Visor de obras.

  —123→  

El problema que me propongo tratar en este capítulo es el siguiente:

a) ¿es «posible» ordenar las ciencias según potencias ascendentes de transfinitud?

b) ¿la estructura actual e histórica de las ciencias descubre una relación intrínseca a la transfinitud humana y a sus órdenes de evolución transfinita?

El problema resulta, evidentemente, demasiado amplio y complejo para darlo íntegro en forma de aperitivo intelectual. Me habré, pues, de contentar con alusiones y sugerencias.

Ante todo voy a tomar como ciencia en que «experimentar» el sentido del problema, las ciencias físico-matemáticas en toda su amplitud. Por un motivo muy sencillo.

La transfinitud del hombre no revela su trans, su transcendencia sino al topar y superar un límite concreto; y la transcendencia adquiere matices tanto más concretos: a) cuanto el límite se le ha entrado más en las carnes, se le ha hecho más intrínseco, b) cuanto el límite posee estructura más cerrada, más concluyente, más aprisionadora.

  —124→  

Ahora bien: las ciencias físico-matemáticas, incluyendo en ellas la lógica en toda su amplitud, tienden a adoptar la forma axiomática, es decir, la forma más cerrada, más autosuficiente posible, y en virtud de la correlación entre formulación científica y objeto se seguiría que el orbe de los objetos correspondientes a un orbe axiomático formaría a su vez una unidad cerrada absolutamente, un universo esencialmente finito. De consiguiente, la transfinitud humana, al tratar con tales tipos de ciencias axiomáticas, se notaría superlativamente finitada, encerrada, limitada; y no teniendo tal ciencia ningún resquicio natural e intrínseco no quedaría a la transfinitud humana otro recurso que o salirse de las ciencias o hacerlas reventar en trozos científicamente inconexos.

La primera evasión significaría que las ciencias axiomáticas, y, por tanto, sus orbes de objetos no son incardinables en una serie de potencias ascendentes hada el Infinito, no convergen hacia Dios.

La segunda, además de suponer la no convergencia de las ciencias y sus objetos en Dios, añadiría la tragedia ontológica de tener que vivirlas como límites intrínsecos, como carne de la carne transfinita, y que sólo por la muerte violenta, por el asesinato de la ciencia sería posible salvar la transfinitud humana.

En ambos casos los inconvenientes son gravísimos. Menciono uno solo.

La transfinitud humana quedaría siempre en estado de indiferenciación, de vapor a tensión infinita sin posibilidad de tomar una serie ascendente de configuraciones entitativas. Sería la transfinitud un vapor capaz de reventar cada clase de máquinas, incapaz de impulsar nada hacia el Infinito; sería un líquido capaz de disolver cualquier   —125→   cuerpo cristalizado, pero incapaz de tomar él mismo ninguna forma cristalina.

No cabría dialéctica positiva, solamente sería posible una dialéctica demoledora y negativa, una dialéctica invertida, más o menos tipo Heidegger.

La transfinitud humana resulta problema frente a las ciencias con pretensiones de fundamentación axiomática. Y el problema presenta doble vertiente: a) ¿hasta dónde es posible constituir axiomáticamente una ciencia, es decir, una ciencia con forma absolutamente finita, a la que le nazcan de dentro los límites? b) ¿qué relación y qué reacciones dinámicas existen entre tipo de ciencia axiomática y transfinitud humana?

¿Es que la transfinitud humana impide a priori, por a priori vital-transcendental, al constitución de una ciencia perfectamente axiomática, de una ciencia esencialmente finita, para así no quedar encerrada en ella y «poderla» someter al proceso dialéctico?

O ¿es que la misma ciencia, en cuanto universo de ideas y objetos, no admite una constitución cerrada, una axiomatización, independientemente de que el hombre sea o no transfinito?

El campo no tiene naturalmente puertas ni vallas, y no las tiene precisamente porque haya previsto y calculado y acomodándose a la transfinitud de la potencia locomotiva del hombre, sino simplemente porque no es de esencia tenerlas, haya o no animales y hombres en el mundo.

¿No sucederá lo mismo con las ciencias?

El plan de este capítulo va resultando, pues, suficientemente delineado. Elijo para reactivo de la transfinitud precisamente las ciencias con pretensiones axiomáticas   —126→   porque, de entre todas las ciencias, ellas serían las que mejor encerrasen la tranfinitud, las que más apretadamente la limitasen, forzándola a reventar o a resignarse a «estar» finita. (Recuérdese la dialéctica invertida, de Heidegger.)

Por este motivo estudiaré la constitución de la física, de la geometría, del análisis algebraico, de la lógica... problemas transfinitos de la lógica y metamatemática...; y no, por ejemplo, la historia o la sociología. Por de pronto, ciencias como la historia a la sociología no funcionan como límites de la transfinitud humana, como estadios de la dialéctica; sino que más bien son ellas, mismas formas o maneras como la transfinitud supera diversos tipos de límites, geográficos, físicos, biológicos...

Además, cada ciencia tiende, no por capricho de nuestra época sino por la estructura misma del conocimiento científico, a constituirse axiomáticamente, es decir, en sistema cerrado y concluso.

Las condiciones metalógicas que se refieren a la estructura general de un sistema cualquiera de axiomas -sean axiomas físicos, geométricos, algebraicos, lógicos...-, fijan el programa general de una ciencia finita, esencialmente finita, y, por tanto, se prestan, propia y directamente, a un experimento de reacción con la transfinitud humana, con la dialéctica.

Si no se diese la transfinitud humana, la no-axiomatización perfecta de las ciencias tendría una significación puramente negativa. Las ciencias no serían del tipo «curva cerrada», como la circunferencia, sino del de curva abierta, como la hipérbola. Pero por tal abertura nada saldría, porque nada dentro de ellas se hallaría en esencial tensión expansiva.

  —127→  

En rigor no tendría significación alguna hablar de abierto o cerrado, de ciencias axiomáticamente cerradas o de ciencias abiertas.

El mero hecho de haber introducido esta distinción, indica que las ciencias están llenas de un transfinito, de un vapor en expansión que nota perfectamente cuándo la ciencia tiende a cerrarse, cuándo le oprime, y cuándo, por el contrario, no pone obstáculo en su tendencia hacia el Infinito.

Consideradas, pues, las ciencias en sí mismas, no tiene, en rigor, dialéctica. Cada una tiende a ser ella sola y toda, en inconexión con las demás; cada ciencia es «un» logos, más o menos complejo, pero no permite que se haga de ella carretera real, (diá, a través), puro y esencial camino hacia otra cosa o ciencia.

Por eso he aludido a la dialéctica negativa de las ciencias consideradas en sí mismas.

Voy a explicar la alusión, comenzando por un caso concreto de matemáticas superiores.

Desde el punto de vista de la transfinitud humana, los aspectos transfinitos de las matemáticas adquieren un nuevo sentido, un sentido humano, en cuanto que la transfinitud esencial... al hombre aparece como la condición que hace y ha hecho posible la aparición de tales, aspectos transfinitos en una ciencia, que tiende a ser superlativamente finita, definida y definidora.

Naturalmente dejo de lado la parte técnica de los conceptos y métodos matemáticos transfinitos. No tomaré   —128→   de ellos sino lo que posee sentido metafísico, indicando, con todo, por qué no entran los demás aspectos, a saber, por su irremediable finitud.

La transfinitud humana, presionadoramente latente en el genio matemático, ha notado y dado expresión delicada a todos los matices de finitud, transfinitud, esencia y existencia, qué y que.

Los números transcendentes aparecen como una pretensión de la transfinitud humana, encerrada en el círculo de hierro matemático, de superar el límite impuesto por el tipo de números algebraicos.

Un número c se llama algebraico si se da un número entero y positivo n tal que las potencias sucesivas, 1, c, c2, c3, c4..., sean dependientes racionalmente entre sí; es decir más sencillamente, que un número será algebraico si satisface una ecuación algebraica.

Dejemos aparte lo técnico y digamos que la definición anterior de número algebraico actúa como límite o valla perfectamente cerrada; caben dentro de ella innumerables números, tantos como tiene la sucesión natural 0, 1, 2, 3, 4... (en lenguaje técnico se dice que el conjunto de los números algebraicos es enumerable), cada uno queda perfectamente definido dentro de tal frontera y unívocamente relacionado con una ecuación especial.

Durante muchísimos siglos, la mente humana se movió tan desembarazadamente dentro del dominio de los números algebraicos que no los notó como límite; por tanto no surgió en ella la vivencia de un trans, de un más allá, la existencia presunta de otros tipos de números.

Hubo, no hace muchos años, un matemático monomaniaco, en agorafobia sistemática. Se llamó Cántor. «Dentro» de esas mismas plazas (agorá) o dominios que son cada tipo de números (naturales, racionales, algebraicos)   —129→   no se hallaba bien, le sobrevenía un pánico irresistible y corría desalado a las vallas, a los límites o confines ideales. Nadie tropezó con más tipos de límites que él, y nadie, correlativamente, supo de más tipos de números, cosas y procesos trans-finitos.

El dominio de los números naturales 0, 1, 2, 3, 4... n, n + 1... nos parece al común de los mortales tan dilatado que no notamos la existencia de un límite superior, de un número máximo, valla suprema infranqueable, más allá de la cual pueda haber otras clases de números, por ejemplo, el primer transfinito ómega.

Cántor, por medio del concepto de enumerabilidad, (Abzaelbarkeit) y del de tipo de orden (Ordnungstypen) consiguió tener una impresión o idea de conjunto de tales números; notarlos como «un» dominio cerrado, definido, definible, con límite superior e inferior, con tipo propio de orden.

