ejemplo, del espacio infinito) ninguna representación tenemos, no podemos pensarlo ni contemplarlo.
Para entender con claridad esto, atendamos a nosotros mismos y a las distintas operaciones espirituales del pensamiento. Tenemos razón, esto es, intuición de lo general y esencial de las cosas; entendimiento, con el que distinguimos lo característico de diferentes cosas, dentro de eso general y esencial; imaginación (fuerza de representación, fantasía), que nos ofrece siempre lo enteramente finito, lo completamente limitado y determinado en todas sus propiedades. La razon contempla, pues, lo general-esencial, como un todo; el entendimiento, lo general-esencial en sus interiores partes y propiedades; la imaginación nos presenta una parte omnilateralmente determinada, enteramente finita, un individuo (un singulum) de aquel mismo género del que entendimiento y razón perciben lo general. El espacio total, infinito, lo conocemos, pues, por la razón (racionalmente); cada espacio particular in genere (61), con el entendimiento (inteligible, intelectual mente); y cada espacio completamente finito, nos lo representamos con la imaginación (informado en la fantasía). El concepto del todo es, por tanto, un puro concepto de razón, irrepresentable por la fantasía, mas no por esto incapaz de ser pensado, pues que el pensar no es operación meramente de la fantasía, sino de la razón y del entendimiento juntos con ella. En sí, es el todo antes y sobre la parte: por lo que la ciencia del todo es también antes y sobre la de la parte (de la particularidad), y ésta más comprensiva que la ciencia de la cantidad o del cuánto.
Se objetará, además, que el concepto del todo no excluye la limitación, pues cada cosa finita es también un todo y debe considerarse como tal; por ejemplo, un cubo es un todo, ulteriormente divisible. Esto es exacto; pero el cubo finito es un todo porque y en cuanto se contiene en límites (pues que en esto es sólo parte); sino meramente porque y en cuanto él mismo es interiormente limitable. La ulterior limitabilidad de lo finito, de lo ya limitado, se funda así originariamente en que el todo mismo que encierra otros todos particulares, finitos (partes), es todo él constante y continuamente limitable: por lo cual todas sus partes necesariamente han de asemejársele en esto. Las partes, en cuanto son aún ulteriormente divisibles, y por tanto enteras (todos), debieran llamarse todos parciales, reservando el nombre de todo, sin más calificación, para aquél que no es ya parte a su vez de otro superior.
Ahora bien, pensando el todo, nos sale al paso el concepto de lo infinito, que ha tomado ya carta de naturaleza en las Matemáticas. Su nombre indica lo que ningún fin, ningún límite tiene; expresa, pues, una determinación meramente negativa, sin afirmar nada positivo. Pero lo que tiene límite, y por tanto está dentro de este límite, deja también fuera de sí algo homogéneo, de que no le divorcia el límite, sino que meramente lo distingue. La misma fantasía no puede representarnos lo limitado y finito sin ver más allá del límite algo homogéneo y determinable. Atendamos, si no, a nosotros mismos en la contemplación, por ejemplo, de una esfera; donde aparecen juntamente a la fantasía el lado acá del límite, la superficie esférica como espacio limitado; e inmediatamente enlazado a éste, el espacio indeterminado al lado allá. Todo lo finito, pues, y como tal, es parte, y por tanto y entre otras cosas, grande también (cantidad). Por el contrario lo infinito e ilimitado, y en cuanto lo es, nada homogéneo deja fuera de sí, y es, pues, verdaderamente total, absolutamente completo y entero, el todo de su género. Y vice-versa: lo que es el todo de su género, sin tener, pues, nada de éste nada homogéneo, fuera de sí, carece en lo tanto de límites, de fin, es infinito. Si, por consiguiente, como exigen las leyes del lenguaje y del pensamiento, entendemos por infinito algo esencial en cuanto es (y sólo en cuanto es) limitado, a saber, en cuanto ningún límite tiene, coincide en aquella cosa que decimos infinita esta nota negativa con la afirmativa de ser todo. O, en otros términos: lo esencial es todo entero: carece, pues, de límite: es, como tal, infinito; suponiendo el concepto (vista de razón, intuición racional) negativo de lo infinito, el concepto positivo del todo; y ambos, como conceptos puramente formales que son, el concepto de lo esencial (la esencia). Pues siempre se piensa algo esencial (algo de ser), para pensar aquella propiedad, entre otras, que tiene de ser todo entero, y por tanto, según lo visto, ilimitado también o infinito.