Y notó, con sorpresa suya y universal, que dentro de estas mismas vallas cabían los números racionales y los algebraicos, a pesar de que, a primera vista, parecen ser muchísimos más en número que los naturales. Es decir, el tipo de «finitud», el tipo de «orden» y el tipo de «conjunto» (Menge, ensemble) eran los mismos para todas estas multitudes.

Toda conciencia de una finitud lleva necesariamente consigo, como he mostrado, la conciencia complementaria de un más allá, de un trans.

Y comienza la transfinitud humana por saber «que» se da algo más allá del límite; o sea, comienza a saber y notar su pura y nuda existencia.

Efectivamente: convengamos en llamar potencia (Maechtigkeit) cardinal de un conjunto o multitud su   —130→   número de elementos, y por potencia ordinal el tipo de orden con que cada multitud o conjunto los ordena. Cántor pudo demostrar inmediatamente que la potencia del continuo (geométrico o aritmético) no es enumerable, es decir, tiene más elementos y el tipo de orden es distinto de la potencia y orden de la sucesión natural, 0, 1, 2, 3, 4...

Si no es enumerable, se «da» al menos un elemento no coordinable, no numerable con el tipo básico o potencia fundamental de la sucesión natural.

Luego existen números transcendentales; es decir, que no son ni naturales, ni racionales, ni algebraicos.

Y lo bueno del caso es que el procedimiento de Cántor sólo demuestra que «existen» números no finitos, no incluídos en el tipo general de números algebraicos, sino que están más allá, (trans) de ellos, de cualquiera grupo que con ellos hagamos, por complejo y rico que sea; por más que los sumemos, restemos, potenciemos, radiquemos.... siempre nos quedamos dentro de las vallas de los números naturales y algebraicos, o desde el punto de vista de la teoría de los conjuntos, que la potencia ordinal y cardinal será ni más ni menos que la de la sucesión natural 0, 1, 2, 3, 4...; y se podrá demostrar que existe un número no incluido en dicho universo, indefinidamente creciente en número de elementos, a saber, un número transcendente.

Pero el procedimiento demostrativo cantoriano es pura y simplemente existencial, no permite construir efectivamente un solo número transcendente. Nos presenta el que del número transcendente, no su qué o esencia.

Desde el punto de vista metafísico que vengo desarrollando, a la transfinitud humana en cuanto transfinitud sólo le es dado el «que»; y le es dado precisamente   —131→   en un «qué», en el qué o esencia de un límite; pero nunca en el qué propio de un que.

Así, lo acabamos de ver, sucedió en el descubrimiento de los números transcendentes.

Una vez en posesión del teorema existencial de los números transcendentes, se puede demostrar que ciertos números, anteriormente conocidos, eran en efecto transcendentes y además se puede hallar procedimientos para construir sistemáticamente tales números.

Desde muchísimos siglos atrás, el número o numero que expresa la razón de la circunferencia al diámetro, era conocido con más o menos numero de cifras decimales. Pero no se sabía si era o no número algebraico. Una vez definido qué es un número algebraico en general y que es correlativamente un número transcendente, y demostrado que se «dan» tales números fue relativamente fácil demostrar que p es un número transcendente.

De parecida manera: le conocían en matemáticas los números llamados de Liouville. Después del descubrimiento de la definición y existencia de los números transcendentes se puede demostrar que los números de Liouville son transcendentes.

Pero notemos cuidadosamente el proceso y su orden: tomar conciencia de una esencia en función de límite (primer paso), saber por el mero hecho y en virtud de la transfinitud humana «que» se da algo más allá dé tal límite (afirmación puramente existencial, segundo paso), por efectiva superación del límite, por Aufhebung, llegar a saber el qué o esencia misma presentida en su realidad pura y simple, (tercer paso).

El proceso puede, naturalmente, recomenzar, a saber, hallar en la nueva esencia un aspecto de límite (teorema existencial), terminando en otro teorema esencial o consntitutivo   —132→   de lo existencial mismo. Así veremos que ha sucedido en las matemáticas modernas.

Pero no puedo dejar de hacer una advertencia esencial: se puede estar tratando científicamente con una esencia y los objetos que la realizan, sin notar que puede presentarse como limitante de la transfinitud humana; y, por tanto, sin intentar definirla. De esta manera aconteció durante muchísimos siglos a los matemáticos en el campo de los números algebraicos; es tan dilatado y rico que bastaba y sobraba para los teoremas y construcciones matemáticas. El llegar a notar que tal campo posee vallas naturales, que incluye unos números y no otros, tampoco basta para que se aparezca el aspecto de límite, es decir para que se rebele nuestra transfinitud.

Como expliqué, no es suficiente que un número sea menor que otro ni que sea de otra clase (uno par y otro impar, uno par y otro irracional...) para que aparezcan y tomen el aspecto de límites frente a la transfinitud humana. El primer criterio para saber si una cosa funciona como límite es si me siento confinado por lo que, mirado en sí mismo, es esencialmente finito. El dos incluye por esencia ni más ni menos que dos unidades, pero no por eso si tuviera una conciencia adecuada exactamente a lo que es, se notaría encerrado en sí mismo. Todo polígono inscrito en una circunferencia es menor que ella, mas no por eso puede notarse ni es finito, pues sus dimensiones le nacen de dentro, de su misma esencia.

Sólo la transfinitud humana puede notarse encerrada y confinada dentro de cosas «esencialmente» finitas.

El dominio de los números algebraicos es, no precisa decirlo, esencialmente finito; en el sentido de que por esencia determina qué números caben dentro y realizan el tipo esencial y cuáles no.

  —133→  

El problema de la transfinitud surge cuando tales límites esenciales son notados como confinantes, como fronteras impuestas a una transfinitud.

Un número transcendente, en cuanto lugar simbólico de aparición de la transfinitud humana, no pertenece íntegramente ni propiamente al dominio matemático puro.

Dentro del dominio matemático, cuando no ha sido notado aún como cárcel de la transfinitud, las cosas corren según una legalidad silenciosa, suave; modelo inasequible aún para los silenciosos y reglados movimientos de los astros.

Y la legalidad matemática no es nunca puramente existencial; regula la esencia o las propiedades que de ella se siguen. Ningún teorema, principio o estructura matemática demuestra sólo que se da algo, sin explicar qué es ese algo existente. Podré demostrar que el dos es menor que el tres, pero no que se da -así en forma pura y exclusivamente existencial-, un algo mayor por el dos. Y digo «un algo», pues se trata de demostrar la pura, nuda, simple existencia y no un algo concreto, con propiedades más o menos generales.

De ninguna cosa se sigue, por ninguna ley lógica, la pura y simple existencia de otra. Por este motivo, en todas las ciencias de estructura deductiva, como la lógica y las matemáticas, los teoremas existenciales han pasado siempre como sospechosos, si no por inadmisibles.

De ello hablo inmediatamente.

El saber, por tanto, que se da algo sin saber qué es -la aparición en la ciencia de un teorema existencial-, es el primer síntoma de la presencia, actuante y a presión, de la transfinitud. Todo axioma existencial, en cuanto tal, es una afirmación metafísica y pertenece a la dialéctica.

  —134→  

E inversamente: la dialéctica posee en cada ciencia tantos puntos de agarre cuantos axiomas y aspectos puramente existenciales.

O bajo otra forma: si fuese posible constituir una ciencia sin ninguna afirmación existencial, con solas conexiones esenciales, tal ciencia no sería incardinable a un proceso dialéctico o metafísico, no podría figurar como una de las potencias ascendentes que tienden y convergen en Dios.

Por este motivo los axiomas y aspectos existenciales van a constituir un tema de metafísicas consideraciones en este capítulo.

Toda afirmación existencial es un presentimiento característico de la transfinitud humana.

Hay en física una ley que se llama de inercia. Según la formulación de Galileo, todo cuerpo dejado a sí mismo, sin el influjo de causas externas tiende a moverse indefinidamente en línea recta y con velocidad constante, supuesto, naturalmente, que por un motivo cualquiera se halle inicialmente en movimiento.

Dando a esta ley básica de la física clásica una formulación más moderna se puede decir que todo cuerpo dejado a sí mismo describe una línea natural del universo, una geodésica.

Si el universo es de estructura euclídea, tal trayectoria será una línea recta, y la velocidad será uniformemente igual en todos los puntos de ella. Pero si el universo no es euclídeo, la línea inercial podrá tener una curvatura   —135→   diferente de cero y hasta variable con el lugar, y la velocidad podrá ser no-uniforme. Pero, en cualquiera de estos casos, mientras la trayectoria seguida por el móvil sea una línea natural del universo en que se halle, el movimiento será de tipo inercial, indefinido, sin intervención de fuerza alguna para su prosecución.

La ley de inercia es una concreción física de la categoría «etcétera» o «igual-en-adelante» (und so weiter) de la lengua alemana o «kaitalla ephexés», y «así a continuación», de los griegos.

Creo que Hegel fue el primero que tuvo clara conciencia de que la frase vulgar de etcétera (etc.) encerraba una de las categorías básicas ónticas y ontológicas.

Voy a interpretar, primero desde un punto de vista filológico, su significado; y después trataré de sus aplicaciones en física y matemáticas y de su importancia como índice de transfinitud.

La precedente alusión a la ley física de inercia ayudará a rellenar de jugo concreto las ideas generales siguientes, pues, en todos los casos, se trata de una ley de inercia, mental, ideal, real, lógica... de saber cuándo la cosa corre ya por sí misma y se la puede soltar sin más.

Comienzo por los griegos. Cf. Aristóteles; Met., 1081, b; 4-6.

La frase «kai-hoúto-tálla-ephexés» pertenece al vocabulario aristotélico; aunque su componente central, el hexés, se encuentre ya en Platón con significación parecida. La he traducido «y-así-a-continuación-lo demás».

La palabra hexés viene del verbo écho, tener, y, probablemente, tener una cosa por llevársela a rastras. Así la raíz de hexés sería la del veho latino o vehículo en castellano.

  —136→  

Cuando, pues, sea posible aplicar la frase unitaria «y-así-sucesivamente-lo demás» se querrá decir que se da un conjunto de cosas que cada una arrastra tras de sí otra y, al final, quedan todas en y a continuación de cualquiera anterior. (Continuo viene de continuum, de tenere, cum; tener-con).

Y este proceso se desencadena de una manera característica que proporciona su matiz original a la categoría de «progreso» que estudio.

Un proceso deductivo, como una figura silogística, no posee ley de inercia lógica; no puedo poner la mayor y la menor y añadir tranquilamente «y-así-a-continuación-lo demás», porque la conclusión no es simplemente lo que está a continuación de lo anterior, sino lo contenido en lo anterior, en las premisas; tanto que la conclusión constituye intrínsecamente la figura silogística; a la manera como no puedo montar parcialmente una máquina y dejar que lo demás se monte según el cómodo modelo de un etcétera. Sólo después de montada la máquina y puesta en movimiento podrá el maquinista, bajo condiciones especiales, dejar que corra según el modelo de etcétera, según «y-así-a-continuación-lo demás», según la ley de la inercia.

También se dan en lógica pura procesos de pura e ideal inercia, como diré; mas no pertenece a este tipo ninguna figura deductiva clásica. No son tipos de movimiento lógico inercial.

Aristóteles se sirve de la categoría «y-así-a-continuación-lo demás» en las cuestiones referentes a la teoría de las ideas aritméticas y geométricas, a la constitución de los números y figuras. Véanse los tres últimos libros de los metafísicos, especialmente 1068, b; 1081, b; 1085, a.

  —137→  

Compárese por un momento la formulación que da Aristóteles a la estructura de la sucesión aritmética con la formulación moderna del principio de inducción completa.

«Después de un primero es racional (eúlogon) y necesario que se dé un segundo; y si se da un segundo, tendrá que haber un tercero; «y-así-a-continuación-lo demás». (met. 1081, b, 4-6.)

Y el principio de inducción completa, aplicado a los números naturales, dice:

«Dado un conjunto finito A, perfectamente ordenado, sea C un conjunto que cumpla estas condiciones:

a) contiene un primer elemento de A,

b) si contiene un elemento X de A, también contendrá el elemento siguiente a X. Entonces se verifica que C contiene «todos» los elementos de A.» (Rey Pastor, Análisis algebraico, cap. 1.)

Al conjunto de predicados que se propagan de esta manera «inercial» se llama en lógica matemática «predicados hereditarios». (Véase Whitehead-Russell, Principia mathematica.) Y vale la afirmación de que el dominio o campo de lo numérico es el reino en que las propiedades se transmiten de manera más puramente hereditaria. Basta que un objeto siga o sea el siguiente de otro, para que herede de él una propiedad. La aritmética, y sobre todo la sucesión natural, 0, 1, 2, 3, 4... es el reino del etcétera.

Más aún: desde Poincaré y Peano, el principio de inducción completa, o de-así-a-continuación-lo demás, es uno de los axiomas fundamentales de la aritmética, si no es, en realidad, el básico y típico.

La categoría de «y-así-a-continuación-todo-lo demás» no pudo aparecer en Platón; toda idea intuida clara y distintamente   —138→   posee forma «atómica», indivisible, es ella y sólo ella; no cabe, por tanto, un aspecto de pura inercia, de puro progreso uniforme a través de un reino en que cada elemento es indivisible y esencialmente distinto de los otros. El dos, en cuanto idea de todo y sólo dos, nada tiene que ver con el tres en cuanto tres; son, como lo vio perfectamente Aristóteles, números incomponibles (asymbletoi) que no se pueden sumar ni siquiera poner en un orden.

Tanto en la física clásica como en la moderna, el principio de inercia es un axioma; lo mismo sucede en matemáticas con el principio de inducción completa o de inercia matemática: es, igualmente, axioma.

Hay que suponerlos, hay que ponerlos como punto de arranque y base de todo lo demás; sin pretender demostrarlos, pues, bajo una u otra forma aparecerá su carácter de absoluta primacía, de gnoseológica aprioridad.

La formulación latina del principio de progreso inercial presenta un pequeño matiz original. Et cetera une el aspecto copulativo puro de «y» y el impulsivo o progresivo puro de «cetera». Cetera tiene igual raíz que cieo, civi, citum, o ki griego; es decir, una alusión al movimiento en cuanto impelente hacia delante. (Es falso que la etimología de cetera sea kai hetera; y-los-otros; y por esto no se debe escribir caetera; la fusión entre kai y hecon espíritu fuerte, no daría el término latino indicado.)

Así que et cetera es una interpretación cinética o dinámica de la categoría progreso uniforme; casi, casi et cetera es la categoría física de inercia, en su aspecto cinético puro, en su tipo estructural de movimiento impelente, sin referencia a cuerpos concretos.

  —139→  

Añade, pues, al aspecto estático que el heleno dio a la categoría de progreso uniforme el aspecto cinético o dinámico.

El mismo matiz de movimiento progresivo uniforme encierra la formulación germánica del und so weiter.

Cada posición (local, numérica...) remite a la siguiente, no como un principio o causa a sus efectos, sino con un simple «ser-en-a continuación de», sin intervención de fuerzas, como en el caso de la inercia física, sin intervención de una deducción propiamente tal, como en el caso de la inducción completa matemática que de un número hace pasar al siguiente «y-así-sucesivamente».

Y en esto consiste propiamente la transfinitud de la sucesión de los números naturales (0, 1, 2, 3, 4...) que rige una ley de inercia numérica, en virtud de la cual dado un primer elemento y dado que al primero siga otro, surgen así y a continuación en números sin límite superior asignable, sin detenerse jamás.

Empero para que los elementos de la sucesión natural corran y progresen inercialmente es preciso que no existan números privilegiados, privilegiados desde el punto de vista extramatemático. Así, dentro de la mentalidad primitiva, en que ciertos números poseen propiedades místicas o dentro de la mentalidad griega en que los números se dividen según propiedades geométricas o visuales (números exactos o pares, números excedentes o impares, numeros rectangulares, cuadrados...), la sucesión aritmética no corre inercialmente.

Aristóteles notó delicadamente que tales tipos de números no pueden ser sometidos a operaciones matemáticas; son incomponibles.

El axioma de inducción completa permite construir números, de tal manera que cada uno conduzca a un siguiente y así indefinidamente.

  —140→  

Con este axioma se puede deshacer el carácter eidético o de especies atómicas de el dos, el tres, el cuatro... y dar a la sucesión, de suyo no inercial,

0 1 2 3 4 5,...

la forma estrictamente inercial de

0, 1, (1+1), (1+1+1), (1+1+1+1), (1+1+1+1+1),...

Por este motivo, Kant, que tenía un oído eidético finísimo, pudo afirmar que 7+5=12 era un juicio sintético a priori.

Y efectivamente lo es.

La necesidad de introducir en matemáticas el «axioma» de inducción completa reconociéndolo precisamente como axioma, muestra que cada número no es sin más una suma de unidades; el que pueda precisamente ser considerado como una suma de unidades depende de una transformación radical de su significado eidético, transformación en virtud de la cual cada número deja de ser lo que es, algo en sí para sí, definible y definido; y se convierte en polvillo de unidades aritméticas homogéneas, puro y uniforme material a sintetizar por la categoría de puro orden cinético y direccional que es el et cetera; por la pura forma a priori de tiempo, dirá Kant, en cuanto forma de puro orden succesional.

Pero esta interpretación transcendental kantiana de la categoría «et cetera» no cabe en este estudio.

En rigor, una vez admitido el axioma de inducción completa ya no se puede hablar en matemáticas de el uno, de el dos, de el tres... sino de uno, dos, tres... Y la omisión del artículo determinado no es errata de imprenta.

  —141→  

Tenemos ya conseguido poder tratar la sucesión aritmética como algo abierto, superable paso a paso, según una ley progresiva, la de ( ) + 1.

En vez de primero, último e intermedios no se podrá hablar sino de pasos, progreso, progresión, es decir, con términos cinéticos, de movimiento tipo inercial.

Hemos pasado de una aritmética de cosas, definidas y definibles en si, a una aritmética de relaciones, función o ley.

Y es, precisamente, el tipo de ley, en cuanto contrapuesto y superación del procedimiento definidor, el que da a las ciencias físico-matemáticas su aspecto dialéctico.

Pero todavía faltan unos detalles para justificar esta afirmación.

Por de pronto queda suficientemente manifiesto que la categoría etcétera bajo cualquiera de sus formas -física, matemática, lógica...-, incluye una Aufhebung, una absorción superadora de cada cosa en otra superior, sin límite infranqueable, poseyendo tal proceso ley típica.

Es imposible entender la teoría cantoriana de los números transfinitos si no se cambia la manera de concebir los números.

Mientras cada número sea considerado como una idea o cosa ideal, capaz de ser objeto de una intuición eidética concentrada y monopolizada por cada uno y por un solo número, la teoría de los números transfinitos y la construcción misma de números transfinitos resulta ininteligible y hasta absurda.