El concepto del todo, así como el de la parte, contenida en él, son conceptos puramente formales, hemos indicado. En ellos, con efecto, se atiende solo a la omneidad, esto es, a la propiedad de ser todo lo de aquel género; pero no a lo esencial (la materia, el contenido, el fondo) de que esta propiedad se dice. Dicha propiedad de ser todo, o sea simple todeidad u omneidad (omneitas) puede y debe considerarse independientemente en sí misma, en el total organismo de las ciencias: dentro luego de esta idea de la todeidad, se contiene la de la propiedad de ser parte, la idea de la parte y las partes, de la parteidad, como lo que interiormente constituye al todo. Aunque esta ciencia formal del todo y la parte jamás ha sido todavía expuesta con independencia, resulta, sin embargo, claramente de lo dicho, que se supone para la ciencia de la cantidad; y aun que la Matemática viene implicando ya hasta cierto punto, desde su infancia, constantemente estos conceptos, por más que sin demostrarlos, y en verdad muy expresamente: de lo cual da ejemplo Euclides en la 9ª. definición del libro l.º -Hoy mismo, la Aritmética, la Geometría, y cada una de sus particulares Ciencias, no pueden prescindir de la teoría de lo infinito para sus construcciones finitas; y por esto intercalan dicha teoría, y por cierto de un modo sumamente anticientífico y parcial, sólo en aquellos lugares determinados donde no pueden dispensarse de ella, y no más que en esto.
Pero lo que es anterior, no en el orden del tiempo, sino en el de lo esencial -anterior en razón (natura, non tempore) -debe tratarse también antes en la Ciencia, es decir, en superior lugar en el sistema, y sustantiva e independientemente.
Síguese de aquí que la ciencia puramente formal del todo, como todo, y de la parte y las partes corno tales, ha de proceder en su generalidad, tanto a la Aritmética, cuanto a la Geometría y a cualquiera otra ciencia matemática.
- III -
No temo se diga que todo lo que antecede es una abstracción sutil; pues antes bien tengo por obligado, en una ciencia que por su naturaleza es formal, y abstracta por tanto, exponerla abstractamente, esto es, como tal ciencia formal. Precisamente lo que debe censurarse es que, en la Matemática, las abstracciones primarias y supremas que constituyen su puro y total objeto, no se hayan tratado todavía. Lo abstracto no es lo vacío, lo que carece de contenido; sino que toda abstracción ideal da una idea positiva. Así, abstrayendo de la materia (la materialidad, la corporalidad), se tiene la idea del espacio infinito; abstrayendo de la esencia (lo esencial), se tiene la idea de la total o infinita forma. Sólo aquél que en la elevada esfera de la más pura abstracción puede contemplar con toda claridad lo esencial mismo, y producir gratamente y con amor en esa atmósfera etérea, ha nacido para matemático, en el sentido científico de la palabra.
Una indicación de lo que acabamos de exponer, como asimismo de lo que ha de seguir, todo según los principios platónicos, hallamos en el incomparable Comentario de Proclo Diadoco sobre los Elementos de Euclides, en su segundo capítulo. «Si indagamos (dice) los principios fundamentales de la esencia y el objeto total de la Matemática, venimos a parar a las mismas ideas que se extienden a todo lo que es, y que todo lo producen de sí: esto es, al límite y lo ilimitado (lo infinito): pues de estas dos primordialidades, y según la inefable e incomprensible causación del Uno (del Ser), es formado y puesto todo lo que existe y por tanto la naturaleza de la Matemática.» etc. Y después de haber demostrado y explicado esto, concluye el capítulo con la afirmación, verdaderamente filosófica, de «que por tanto la Matemática tiene delante los mismos principios que todas las otras cosas que son.»