  —142→  

En la concepción platónica del universo cada número era algo así como una perla aritmética pura y señera. En su orbe ideal, los números tenían la manera de ser que llamaron Platón y Aristóteles arithmós eidetikós, números eidéticos. Y como para Platón y para todo eidetismo cada idea es atómica, es perla ideal cerrada en sí y sobre sí misma en radical y pura soledad, se seguía que los números, fuesen muchos o pocos, no tenían que ver nada unos con otros; eran en rigor incomponibles, ni sumables, ni multiplicables... La aritmética resultaba imposible.

Todo número, eidéticamente concebido, es como un número concreto. Imposible sumar dos piedras con dos hombres; imposible, igualmente, y más, sumar el dos en cuanto el dos con el tres en cuanto el tres... en persona y en estado eidético.

La aritmética platónica no pudo poner entre los pocos números conocidos sino relaciones de subordinación. En el universal proceso dicotómico cada número ocupa su lugar, es una estrella ideal con un lugar propio dentro del sistema centrado en el sol inteligible, que es la Idea de Bien.

Las operaciones matemáticas comienzan a ser posibles y a tener sentido cuando las ideas numéricas se unen con la materia. La uniformidad de ésta repercute indirectamente en ellas y resulta posible una transitoria y externa aritmética de operaciones.

Imposible sumar el dos con el tres; pero es ya algo más hacedero sumar dos hombres con tres árboles, o, en general, dos cosas con otras tres cosas, porque la materia en que el dos o el tres se hallan presentes o participados puede poner conexiones entre las cosas y, de consiguiente, quedan indirectamente unidos tales números; y tanto más   —143→   unidos (sumados, multiplicados) cuanto las ideas numéricas se hayan comunicado más hondamente a la materia.

Comienza, pues, a ser posible la aritmética, no precisamente por darse números ideales en sí, solos, señeros; sino, al revés, por darse cosas concretas en que se hallan los números.

La aritmética surgió no por abstracción, sino por concreción. Únicamente cuando con el correr del tiempo histórico las ideas aritméticas puras hayan pasado a estar no sólo presentes o comunicadas o imitadas en y por la materia, sino a ser de la materia (Aristóteles), será entonces preciso para constituir la aritmética, desligar las ideas y conceptos aritméticos de la demasiada concreción; y surgirá entonces la abstracción matemática como método necesario para hacer aritmética.

Dando una mirada, desde la altura histórica en que nos encontramos, al universo griego, platónico o aristotélico, la aritmética se nos presenta como una constelación de objetos, como una pluralidad ordenada en ostentación de su pluralidad y de su orden.

Así, el universo aritmético está integrado por números ideales a lo Platón o de números reales a lo Aristóteles; no pasa de ser una constelación de objetos sueltos, cada uno con su sentido y aspecto propio, definible en sí, capaz de ser él solo lo que es, aunque no se diese ningún otro elemento en el universo; sus uniones pertenecen al tipo de relaciones, en el sentido aristotélico de la palabra, a saber, accidente el más accidental de todos los accidentes.

Ni de mil leguas pudo sospechar el heleno que el mundo aritmético fuese abierto, que valiese en él una ley de inercia ideal, por la que cada número se supera necesariamente en el siguiente y así en y a continuación todo lo demás. Hasta la formulación aristotélica de la categoría   —144→   etcétera se resiente del finitismo esencial al tipo mental helénico. Bastaría, para demostrarlo, que estudiásemos un poquito la palabra tálla o ta loipá de que se sirve Aristóteles. Pero no es preciso tanto detalle para el estudio presente.

Invirtamos la manera de concebir los números.

El sentido aritmético de cada uno de los números será ni más ni menos que el conjunto de aspectos que puedan ser incardinados a una ley, a una estructura de puro movimiento. Como si dijésemos que para hacer aritmética moderna es preciso fundir los números ideales, sólidos eidéticos, en forma de rueda alada en esencial y perenne movimiento progresivo.

En virtud de esta caracterización cinética o funcional de los números, los aspectos absolutos o definidores, si es que existen, pasan a segundo plano, a la manera como la estructura visual de un cuerpo en reposo desaparece y funciona en otro plan cuando el cuerpo está en movimiento. Inclusive muchos tipos de estructuras que son posibles en estática resultan imposibles en plan cinético.

Cuando pretendemos, pues, construir cinéticamente la aritmética, haciendo intervenir la categoría et cetera o el principio de inducción completa, convertimos los números en estructuras de movimiento. Podría acontecer que algunas de sus propiedades estáticas, intuitivo-eidéticas, desaparezcan o se desdefinan; tal vez se presentarán fenómenos aritméticos parecidos a los que sufren los cuerpos en movimiento, como fuerzas centrífugas, de Coriolis...

En este tipo de aritmética cinética, lo constitutivo son las leyes o tipos de progresión o de movimiento ideal; no las cosas o sus aspectos absolutos. De ahí la preeminencia que en matemáticas modernas posee el aspecto de operación y las leyes formales. Los números quedan implícitamente   —145→   definidos; son números todo lo que cumple el sistema de axiomas, dándose el caso de que objetos eidéticamente diversos llenen el mismo sistema de axiomas; fenómeno semejante a la ley de la inercia física en que cualquier cuerpo, por diverso que aparezca eidéticamente, cumple la misma ley.

Me concreto ya al caso de los números transfinitos.

Ningún número es cosa en las matemáticas modernas. Pero menos que ninguno lo son los números transfinitos.

Al oír 1, 2, 3, 4... parécese posible detener la intuición mental más o menos en cada uno, descubrir en cada uno aspectos propios. Esta ilusión depende de que no me he colocado resueltamente en el número en cuanto puro elemento cinético; pretendo aún componer el movimiento inercial ascendente de la sucesión natural con objetos sueltos, cada uno de los cuales está en reposo y es, en sí, intuible. Nadie mejor que Bergson ha puesto en claro esta tendencia explicatoria del movimiento por lo inmoble. Pero es el caso que no sólo se da tal tendencia, y la consiguiente integración, en el movimiento sensible, sino en el aritmético, en la geometría, en la lógica, en las ciencias todas.

Si en vez de decir uno, dos, tres, cuatro, cinco... digo: uno, (uno) más uno, (uno más uno) más uno, (uno más uno más uno) más uno... cantando tal sucesión con una monotonía semejante a la que tienen entre sí las puras unidades, llegaré a una especie de estado de obsesión cinética, de ritmo inercial que me impedirá quedarme en ningún número y mirarlo eidéticamente. Inclusive habrá desaparecido en la formulación las pequeñas desigualdades gramaticales: (nombres monosílabos, bisílabos, trisílabos...) de los nombres propios de los números que desvían la atención de su uniformidad total.

  —146→  

Ahora bien: Cántor fue el primero que se metió en la sucesión natural y notó que se movía como un tren y notó su tipo de movimiento progresivo.

Desde este momento aparece el concepto de número cinético, transfinito, dando a trans su valor de superación ordenada y sistemática de cada paso o elemento definido del progreso.

Los números transfinitos no son cosas sino tipos de movimiento progresivo inercial. Todas las palabras son precisas.

En la concepción cinética (digamos relacional o funcional, para no salirnos demasiado de la terminología técnica) de los números, cada número -uno, dos, tres...-, es un puro momento del movimiento general. La palabra momento viene de momentum, de movere; y junta delicadamente los aspectos: el del tipo de realidad en movimiento cuyo tipo de duración es el «momento»; y el matiz de tal realidad sometida en su mismo tipo de existir al tipo del progreso o movimiento general. Tal existencia sólo puede ser momentánea, parte esencial del movimiento. Momento, así en concreto, es «ser-en-movimiento», figura cinética.

El tipo de movimiento progresivo inercial físico es único para cada clase de mundo. Así, en el mundo de la física clásica, la línea recta y la velocidad uniforme caracterizan el tipo de movimiento inercial.

Pero en matemáticas funcionales se dan muchos tipos de movimiento progresivo inercial, muchos transfinitos. Más aún: los números transfinitos se hallan a su vez sometidos a tipos superiores de inercia, a leyes de movimiento progresivo supratransfinitas.

Todos los cuerpos físicos, sean cuales fueren desde otros puntos de vista, pueden cumplir la misma ley de inercia. E inversamente: la ley de   —147→   inercia puede servir para definir el cuerpo físico, propio de un mundo.

Cántor notó un tipo de movimiento inercial al tratar los números naturales como sucesión. Y este tipo de movimiento inercial aritmético es «el mismo» tanto para una sucesión integrada por todos los números seguidos, -0, 1, 2, 3, 4...-, como para una sucesión, menor al parecer, en número de elementos, como 0, 2, 4... o la de los impares, 1, 3, 5, 7...

Por eso afirmó con sorpresa y escándalo de los matemáticos intuicionistas que la potencia de la sucesión natural es la misma que la potencia de los solos números pares o impares. O con otra fórmula un poco más atrevida: que el todo tenía igual potencia que una de sus partes.

Ya sabemos interpretar delicadamente tales frases. No se trata de cosas ni de relaciones cósicas entre cosa-todo y una parte de la cosa, sino de procesos, de tipos de sucesión, tan independientes del número de los elementos como la ley de la inercia de la constitución química del cuerpo.

El tipo de movimiento inercial de la sucesión de los números naturales se llama enumerabilidad. Y resulta que su potencia de enumerar es capaz inclusive de enumerar todos los números algebraicos que son, a primera vista, muchísimo más numerosos que los simples enteros. De nuevo la dificultad es aparente: ni los números naturales ni los algebraicos pueden ser tratados como cosas, en rigor ni se cuentan los números, como cuento cuántos billetes tengo en el bolsillo, sino que se cuenta con los números, y si se pretende contar los números mismos, se cuentan con otra clase superior de números, con tipos de ordenar y contar.

  —148→  

Los números transfinitos son esos números superiores que cuentan los demás números, los números ordinarios, sin ser ellos mismos números en el mismo sentido que los números numerados.

Si fuese a tratar aquí larga y sutilmente de qué son los transfinitos cantorianos, diría que cada tipo de número transfinito (cada aleph, ómega, épsilon...) es un caso concreto de la categoría transfinita «et cetera», o del trans de la transfinitud humana, aplicada al caos especial de la cantidad abstracta.

Y ¿cuál es la restricción que al trans de la transfinitud humana impone el tener que tratar con cantidad?

La cantidad convierte o fuerza al trans a adoptar la forma de etcétera. Me explico: la categoría et cetera incluye dos aspectos: uno de pura unión copulativa, el y; otro, de pura dirección (cetera, raíz, ki). Un aspecto unitivo y un impulsivo puro.

Nada de uniones causales, de principio a consecuencia, de elemento a compuesto, de medio a fin... El efecto se une con la causa por algo más que un Y y una dirección. Etc.

En cambio: un número no es ni causa, ni principio, ni elemento, del siguiente, como a lo largo de un movimiento inercial una posición no causa la siguiente. Se unen por la pura unión copulativa y se pasa de una posición a la otra por una pura dirección, sin causalidad de ninguna clase.

En matemáticas, el aspecto de solo «y» posee un conjunto de propiedades que indican a las claras su función puramente unitiva. Se las ha llamado propiedades formales: propiedad conmutativa, asociativa... Un grupo de axiomas aritméticos, formula explícitamente estos aspectos puramente unitivos, el «et» de la categoría etcétera:   —149→   pero con el grupo de axiomas sobre las propiedades formales no se podría construir la sucesión natural de los números; falta el grupo de axiomas que dé formulación al cetera, al aspecto ci-nético inercial; tal es el axioma de la inducción completa.

Con ambos grupos de axiomas, con el et-cetera, es posible construir ya toda la aritmética natural.

Pero la categoría etcétera es de más amplios alcances.

Hay en matemáticas números que son ellos solos un proceso transfinito. Por ejemplo el número p o cualquier número transcendente.

Desde el punto de vista externo, un número transcendente debería incluir infinitas cifras sin repetir ningún grupo de ellas, sin período. Por tanto, tales números no pueden ser cosas, algo definido. Cada número de esta «es» un proceso típico, expresado en una ley o serie convergente; cada cifra que calculo es un paso que llama a otra; si me quedo en una, me resulta otro número, un vulgar número racional. Por muchas cifras que le calcule, y por muchos grupos que con ella haga el número transcendente no repite jamás una frase, un verso, un período.

Cada número transcendente es el más original y rico de los poemas numéricos.

Cada número transcendente es una modulación especial de la categoría etcétera.

Introduzco por un momento un simbolismo para aclarar esta diferencia.

Simbolizaré la pura categoría etcétera por ( ) ( ); en que «y» traduce el et, la flecha la pura dirección de un movimiento puro, no causal, reducido a puro impulso, a simple vector; y los dos paréntesis indican que tal categoría es una función o molde a rellenar y aplicar a un material concreto. Completando el simbolismo escribiré:

  —150→  

Transfinitud = F [ ( ) ( ) ]: «toda trasfinitud es una función en que intervienen, al menos, los aspectos de «y» y de «impulso progresivo», aplicados a un material que puede pertenecer a diversos tipos ( ), ( ).

En el caso de la sucesión natural, los paréntesis quedan llenos con la unidad, y los transfinitos numéricos surgen por movimiento ideológico inercial, según la ley: transf. cantoriano = [ (1) (1) ]; el signo F antes del paréntesis cuadrado ha desaparecido, porque la ley de unión y progreso entre los elementos de la sucesión natural es ni más ni menos que «y», sin ninguna especificación o concreción.

En cambio: para constituir un número transcendente, F tiene que adoptar una forma concreta que, de alguna manera, especifica y determina la estructura simple de «y», del etcétera. Así son las series que definen cada uno de los números transcendentes, los procedimientos típicos de llegar a ellos.

Si por Trn(a), Trans(b), Trnas(c),... designo diversos números transcendentes (v. g. , el número p, el número e...) tendrá simbólicamente:

Trn (a) = F' [ ( )( ) ],

Trn(b) = F'' [ ( )( ) ],

Trn (c) =F''' [ ( )( ) ]...: cada número transcendente posee su tipo de función F',F'', F'''... su manera de modular a (y) y su materia o magnitudes a que aplicar la ley moldeadora, el F propio.

Así que los números transfinitos surgen por y en el movimiento ideológico inercial simbolizado en la ley.

I. Transfinito = [ ( )( ) ], función (y) sin modulación.

  —151→  

Los números transcendentes aparecen, por el contrario, por y en el movimiento ideológico inercial dado por una función especial de y.

II. Transfinito (transcendente) = F [ ( )( )].

Imaginemos por un momento un universo físico en que valga, no una sola ley de inercia, sino una serie de leyes inerciales, subordinadas y proporcionadas además a una jerarquía de aspectos cada uno más general que el anterior.

Supongamos, para concretar, que la jerarquía de aspectos físicos incluya los siguientes:

a) aspectos topológicos, de puro orden interno según diversos tipos,

     b) aspectos métricos, que, por decirlo así, solidifican cada tipo de orden haciendo sus relaciones inmutables y fijas.

Los aspectos puramente topológicos permiten construir un universo elástico en que las distancias no tienen valor alguno físico, en que las leyes quedan invariantes frente a presión, dilatación, tirones... mientras no se llegue a romper, a soldar... (grupo de transformaciones topológicas).

En cambio, en un universo métrico, como parece ser más o menos el nuestro, las distancias poseen valor físico, muchas propiedades son funciones de ella (así la fuerza gravitatoria); el universo es medible, y tratable con geometría métrica, teniendo presente que toda geometría métrica es mucho más restringida que una geometría puramente topológica.

c) aspectos geométricos que juntarían a los anteriores, propios de la extensión en cuanto tal, aspectos propiamente corporales (ge, tierra), como puede ser los que provienen de la constitución de los elementos en la serie   —152→   periódica, de la realidad de la electricidad, suponiendo contra Weyl que no es reducible a propiedades métricas del espacio...

Si, pues, existiesen leyes de inercia proporcionadas a cada uno de estos estratos de propiedades reales, podríamos decir que la ley de Galileo pertenece al estrato geométrico; que un cuerpo, libre de externos influjos, la sigue, describiendo con velocidad uniforme, sin prisas, una línea recta indefinida; pero que, el mismo cuerpo, por parte de sus cualidades métricas puras, se halla, a la vez sometido a una ley superior de inercia, de modo que si por un accidente dejase de poseer constitución física concreta (masa determinada por su estructura atómica...) continuaría moviéndose en un supraespacio cinético, con un tipo de supravelocidad, según una ley transfinita de progresión, de orden superior al tipo transfinito de la ley ordinaria de la inercia.

De parecida manera: si por otro accidente más sísmico, el cuerpo perdiera aun sus propiedades métricas, continuaría moviéndose por un supraespacio de estructura topológica pura, con un movimiento de puro orden cuantitativo, o por el espacio cinético reducido a los puros aspectos de orden, y moviéndose en él según una ley de inercia topológica.

Y estos tres tipos de inercia: inercia física, métrica y topológica podríamos suponer que actúan simultáneamente sobre el cuerpo, sólo que mientras un tipo de inercia inferior actúa, concreta y especifica los tipos superiores. Únicamente a medida que los tipos inferiores desaparecen surge el influjo, puro y dominante, de los tipos superiores.

Tendríamos, pues, tres tipos de movimientos transfinitos, subordinados, cada uno más amplio, dúctil que el anterior.

  —153→  

No sé si esto pasa de ser una pura ficción física. Creería que la dirección teorética de la relatividad y de los cuantos lleva a formular, en realidad, tres tipos de ley de inercia; separando en el universo tres estratos, el topológico, el métrico y el físico. Quédese esto aquí.

Volviendo a los números transfinitos digo: los números transfinitos no son cosas, son tipos de leyes de inercia numérica; y los números transfinitos no se hallan en rigor en el mismo plano ideal, como todos los números naturales ocupan el mismo estrato numérico.

La ley de inercia física tiene que contar con la estructura general de los elementos físicos: el primer transfinito cantoriano tiene que contar con la estructura de los números naturales, 0, 1, 2, 3, 4...; es una ley de inercia numérica en que cada elemento es «finito»; sólo la ley de progreso es transfinita.

Empero, más allá o trans el primer transfinito vige una ley de inercia numérica superior, independiente de la restricción impuesta por el carácter finito de cada uno de los elementos del primer proceso transfinito. Es el segundo transfinito cantoriano.

Dicho esto así, parecerá sumamente vago a los no técnicos en teoría de los conjuntos. Traigo unos detalles técnicos para rellenar de significado la alusión.

Dentro del universo del primer transfinito vale la ley cósica de que el todo es mayor que una cualquiera de sus partes o que es imposible establecer una coordinación biunívoca entre dos números distintos; es esta una propiedad de lo finito en cuanto cosa finita, en cuanto posee definición o límites propios. Desde el momento en que, en vez de cosas, considere leyes, el número y estructura de cada elemento no intervendrá para nada y podrá suceder muy bien que dos leyes sean entre sí perfectamente   —154→   coordinables, iguales relacionalmente, aunque, al querer rellenarlas de elementos concretos, quepan más en una que en otra. Es el caso de dos moldes, iguales por su configuración, pero de desiguales dimensiones.