En mis Principios de Aritmética, ya citados, he determinado exactamente y en primer término, el concepto de la cantidad y el de la Aritmética, definiendo la primera: «la distinción de las cosas reales enteramente limitadas, finitas, que se encierran de modo absolutamente igual dentro de la misma infinita esfera;» y la segunda, como «la Ciencia general de la cantidad» (esto es, la ciencia de la cantidad en general, y comenzando a reconstruirla según esta idea. El concepto de la Matemática entera se halla también en aquel escrito de este modo: «la construcción sistemática y sintética de todas las formas (limites, accidencias) en que algo finito (completamente limitado, individual) de todas las esferas, es y llega a ser tal cosa finita, dentro de su infinita forma (62) «De aquí resulta que la Matemática no trata sólo de la cantidad, sino de todo lo limitable, de todas las formas, y por tanto de las determinaciones específicas de las mismas; así como la verdadera división de la Matemática y su relación con la Filosofía. Aquel escrito debía, según se decía en el prólogo, «preparar la necesaria reforma de la Matemática como ciencia filosófica y ofrecer una reflexión y exposición ordenada de la Aritmética.» En otra obra (63) he expuesto también con exactitud, en lo esencial, la idea de la Matemática y su relación con la Filosofía. Reitero aquí mi deseo que los matemáticos que cultivan seriamente su ciencia, examinen estos dos trabajos, especialmente el primero, y puedan utilizarlos para el ennoblecimiento y progreso de ella.
Volviendo a nuestro asunto, parece a primera vista que los conceptos del todo y la parte poco pueden dar de sí para fundar toda una ciencia de fecundo contenido. Pero cuánta riqueza, sin embargo, encierra en su generalidad, lo indicarán algunas consideraciones elementales.
Con el concepto de la omneidad o todeidad (la propiedad del todo como tal) se muestran al punto los de la unidad y la continuidad, no menos que el de la interior limitabilidad, donde entra, pues, el de límite, mediante el cual se reconocen los de la parte y la pluralidad. Aquí entra inmediatamente el concepto de la oposición (el tratado original del + y el -) y el de la igualdad, luego el de la relación y los de igualdad y desigualdad de relación, así como el de la serie, donde aparecen la idea general y la construcción de las operaciones aritméticas, como multiplicar y dividir, elevación a potencia, etc., y retrocediendo al concepto del límite resultan los diversos grados de limitabilidad, o la doctrina de los llamados órdenes de cantidades: tratados que tienen la misma extensión que la Ciencia combinatoria o la Aritmética, son muy anteriores y superiores a estas dos Ciencias, y dan a la Matemática su primera y más elevada parte esencial y su indestructible base orgánica. Pues lo que en esta Matemática general (única que merece el nombre de superior, en el verdadero sentido) se contiene con la mayor generalidad, mas no por esto con menor evidencia, aparece de nuevo con ulterior determinación y limitación en toda ciencia matemática subordinada (en la Aritmética y en la Combinatoria), así como en toda ciencia matemática especial, concerniente a determinadas formas del Mundo (v. g., en la Cronología, la Geometría, la Mecánica). Así, por ejemplo, la naturaleza esencial de la relación, que se considera en la Matemática general, se muestra luego en la Aritmética como relación de cantidad, y en la Geometría más limitadamente aún, como relación de cantidad de espacio.
Hemos encontrado un concepto que es superior al de la cantidad, y hemos mostrado el concepto de ésta como una determinación ulterior e interior de aquel, como una de sus esferas. Este concepto es el de todo, como todo, o la todeidad, coordenado con el de infinito; y como contenido en el concepto del todo, hemos hallado el de la parte, como tal parte, o la parteidad (si se nos permite esta palabra).-La ciencia, meramente formal, de la pura forma de ser el todo y la parte, pertenece, pues, al círculo de las ciencias matemáticas; y es, por tanto, anterior y superior a toda ciencia matemática particular. Para entender claramente esto, consideremos preliminarmente la relación de todas las restantes ciencias matemáticas, y de sus ideas fundamentales con la Ciencia general del todo y de la parte y con las ideas de la todeidad y la parteidad.