Pues bien: en los universos de los transfinitos superiores al primero ya no vale para sus elementos la ley cósica indicada. La pequeña posibilidad que ofrecen el dos, el tres... de ser definibles y abarcables con una mirada, restringe demasiado la categoría et cetera; y en vez de conservarle su poder de inducción transfinita la restringe a ser inducción completa.

Además, para los elementos integrantes del primer proceso transfinito vale sin más el axioma de Zermelo; que formulado aquí sin pretensiones de exactitud, dice: dado un conjunto de conjuntos se puede siempre hallar o formar un conjunto típico de «representantes» de cada conjunto, de manera que cada conjunto tenga «su» representante o delegado, y con todos estos delegados se puede formar un nuevo conjunto, un conjunto-élite, una asamblea de representantes numéricos.

En el dominio de los números naturales, en que cada uno es ya de por sí un conjunto de elementos-unidades, vale el axioma de Zermelo en dos sentidos: existencial y constructivo.

Se puede demostrar que es de tal conjunto-élite y además construirlo efectivamente con elementos concretos y señalables.

Empero, en los números transfinitos superiores, a lo más vale el aspecto existencial; y no es posible, en general, o nunca, construir efectivamente tal conjunto o asamblea de representantes.

  —155→  

Bastan estas dos indicaciones para mostrar la estructura distinta de los componentes del primer transfinito y la de los siguientes.

Alles endliche ist dies, sich selbst aufzuheben, dice Hegel. Lo finito ha nacido precisa y esencialmente para esto: para autosuperarse, y autorreabsorberse en formas ordenadamente transcendentes. Es la faena vital del pollito, perennemente renovada; digerir todo lo que, en un momento dado, lo define y aprisiona, romper la pura cáscara delimitadora y repetir la misma faena de absorción superadora con la sustancia del nuevo universo en que se halle.

Tal es el problema de la wahre Unendlichkeit de Hegel. En el presente estudio le he dado el nombre más modesto de «transfinitud», en vez del un poco pretencioso de verdadera infinidad.

Es preciso ya que ponga en conexión la transfinitud humana con los transfinitos, para mostrar de esta manera que la aritmética es incardinable a la dialéctica y que la aritmética no es posible sino en virtud de una metafísica.

Las matemáticas son posible como pura y simple ciencia dentro de límites amplísimos. Yo creería, salvo juicio, mejor, que si Cántor no hubiera descubierto los números transfinitos y los teoremas existenciales sobre los números transcendentes, las matemáticas se nos presentarían como ciencia perfecta, a saber, como un universo esencialmente finito, con límites intrínsecos y naturales, por tanto, imposibles de notar como tales.

  —156→  

El campo de los números algebraicos (naturales, racionales, radicales...) es tan dilatado y rico que durante muchísimos siglos nadie notó que tuviese vallas o límites que violentamente cerraban el paso a poderes de más largo alcance.

Si uno se propone recorrer ordenadamente todos sus elementos por medio de la serie de pasos prefijados por el axioma de inducción completa, no terminará jamás; y si además se propone contar y ordenar con la potencia enumerativa de la sucesión natural los números racionales y los algebraicos podrá contarlos y ordenarlos y someterlos a su mismo tipo de enumerabilidad y orden.

Y en esto consiste precisamente la semiinfinitud esencial del campo aritmético natural: que encierra tantos y tan sutiles elementos que con ellos se puede construir una ciencia casi perfecta en sí misma, sin urgentes necesidades de transcendencia.

Cántor notó, por primera vez, que en el procedimiento de inducción completa se escondía algo de más largo alcance que el dominio semiinfinito de la sucesión natural y el campo de los números algebraicos; notó, pues, la inducción completa como un límite, impuesto al alcance de la inducción en cuanto tal. El proceso de inducción es de suyo transfinito; la inducción completa es una limitación de la transfinitud propia del procedimiento inductivo, de la categoría et cetera.

Cántor no recorrió uno tras otro los elementos de la sucesión natural ni los de ningún conjunto enumerable, ni él ni nadie puede darse semejante paseo, por la sencilla razón de que cada paso surge al darlo y por dar uno se le extiende el terreno para dar otro. Lo que descubre la limitación impuesta a la potencia transfinita del etcétera es que cada uno de los elementos del camino, cada número   —157→   de la sucesión natural, posee caracteres de cosa finita, como los citados en el número precedente. En virtud de ellos es posible detenerse más o menos en cada uno, intuirlos en sí, juntarlos en grupos cerrados, es decir, tratarlos como cosas bien definidas en sí mismas.

La transfinitud de la categoría et cetera apareció con caracteres antinómicos: transponía tanto, cada número y cada conjunto de números que para ella resultaban igualmente enumerables todos los números pares, que los pares más los impares, que el conjunto de pares e impares más todos los cionales y radicales.

El camino más breve entre las montañas, dice Nietzsche se encuentra en las cumbres, sólo que para ello es preciso tener piernas suficientemente largas. La potencia transcendente de la categoría et cetera es tal que puede saltar por todos los conjuntos enumerables, tengan o no, desde el punto de vista definitorio, infinitos elementos más o menos.

Los órdenes de transfinitud de los números transfinitos pueden ordenarse, desde el punto de vista metafísico, según potencias ascendentes de desdefinición o descosificación. Y en este aspecto se prestan inmediatamente a una interpretación dialéctica.

La sucesión ascendente de los números naturales tiene como propiedad característica que cada elemento de ella, grande o pequeño, es mayor que una cualquiera de sus partes; o con otros términos, que el todo no es unívocamente coordinable con ninguna de sus partes. Así, el tres es mayor que cualquiera de los conjuntos parciales de unidades que incluye: (1), (1, 1); el cinco es incoordinable biunívocamente con cualquiera de los conjuntos parciales (1), (1, 1), (1, 1, 1), (1, 1, 1, 1), etc. Lo mismo vale de cualquier numero natural, por grande que sea.

  —158→  

Y la raíz de esta propiedad se encuentra en que tales números son aún «cosas definibles», en que tiene sentido hablar de todo y partes, y «todo» es lo que posee una estructura interna y unos límites que lo separan de lo demás.

Una segunda propiedad característica de la sucesión natural es: que se da la posibilidad de construir un conjunto-élite; si tengo, por ejemplo, los siguientes conjuntos de números.

(1, 2), (3, 5, 7), (11, 27, 37, 41)... puedo inmediatamente formar un conjunto de representantes, tomando un elemento de cada uno de los conjuntos; por ejemplo, un conjunto-élite será (1, 11, 3) formado por el número más pequeño de cada conjunto; otro conjunto selecto será,

(2, 7, 41) formado por el número máximo de cada conjunto...

Esta posibilidad de formar siempre un conjunto selecto depende que cada número natural y cada conjunto de números naturales se compone de elementos bien definidos en sí, y separados entre sí; tratamos con cosas y conjuntos de cosas.

Caractericemos, pues, la sucesión natural por estas dos propiedades:

a) incoordinabilidad biunívoca entre todo y partes,

b) existencia de un conjunto-selecto.

Y como ambas propiedades son cósicas, o fundadas en la definibilidad de los objetos, tendremos dos criterios, para ordenar los números por potencias de definición o descosificación.

En el primer orden de los transfinitos, omega, omega más 1, omega más 2, etc... ya se pierde una de las propiedades cósicas: la incoordinabilidad biunívoca entre partes   —159→   y todo. La potencia del primer transfinito es tal que resultan biunívocamente coordinables el todo -la sucesión completa de los números naturales-, con una parte, la sucesión completa de los números pares. Ya comienzan a no tener sentido las relaciones entre partes y todo, es decir, no haber todo con límites propios, con diferencia específica propia.

En los transfinitos siguientes, ya no consta que valga la segunda propiedad cósica: la posibilidad de formar un conjunto selecto. Si se la supone valer, será por un postulado o axioma nuevo, el de Zermelo. Y en este caso no se puede pasar de una pura y simple afirmación existencial, sin posibilidad de indicar un procedimiento constructivo de tal conjunto selecto.

Aquí se ha perdido otro aspecto cósico: el de estructura interna, en virtud de la cual se puede hablar de partes, así en plural y con relativa distinción y oficios. Tales conjuntos transfinitos ya no poseen partes distintas, sino indiferenciadas, a la manera como se hallan las partes en el continuo.

Y en efecto: todavía los matemáticos no han podido señalar la potencia del continuo, saber qué número de partes tiene, aun disponiendo para contarlas, de la potencia enumeradora inmensa de los transfinitos cantorianos.

De consiguiente: los órdenes de transfinitos son órdenes de desdefinición o descosificación; por tanto, sometibles radicalmente a una dialéctica o metafísica.

Se puede demostrar que no existe un transfinito máximo, es decir, un tope absoluto. En la historia de la fundamentación teórica de las matemáticas se han hecho famosas las antinomías lógicas, encontradas algunas por Cántor mismo, por Russell, Burali-Forti, Skolem, Weyl...

Todas ellas tienen un rasgo común: los conceptos de conjunto de todos los conjuntos, conjunto bien ordenado   —160→   de todos los números ordinales, el conjunto de todas las propiedades de los números naturales... incluye contradicción.

El aspecto de «todo», de cosa bien definida, con límite que encierren todo y sólo lo de ella, cuando se pretende hacer de tal concepto una categoría de aplicación y valor universal para cualquier orden de objetos sometidos a un proceso ascendente, conduce a contradicciones.

O bajo otra forma, inversa a la anterior: conforme se asciende por órdenes de objetos sometidos a un proceso transfinito desaparece gradualmente la facultad de definir, de hablar de «todo» y, en el límite de tal proceso, el concepto mismo de todo resulta contradictorio.