Comúnmente se coloca la Geometría coordenada a la Aritmética. Notemos, sin embargo, que la Aritmética comprende la idea de la cantidad pura, abstraída de aquello que la tiene como propiedad suya; y es sólo una construcción general, una organización y formación interna de aquella idea: así es que la Aritmética aparece como una ciencia completamente universal, comprensiva de cuanto existe, y que admite por tanto aplicación a todas las cosas en cuanto son cantidades (en cuanto tienen magnitud, en cuanto son grandes o pequeñas). Ahora bien, la Geometría desarrolla la idea de una forma particular determinada: el espacio; y teniendo esta forma, entre otras propiedades, la de ser cantidad continua, aparece la Geometría, en tanto que necesita de la aplicación de la Aritmética (como ciencia superior) subordinada a ésta, no como coordenada: puesto que la presupone en su objeto, no menos que en su formación y estudio. Sin embargo, como el espacio es un todo, es decir, un infinito relativo, nada de su género deja fuera de sí; y como el espacio total (como forma genérica) es, en virtud de su esencia, divisible en partes, mediante límites genéricos también (en espacios parciales inferiores, los llamados cuerpos finitos en el sentido geométrico), hallamos aquí igualmente expresados en el espacio los conceptos del todo y de la parte (sobre y antes que la propiedad cuantitativa del espacio finito), como en el género o forma determinada, en que se da el todo uno corpóreo, y en él un mundo de partes interiores, como otros tantos todos parciales, cada vez más y más divisibles. La forma superior de la todeidad y la parteidad contiene en sí pues, también la forma determinada del un toda corpóreo (el espacio), con el mundo de sus partes. La peculiar determinación del espacio, como forma particular, es la continuidad de la contigüidad y la exterioridad recíprocas (64). De aquí que el objeto de la Geometría, y por tanto esta ciencia son superiores al objeto y ciencia aritméticos; pudiendo la Geometría, por consiguiente, tratarse también antes de la Aritmética y sin ella, sin presentarla como aplicación de la ciencia de la cantidad; es decir, sin atender a la subordinada propiedad de ser cantidad que tiene también el espacio finito. La Geometría, como la doctrina del espacio puro, se relaciona con la ciencia general de la forma del todo y la parte, como una ciencia particular con la general correspondiente, y en lo tanto, como una ciencia inferior con su superior. Y puesto que la Aritmética, como pura doctrina general de la cantidad, es también parte interior subordinada de la ciencia total del todo y la parte, la Geometría se relaciona también con la Aritmética mediatamente, aunque sólo bajo un respecto, como lo particular con su general. La Geometría presupone, no sólo la Aritmética en parte, si que también y especialmente la ciencia general total y superior del todo y sus partes (de la todeidad y la parteidad), de que la Aritmética misma es sólo una esfera interior especial, entre otras muchas coordenadas. A la Geometría se aplica, pues, la ciencia general del todo y sus partes y, por consiguiente, también la Aritmética, entre otras, en tanto y al modo que lo permite la esencia determinada de esta forma peculiar, el espacio, que constituye su único objeto.
Esto concierne también a la Cronología pura como doctrina del tiempo: hay, pues, una relación análoga de ésta con la Aritmética y con la Ciencia superior de la forma del todo y sus partes. El espacio es sólo la forma (exterior o interior), de lo corpóreo; el tiempo, por el contrario, es la forma general de cuanto vive. Vida es la información constante de un ser cualquiera finito dentro de lo infinito, y por tanto, de una parte cualquiera en su todo; y esta información y desarrollo consiste en el mudar constante del límite, de tal manera, que una determinación siga de un modo continuo a otra, cuya coexistencia sea imposible en el ser. La explicación completa de la idea de vida no puede darse aquí libremente, mas sólo dentro de la Ciencia suprema (la Metafísica), cuya reconstrucción han comenzado varios filósofos alemanes. Sin embargo, puede observarse, sin ulterior indagación, que todo lo que vive es finito, y solamente por esto cae en el tiempo, que según esto, es la forma general de todas las cosas finitas, en cuanto viven.
La vida se contiene, pues, dentro de lo infinito, si bien no es aplicable a lo infinito en sí mismo; pero si está en lo finito, es en y con lo infinito, y mediante él; o en otros términos mediante el ser fundamental (en, con y mediante Dios). Así, si miramos a lo que se da en el tiempo, encontramos que es siempre una parte, algo finito de un todo superior; por ejemplo: el animal, parte de la tierra, su todo inmediato, y luego superiormente de la Naturaleza y del ser absoluto; pero si miramos a la vida misma, hallamos que ella, y por tanto, su forma (el tiempo) es verdaderamente total e infinita: el tiempo no cae en el tiempo, sino que es eterno, total. La esencia de esta forma general de todo lo que vive, es: la existencia en mutua exclusión y sucesión. Además, el tiempo es también la forma particular en que la vida es un todo, que nada de su género deja fuera de sí, y que contiene en sí mediante límites continuos: por tanto, la ciencia del tiempo (Cronología) es igualmente una ciencia particular contenida en la ciencia general del todo y sus partes. También las partes interiores del tiempo son grandes o pequeñas: la Aritmética, pues, es aplicable a la ciencia del tiempo, la cual, por tanto, como la Geometría, supone a aquélla, sólo en parte.
Para determinar ahora en general la relación de la Ciencia pura del tiempo, o Cronología, con la Geometría, diremos que, siendo el tiempo forma de todo lo que vive y se determina en sucesión, su ciencia es una ciencia general completa, como la Geometría; que ninguna de ellas necesita en absoluto de la otra para su construcción interior; que ambas están comprendidas en la Ciencia superior de la forma del todo y sus partes, y que se componen en mutua unión esencial en la Ciencia pura del movimiento, en la cual aparece, por tanto, desde luego, una ciencia compuesta (aunque sustantiva) de aquellas dos ciencias puras formales. La Ciencia pura del movimiento (de lo que se mueve, como tal, (Mecánica pura o racional), presupone también para su existencia con igual necesidad aquella ciencia de la forma del todo y sus partes, análogamente como la presuponen la Geometría y la Cronología.
Llegamos ahora a la Ciencia pura de la combinación construida en su parte superior por primera vez hace pocas décadas, y cuyo concepto y relación con las restantes ciencias matemáticas está aún oscura para los más (65). Esta ciencia se halla todavía en su infancia y ha sido formada, menos como ciencia pura, que en su aplicación a la Aritmética (especialmente al Análisis, que es una parte de ésta) y preferentemente para este fin. Estoy muy lejos, sin embargo, de disminuir el mérito que en ella han adquirido el profundo Leibnitz y el penetrante Hindenburg (66).
El objeto de la doctrina de la combinación es completamente definido e independiente del concepto de cantidad como tal; sólo presupone una pluralidad, en su origen, una totalidad o infinidad de cosas particulares, que se suponen referibles entre sí y con un todo. Si se dan, por ejemplo, las cosas particulares a, b, c, la doctrina combinatoria no dice lo que ellas son, cómo son, si son, ni dónde son; mas tan sólo que esas cosas particulares sustantivas están entre sí en correlación, de cualquier género que sea esta correlación: reunir separación, serie según ley de tiempo, o de espacio, etc. Deben, sin embargo, estas cosas individuales hallarse en relación, y para que esto sea posible, necesitan tener notas comunes y distintas como partes interiores de un mismo todo. En tanto que se refieren entre sí, aparecen formando un todo parcial de aquel orden que indique el fundamento de relación (espacio, tiempo, causa, etc.); y en la Combinatoria se trata particularmente de exponer sistemáticamente cuántos todos parciales son posibles de cosas dadas sustantivas (elementos) contenidas en una superior según cierta base de relación, los todos que con ellas pueden constituirse, ser y pensarse.
Si se buscan en general todas las conexiones posibles de las cosas dadas en cada todo parcial, sin restricción alguna, las cosas estarán relacionadas de todos los todos posibles (variadas) y tendremos las coordinaciones: si se buscan sólo los todos parciales que se distinguen entre sí por la diversidad de algún miembro, de modo que en cada uno haya un elemento por lo menos que no esté en los otros, las cosas estarán referidas esencialmente (relacionadas por distinción, elegidas) y nacerán las combinaciones: por último, si sólo se forman aquellos todos parciales que no se distinguen por sus elementos mismos, sino sólo por la forma según la que están unidos como partes al todo (mediante posición o serie, por mera forma) hallaremos las permutaciones.
Si se consideran las cosas como cantidades, esto es, aritméticamente, aparecen como cosas homogéneas, limitadas semejantemente, pero con distinción entre sí, prescindiendo de toda diversidad genérica. Mas cuando los miembros o elementos son objeto de la Combinatoria, deben ser en verdad siempre homogéneos y a la vez distinguibles entre sí; pero se abraza igualmente su distinción y sustantividad, y se constituyen los distintos todos parciales, sin atender a la homogeneidad y mucho menos a la cantidad de las cosas. La Aritmética y la Combinatoria son, pues, dos ciencias sustantivas que no se presuponen para existir esencialmente, y que para ser construidas en sus partes superiores, requieren seguir siendo ciencias independientes entre sí: por eso es esencial y meritorio el esfuerzo de un Stahl y un Lorenz para formar ante todo las puras operaciones combinatorias.