Luego la matemática es una ciencia abierta, constituida por objetos ordenables según potencias ascendentes de desdefinición, sin límite o frontera superior infranqueable.

No se trata, pues, de una schlechte Unendlichkeit, de una falsa infinidad, en términos de Hegel; sino de una infinidad verdadera en que cada estadio es la «verdad» del anterior, en el sentido helénico y hegeliano de verdad: porque cada estadio «descubre» (alétheia, de a y lethe; no oculto, patente) que el anterior incluía una restricción o definición innatural que al ser levantada (aufgehoben), descubre un aspecto más hondo y más auténtico, la transfinitud esencial a todo lo finito, la esencial transitoriedad de todo lo finito.

Das Endliche ist dies, sich selbst aufzuheben.

«Lo finito ha nacido precisa y esencialmente para autosuperarse y autorreabsorberse en formas ordenadamente transcendentes hacia el Infinito.»

Aquí habríamos de preguntarnos si este ordenado desdefinirse las cosas se verifica en virtud de la constitución misma de las cosas o es un fenómeno o manera como las cosas en sí, sean lo que fueren, finitas o no, se presentan a la transfinitud humana.

Si vale la última hipótesis, resultaría, entre otras cosas, que las matemáticas no son posibles sino como «transcendentales», en el sentido kantiano de la palabra.

En el capítulo primero he hecho indicaciones concretas y repetidas a esta segunda solución como la única posible. La transfinitud humana es la que hace posible que las cosas aparezcan ordenadas según potencias ascendentes hacia el Infinito. Con una pequeña adición: que, a medida que la transfinitud humana asciende progresivamente hacia Dios, las cosas se van quedando atrás, cada vez más rezagadas. La transfinitud de la conciencia humana les va dando posibilidad de aparecérsele como cada vez más lejanas, como menos cosas, con contornos cada vez más desdibujados. En el límite de este proceso, si el hombre llegare a ser Dios, ya no se le presentarían las cosas como cosas, sino como creaturas, como algo esencialmente dependiente de él, en esencia y existencia.

Algo de esta transformación radical de perspectiva sobreviene en y por el contacto místico con lo Transcendente. De ello he hablado precedentemente.

Los órdenes de desdefinición o descosificación de las cosas han obtenido en matemáticas modernas un conjunto de delicadas interpretaciones. Voy a exponerlas brevemente.

He distinguido hace poco entre números-cosas y números-leyes.

  —162→  

Pero si los números-cosas fuesen esencialmente cosas, bien definidas y definibles cada una de por sí, resultaría muy difícil incardinarlos a una dialéctica, inclusive someterlos a un proceso transfinito matemático.

Platón vio muy bien que toda idea, tomada en cuanto tal, es idea atómica, es decir, indivisible, simple, todo y sólo ella. Y en este caso no caben en rigor operaciones entre ideas.

Ha sido, pues, preciso, desde que se comenzó a hacer matemáticas, descosificar y desdefinir gradualmente los números para eliminar sus aspectos de cosa y convertirlos poco a poco en un sistema de relaciones.

La mesa que tengo delante es una mesa-cosa, con sus contornos bien delimitados, separados y divididos de lo demás; pero una mesa tejida con los hilos de un tapiz tiene ciertamente más o menos la figura de una mesa sin llegar a ser mesa-cosa; por los mismos hilos que la constituyen se continúa con lo demás, de manera que sus contornos son a la vez elementos constitutivos y continuativos, mientras que en una mesa-cosa los contornos constituyen la cosa y a la vez la diferencian o separan de lo demás.

La ventaja óptica y ontológica de una constitución relacional de las cosas consiste en que sus elementos constitutivos son a la vez continuativos con todo lo demás, cuándo en la constitución cósica o por definición los aspectos constitutivos son, sobre todo, la diferencia específica, distintivos de lo demás.

Las matemáticas han ido poco a poco caracterizándose por sistemas cada vez más complejos de relaciones, de manera que se puede hablar con pleno sentido de una sucesiva caracterización relacional de los objetos matemáticos, a lo largo de la historia.

  —163→  

No voy a tratar aquí, por ejemplo, de cómo la geometría analítica cartesiana desdefine las figuras-cosas de la geometría anterior para convertirlas en un entramado de relaciones, por medio de las coordenadas que son ya en sí mismas un conjunto básico de relaciones. Desde este descubrimiento cartesiano es posible continuar las figuras entre sí, ponerlas en conexión intrínseca con las dimensiones y con el espacio entero, con la aritmética inclusive.

La geometría helénica de figuras-cosas resultaba una geometría eidética, de ideas geométricas más o menos puras, pero siempre señeras, sueltas, inconexas.

Parecida faena ha sido preciso ejecutar con los números. No sólo resultan científicamente intratables el uno, el dos, el tres... sino que uno, dos, tres..., aun sin artículo que los designe individualmente como cosas, guardan demasiada solidez y voluminosidad para poder ser incorporados al universo aritmético.

Cuando un objeto ha de ser incorporado a un universo más amplio y rico, tanto más estorba su forma cerrada y definida. Cuando los números más cosa, que son los naturales, hubieron de ser incorporados al universo de los racionales, más tarde a la de los reales y al de los transfinitos fue preciso ir gradualmente desdefiniéndolos, sustituyendo su caracterización por definición con una caracterización por relación.

Así que la estructura del universo de relaciones mide exactamente el grado de desfinición o descosificación de un objeto.

La transformación de una caracterización definitoria por una relacional no puede verificarse, en general, sin que se pierdan algunas propiedades o, cuando menos, sin que se cambie radicalmente su sentido.

  —164→  

Lo notable en el caso de los números consiste en que la caracterización relacional conserva todas las propiedades de la definitoria, transformado únicamente su sentido, digamos, el puro y simple aspecto objetivo, la manera de presentarse los números ante la conciencia intelectiva.

Exactamente lo mismo acontece con la transformación de la geometría eidética en geometría analítica: ninguna propiedad geométrica se pierde. Lo único que se cambia es la manera de «ver» las figuras.

Para referirme ya a procesos concretos de desdefinición y a sus correlativos grados de caracterización relacional bastará considerar que los números enteros, los números-cosa por antonomasia, pueden ser incardinados en un triple universo de relaciones cada vez más sutiles y comprensivas; los racionales todos pueden, a su vez, constituirse por el sistema de relaciones característico de una «cortadura» (Schnitt, de Dedekind); es decir, por un sistema relacional tan amplio y sutil que engloba y traduce relacionalmente todos los números reales y sus propiedades.

Por esta sucesión ordenada de caracterizaciones relacionales, los mismos enteros quedan desdefinidos en segunda potencia o, si queremos,

a) definidos como naturales, b) desdefinidos como naturales y definidos como racionales, c) desdefinidos como racionales y definidos como reales.

En esta serie ascendente de definiciones y desdefiniciones se conservan las leyes formales de Hankel (asociativa, conmutativa, distributiva...), lo cual permite establecer una coordinación entre número entero real, número entero racional y número entero natural, y conservar la unidad de la ciencia aritmética.

  —165→  

Cada orden ascendente de desdefiniciones cósicas y de definiciones relacionales incardina el objeto a un universo más amplio a su vez y más rico en objetos. Crecen, por decirlo así paralelamente, la comprensión y la extensión, que desde el punto de vista definitorio suelen ir en proporción inversa.

El procedimiento de caracterización relacional es, por tanto, un proceso transfinito, transdefinitorio. La serie de caracterizaciones relacionales llega a un cierto límite superior cuando las relaciones pertenecen a la lógica relacional, cuando son relaciones puramente formales. La fundamentación logística de las matemáticas -por Hilbert, Russell, Whitehead...-, no se reduce a un capricho ideológico, es el término natural de un proceso transfinito y metafísico en esencia, aunque, por irónica coincidencia, hayan sido positivistas y antimetafísicos confesionales los grandes logistas modernos.

Al llegar a este estadio, lo matemático se ha aufgehoben, se ha autosuperado y autorreabsorbido en y por lo lógico.

Y es esta serie de ascendentes superiores y absorciones la que da sentido a la dialéctica científica o lo que proporciona a las ciencias sentido dialéctico, además del científico.

Por las relaciones, la geometría cósica o eidética se absorbe en geometría analítica; por las relaciones, el análisis íntegro se absorbe en lo lógico puro.

Y esta serie ascendente, ordenadamente ascendente, de absorciones superadoras se traduce, por otra parte, en una serie de fundamentaciones axiomáticas, en virtud de las cuales la axiomática geométrica se funda en la axiomática del álgebra y la de ésta en la axiomática lógica; y ¿la lógica?

  —166→  

De la axiomática hablaré en párrafo aparte.

Ahora es el momento de poner la cuestión fundamental: si la misma cosa puede presentarse en diversos estratos de desdefinición o de caracterización relacional que la van sacando ordenadamente de los límites férreos de las definiciones reguladas por la diferencia específica a conexiones cada vez más amplias, a tejidos de relaciones cada vez más comprensivas, ¿esta serie de transformaciones son entitativas o bien solamente objetivas?