Mas puesto que las cosas que se suponen, son muchas, aunque en número finito, el número de ellas es determinado, y por tanto, el de los todos parciales que pueden formarse con ellas: así es cómo se introduce en la Combinatoria la Aritmética, por esta consideración, por primera vez, como siendo la ciencia de la cantidad discontinua (de la pluralidad que nace de las unidades singulares indivisibles), y sólo en esta parte de la Aritmética: aplicación que aumenta constantemente, hasta lo infinito, con la perfección de ambas ciencias. E inversamente: puesto que la Aritmética, en sus cantidades particulares, contiene cosas particulares, sustantivas, y sus diversos problemas y operaciones se refieren al todo, que se considera dividido en sus partes (a las cantidades de varios términos polinomios), se introduce aquí a su vez, y sólo aquí, la Combinatoria en la Aritmética, por lo demás y en su peculiar esencia, absolutamente independiente de ella; y este es precisamente el lugar de donde se han importado algunos frutos a la ciencia de la combinación, especialmente por Hindenburg. Aun cuando este punto de vista fuese parcial, sería real y esencial, y de aquí debería partirse para el conocimiento de la Combinatoria como ciencia sustantiva y para su construcción en tal concepto.
Pero si atendemos de nuevo a la naturaleza peculiar de la Combinatoria, hallaremos también allí como concepto superior y fundamental, los del todo y la parte: así encontramos que también el contenido y objeto de esta ciencia matemática particular es sólo una propiedad esencial de la todeidad (en cuya ciencia se contiene), a saber, la relación de las partes interiores entre sí y con el todo parcial; y sólo esta correlación y construcción. El grado de generalidad que corresponde al objeto y el círculo de aplicaciones de la Combinatoria, determina su jerarquía como esfera parcial contenida en la idea del todo mismo y su parte, igualmente que su importancia como ciencia subordinada a ésta.
Todas las ciencias, por tanto, que se consideran unánimemente como pertenecientes a las Matemáticas, son partes individuales interiores de esa Ciencia superior general, cuyo objeto es la propiedad del todo como todo, y la propiedad y cualidad de su parte, como parte (la todeidad y la parteidad (67), si se nos permiten estos nombres). Ora son abstracciones científicas de propiedades especiales de la todeidad divisible, como la Aritmética y la Combinatoria: ora constituyen la exposición de aquellas formas peculiares en que los seres son un todo divisible, como las ciencias del espacio (Geometría), del tiempo (Cronometría) y del movimiento (Mecánica) (68). Todas las ciencias particulares Matemáticas presuponen, pues, la ciencia de la idea general y puramente formal del todo y sus partes. Debemos, por tanto, considerarlas, según la naturaleza del objeto, como partes de esta ciencia superior (Matemática general o superior), la cual, unida con aquellas (Matemáticas particulares), merece sólo el nombre de Matemáticas, la Matemática misma, una y entera.
La Matemática toda es, según esto, la ciencia puramente formal del todo como todo y de sus partes interiores como tales: o la doctrina de la todeidad, en la que (según la parte misma se contiene en el todo) se encuentra comprendida la doctrina de la parteidad. La consideración sustantiva e independiente de cada una de las propiedades esenciales de la todeidad y la parteidad en sí mismas (en general) engendra otras tantas ciencias parciales contenidas en ella, y cada una de estas en mutuo enlace con las demás, otras tantas ciencias sintéticas que, reunidas a su vez, constituyen la Ciencia general de la todeidad, o la Matemática general. Pero todas las cosas, Naturaleza y Espíritu y cuanto hay en ellas, no son solamente totales, enteras, sino que tienen además su peculiar forma de todeidad: v. g., lo corpóreo, el espacio; lo que vive, el tiempo; lo corpóreo en su formación, el movimiento: y tantas formas particulares cuantas se dan en la todeidad, otras tantas particulares matemáticas hay también, a las cuales, por consiguiente, se aplica la doctrina general de la todeidad, en su límite y en cuanto lo permite su peculiar determinación.
Así aparece la Matemática como un organismo bien y completamente conformado; así se esclarece lo que le corresponde y lo que no le corresponde, y qué lugar pertenece a cada parte en él. Sobre este fundamento, será posible una construcción total y verdaderamente científica de la Matemática: y me tendré por feliz en haber expuesto aquí su principio dando lugar con ello a su perfeccionamiento.
Notas históricas a lo expuesto
Si lo que antecede contiene en todo, como de ello estoy convencido, el verdadero y peculiar fundamento de la Matemática, debo esperar se me conceda indulgencia por lo incompleto de este primer ensayo, y especialmente por los muchos neologismos de que hago uso, aunque indispensables y conformes al objeto, ya para conceptos no tratados hasta ahora, ya para ciertas relaciones entre conceptos conocidos. En todo es mi intención, en vez de muchas expresiones exóticas, introducir palabras alemanas en una exposición alemana de la Matemática, y para los conceptos nuevos, o antes no tratados, construir nombres de esta misma lengua, que por su formación se definan a sí propios. La ventaja que las voces extranjeras parecen tener por su más general inteligibilidad sobre todas las construidas, la desatiendo por razones que no pueden aquí desarrollarse.
Lo que aún no se haya podido comprender con bastante profundidad en lo anteriormente expuesto, o no se haya expuesto con claridad suficiente, se esclarecerá mediante ulteriores trabajos de investigación científica. Estoy, sin embargo, cierto de que sólo sobre este fundamento puede construirse la Matemática: y muy especialmente su parte general superior, que, puede llamarse doctrina general de la todeidad (allgemeine Ganzheitlehre),cuya idea y organismo tratará de exponer lo más pronto posible. -También debo recordar que esta disertación no tiene por intento, sino conducir desde lo conocido y actual, a lo superior a que aspiramos, y que, cuando el fundamento de la Matemática se complete mediante su enlace superior científico en la Ciencia primera (Metafísica), se necesitará otro orden completamente distinto del que hoy se admite y otras relaciones que son en las que yo mismo asiento esta ciencia; pero de ello me abstengo intencionalmente de hablar aquí.
La denominación de la Matemática, como doctrina de la todeidad, o de la forma del todo, no agrada sin duda a los más: a quien así parezca, que conserve la antigua denominación, por más que no haga conocer la cosa. Así como la ciencia de la cantidad, la Aritmética, se denomina como tal (Grosselehre), así la Matemática, como la ciencia pura de la forma de lo todo (de la todeidad) debe denominarse ciencia de lo todo (Ganzlehre), si esta palabra no significase también. «doctrina total:» por esto el nombre de ciencia de la todeidad o de la forma de lo todo (Ganzheitlehre o Ganzformlehre) le conviene mejor.
Las expresiones artísticas o compuestas de la Combinatoria están enteramente fuera de su lugar y son muy arbitrarías o impropias. El trabajo de Lorenz para formarlas de raíces griegas es inútil, y crea al discípulo que no esté versado en esta lengua nuevas e innecesarias dificultades. Nuestro idioma alemán puede presentar las denominaciones más sencillas construidas según la naturaleza del asunto. Si la palabra «todo (Ganz), de la que se deriva «totalizar,» estuviese generalizada, también con ella podría designarse la Combinatoria. No se puede llamar doctrina de la relación porque la relación (Beziehlehre) es una categoría, ajena en parte y en parte superior a dicha Ciencia, la cual se ocupa sólo de la relación de las cosas individuales «en cuanto construye con ellas un todo parcial.» Mejor se llamaría ciencia del orden o de la forma de la relación (Ordnunglehre, Beziehformlehre).
La continuación de los trozos de Proclo, en parte ya citados, demuestra cuán cerca anduvo éste de comprender la idea fundamental de la Matemática. «Toda Matemática» -según su definición- « trata de lo finito (el límite) y lo infinito. -Así, el número engendrado por la unidad, es infinitamente multiplicable, si bien cada número que se toma es siempre limitado. Igualmente también la divisibilidad de la cantidad es infinita, y, sin embargo, todo miembro de una división es una parte finita de su todo; no obstante, si no hubiera aquí a la vez infinitud, todas las cantidades serían comensurables y no existirían la incomensurabilidad ni la irracionalidad. -Estas dos ideas fundamentales se hallan por tanto esencialmente en las Matemáticas, como en todas las cosas. -Habiendo conocido las dos ideas fundamentales de la Matemática, determinemos ahora los teoremas comunes a todas las partes de la Matemática que son simples y que se deducen de la Ciencia una, los que contienen además en el un todo todos los conocimientos matemáticos, y son, por tanto, igualmente aplicables a todas las partes de la Matemática, apareciendo en números, cantidades» (bajo cuyo nombre sólo comprende aquí la cantidad de espacio) «y movimientos. Aquí corresponde todo lo concerniente a las proporciones, sumas y divisiones, inversiones y permutaciones, relaciones de todo género, igualdades y desigualdades en general y en lo común a ellas: no sólo en cuanto todo ello se muestra en figuras, números y movimientos, sino en cuanto tiene en sí la esencia común: (fusin coineen) a estas diversas cosas, y exige un conocimiento simple. También la belleza y el orden son ideas fundamentales que aparecen en todas las ciencias matemáticas, puesto que proceden de lo conocido a lo desconocido. La semejanza y desemejanza pertenecen aquí igualmente: así la teoría de las potencias es común a todas las ciencias matemáticas, en lo relativo, tanto a los factores, como a los productos (a lo que es posible como a lo ya realizado) -Dice el geómetra que cuando las cantidades a: b =c: d, también «a: c = b: d y lo demuestra por principios de su ciencia: también lo dice el aritmético, y lo prueba por fundamentos propios de la suya. Pero ¿quién es el que conoce el cambio de los términos de la proporción en sí (lo encuentra en las magnitudes y números) e igualmente la división y suma de las magnitudes y números reunidos?»
Idea clara de una ciencia matemática especial superior a la Aritmética y la Geometría se encuentra en el libro 2.º (cap. 2.º). « Algunos teoremas comunes a la Aritmética y la Geometría se tratan en la Geometría, otros en la Aritmética, otros también pertenecen de igual modo a las dos, especialmente los que provienen de la total ciencia matemática (apo tees holces mazeematikees episeemes eis autas cazeeconta.») Que los griegos conocían la Aritmética (aunque entendiesen bajo este nombre sólo la doctrina de los números enteros) como una ciencia sustantiva y verdaderamente superior a la Geometría, lo dice claramente Proclo. «Que la Geometría es una parte de toda la Matemática, que tiene el segundo lugar después de la Aritmética, porque se completa y determina mediante ésta (cuando lo que en ella hay racional y puede como tal exponerse, alcanza su determinación por fundamentos aritméticos), se decía ya por los antiguos y no necesita aquí ulterior aclaración.»
Por la relación expuesta de la Geometría con la Aritmética, debe también explicarse la posibilidad, fundamento y criterio del procedimiento de los geómetras griegos, en virtud del cual podían conocer, mediante construcciones geométricas, sin tener más Aritmética que la doctrina de los números enteros, toda la Aritmética restante, a saber: la correspondiente a las cantidades y relaciones continuas (racionales e irracionales), y que necesitaban para sus construcciones geométricas (véase, como ejemplo, todo el libro 2.º y el 10.º de los Elementos de Euclides); supliendo así la falta de la ciencia puramente aritmética por un modo insuficiente, aunque ingenioso Si, pues, todo lo que hay en la cantidad continua permite aplicación, bien que limitada por la naturaleza de cada género de dicha cantidad continua (v. g., espacio, tiempo, fuerza, etc.); puesto que todo lo general es explicable y demostrable en cada esfera subordinada, esto mismo pudo suceder con la Geometría cuando era precedida sólo de las verdades generales aritméticas, como también pensó Euclides. Ciertamente se ha permitido luego mucho más, en esta intervención de la Aritmética en la esfera particular de la cantidad en el espacio, de lo que se permitió Euclides para su fin doctrinal; pero yo sostengo que debe tenerse en cuenta esta consideración de los teoremas generales dentro del límite de cada ciencia subordinada, no sólo como esquemas útiles para la enseñanza, ni como excepción necesaria de los matemáticos griegos, sino como esenciales en sí mismos en el sistema de la Ciencia, pues no se puede prescindir de ellos por el puro análisis.
Esta relación de la Aritmética con la Geometría sirve para rectificar aquella proposición de la comúnmente llamada lógica formal: «lo que se da en lo general (todo) se da también en lo particular (en todas sus partes).» Sin duda, así acontece cuando, sólo se trata de notas particulares, meramente abstractas, alcanzadas por inducción; pero sucede enteramente de otro modo en el orden de las ideas, donde lo esencial y total de la idea aparece en cada una de sus ideas parciales con propia limitación y formación. Por ejemplo: en la Aritmética pura, son los factores multiplicables en número infinito; y en la Geometría, por el contrario, sólo son posibles productos de tres factores, a causa de que el espacio no tiene más que tres dimensiones: por esto Euclides sólo admite hasta tercera potencia.
Debo notar, por último, que lo que he dicho sobre la construcción parcial de la Combinatoria no es aplicable a Leibnitz, que ya cuando joven había concebido la idea de la doctrina pura de la combinación, en su total generalidad y susceptibilidad de aplicación, si bien le impidieron otros trabajos de mérito desenvolverla en este sentido (69).
1868.