Desde Kant sabemos que no basta que una cosa sea en sí lo que quiera para que por el mero hecho y en virtud de su haber entitativo pueda presentarse a la conciencia. No todo lo cósico de una cosa es capaz de resultar objeto, algo para un conocedor con conciencia transcendental, no creadora. El carácter absoluto de la intimidad conciencial es el que otorga posibilidad de acceso a las cosas en sí y les da tantos tipos de posibilidad de acceso cuantas categorías, y las cosas se aparecerán como objeto de tantas maneras cuantas categorías o pantallas ontológicas tenga el sujeto. Y este aparecerse no es un fenómeno óntico, real o cósico, no se hace por la relación de causa -efecto, medio-fin...-, sino que es un fenómeno transcendental por el que la cosa, lo otro de la conciencia, resulta objeto, algo para y ante la conciencia; y la conciencia, que es lo radicalmente otro de las cosas, resulta sujeto, lugar de pura y simple aparición de lo otro, no lugar de acción, de causalidad de lo otro sobre ella.

Pues bien: admitamos, para no complicar la cuestión, que el stock de categorías o pantallas ontológicas de la conciencia humana sea el mismo para todos los tiempos, es decir, que tenga sentido hablar de la razón, así en singular con supratemporalidad y supraespacialidad. La historia de las ciencias nos fuerza a admitir que la vida humana puede vivir sus categorías en diversos grados   —167→   de intimidad, de modo que ciertas categorías o grupos de ellas pasen a ser como categorías vitales propias y peculiares de tal tipo de vida (vivenciales), quedando las demás del stock como periféricas, en estado de latencia, o de subordinación al grupo categorial de cada tipo de vida.

La evolución de las ciencias y de las maneras de aparecérseme las mismas cosas sería función de la variación básica del grado de intimidad de las categorías respecto de cada tipo de vida, como si dijésemos que la evolución de la fotografía depende no del número de colores de la cosa en sí, sino de los grados de sensibilidad de la placa fotográfica, suponiendo que toda placa tenga todos los grados de sensibilidad a los colores, pero que la actuación de uno, dos o más dependa de circunstancias especiales, de la evolución del universo, del tiempo cósmico...

En este caso la correlación entre cosa en sí y objeto no sería algo fijo y definitivo, sino función del tiempo vital, de la evolución superlativamente espontánea de la vida humana consciente.

Llamemos al conjunto de categorías que en cada tipo de vida funcionan como más próximas a la vida, como vivenciales, «plan categorial-vital». Digo que tal cambio de plan categorial-vital es una «faena» vital, sea del tipo de la vida histórica, del tipo de vida de un grupo, o de un individuo. Este «quehacer» de la vida no puede sustituirse por un puro pensar que se sirva de otro plan categorial-vital, de categorías colocadas a otra distancia de la vida.

Ahora bien: desde este punto de vista podemos afirmar que el plan categorial-vital del heleno estaba centrado en la categoría de sustancia o de cosa definida, vivía   —168→   todo en plan de definir; las demás categorías resultaban periféricas respecto del grado supremo de interiorización del vivencial «sustancia».

En cambio: la relación, en el más amplio sentido de la palabra, constituye el vivencial básico, la categoría más próxima a la vida para la mentalidad moderna; relacionar es el plan categorial-vital, aunque ello signifique deshacer progresivamente, por desdefinición, la sustancia y las ideas en nudos de relaciones.

El plan categorial-vital centrado en la sustancia tiende a definir en definiciones cada vez más perfectas y cerradas todas las cosas. Todo queda ordenado en potencias ascendentes hacia la absoluta finitud.

Por el contrario, en el plan categorial-vital centrado en la relación se tiende progresivamente y programáticamente a relacionar, a poner todo en serie de potencias ascendentes hacia la universal conexión; por ordenadas transfinitaciones hacer converger todo hacia el Infinito. Cada cosa aparecerá progresivamente desdefinida y progresivamente correlacionada.

Es claro que el plan categorial-vital centrado en la relación está dirigido por la transfinitud humana.

La serie ordenada de apariciones transfinitas de las cosas no puede, al cabo de un suficiente número de pasos desdefinitorios, quedarse dentro de ningún tipo de ciencia; los supera a todos y a cada uno.

Y a esto llamó Platón dialéctica; convertir el logos de cada cosa, de toda ciencia y empresa en carretera real (diá) que lleve a Dios. Y esta conversión es, primariamente, faena vital.

Nunca, como en nuestros tiempos, han convergido mejor en Dios, han sido más metafísicas las ciencias; y en ninguna otra sazón histórica ha sido posible tener tan   —169→   clara y plena conciencia de la dialéctica, en cuanto faena transfinita vital. «Somos» por nacimiento mucho más metafísicos que en los mejores tiempos pasados; y lo son todos, aun los físicos y los matemáticos.

El predominio en metafísica moderna del concepto de función y relación contra el reinado de la sustancia y definición no es síntoma baladí: es el índice del creciente endiosamiento del hombre.

Todavía he de apelar una vez más a la transfinitud de la paciencia humana del lector. Se trata de filiar e interpretar delicadamente los síntomas de las matemáticas actuales, que pretenden trabajar en plan categorial-vital definitorio o intuicionista.

Me refiero a la fundamentación intuicionista de las matemáticas, por Poincaré, Kronecker, Lebesgue, Brouwer, Heyting, Borel...

El intuicionismo matemático moderno es el intento sistemático de construir las matemáticas «finitamente». Al poner mano a la obra se descubrió que la matemática moderna se mantenía en pie por virtud del ímpetu transfinito que agrandaba ordenadamente sus fronteras hacia lo infinitamente grande y hacia lo infinitamente pequeño.

La matemática clásica funambulaba maravillosamente mientras lo infinitamente grande y lo infinitamente pequeño estiraban la cuerda por sus dos extremos, era una estructura de equilibrio cinético, no estática, como a primera vista se diría. Sólo en virtud del movimiento progresivo expansional, superando cada límite, desdefiniendo cada objeto, para reabsorberlo en formas superiores puede   —170→   existir la matemática. Si el ímpetu transfinito falta, se derrumba entera; comenzando naturalmente, por lo más elevado, por la teoría de los números transfinitos.

Pero el hundimiento no para aquí, aunque en ese punto quisieron detenerlo los intuicionistas.

Caso de realizarse el plan intuicionista, las matemáticas quedarían reducidas casi exclusivamente a la aritmética de los números enteros, y con grandes precauciones, podría aventurarse en casos dados a otras dimensiones de la clásica.

Nótense las siguientes afirmaciones típicas de los intuicionistas, y se percibirá sin más cómo se viene gradualmente abajo la estructura íntegra de las matemáticas sin el ímpetu transfinito que la mantenía en vilo.

a) No tienen valor alguno los teoremas y afirmaciones existenciales o que no den un método para construir o hallar efectivamente el objeto correspondiente. Así no vale el método de disyunción completa por el que determinamos que la no existencia de un objeto implicaría contradicción con teoremas demostrados o con principios admitidos, si tal disyunción no proporciona a la vez un camino para construir o hallar dicho objeto en su estructura o esencia misma.

Si un teorema existencial demuestra que una cierta constante que se presenta en el problema ha de ser un número entero finito, pero no da medio para saber la magnitud o valor absoluto de tal número entero, tal teorema no tiene valor alguno.

Hay teoremas existenciales que son una maravilla de ingenio: por ejemplo, la primera demostración de Hilbert sobre la existencia de un sistema finito de invariantes, el axioma de Zermelo sobre la existencia de clases   —171→   selectas (auswahlaxiom), el teorema cantoriano sobre la existencia de números transcendentes...

La existencia matemática, el que hay objetos matemáticos, como en general notar que se da algo más allá de un límite, es un pre-sentimiento o previsión de la transfinitud en cuanto trans-cendente. Si el hombre no fuera esencialmente trans-finito y transcedente no notaría nada como límite y, por tanto, no se le vendrían encima todos los límites, todos los objetos definidos en cuanto definidos apenas dejase de mantener en vilo un límite para transcenderlo. Las matemáticas sin transfinitud vital se desinflan, como el globo a que quitamos el ímpetu ascensional del gas.

Esto sucedió a Brouwer, el gran vencido de la transfinitud.

Cuando notó que todo se le venía encima y que la soberbia máquina de las matemáticas clásicas quedaba reducida a unos trozos incoherentes y deleznables tuvo que adoptar un plan «constructivo»: «sólo existirá con pleno derecho lo que pueda construir», «existencia matemática es constructibilidad».

Toda construcción supone materiales y un plano. Tras el desinflamiento y desquiciamiento de la matemática clásica, disipado un poco el polvo de los objetos matemáticos convertidos casi todos en polvo, Brouwer no halló otros materiales con forma relativamente recognoscible que los números enteros, ni otro método de construcción que unirlos por la sucesión temporal, por el método de inducción, tratado con exageradas precauciones para que no se desbocase hacia los transfinitos. Para esto hizo entrar el tiempo en la inducción matemática, en la constitución de los pocos números firmes, asegurados y finitos.

  —172→  

«Que» hay números enteros es la única afirmación existencial admitida por Brouwer.

Kronecker, uno de los precursores del intuicionismo, matemático, lo dijo con una linda frase: die ganzen Zahlen hat der Liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk.

Lo grave de admitir en la base misma de una ciencia una afirmación existencial consiste en que el grado de inteligibilidad de dicha ciencia resulta fijo y constante para cada objeto a lo largo del proceso científico, mientras que en una ciencia sometida a la dialéctica, al paso al limite Infinito, la inteligibilidad del mismo objeto crece con el proceso transfinito; disminuye su «que», el aspecto puro y brutalmente existencial, aumentado el esencial, de «que», el aspecto puro y brutalmente existencial, aumentado el esencial, de «qué»; y por fin tras el contacto más o menos claro e íntimo con el Infinito, todo se convierte en «idea», se vive el mundo a lo creador; y por tanto, para consuelo de Kronecker, la inteligencia humana llega a crear los mismos números naturales.

b) Si considero ahora no cada objeto matemático en sí, sino en relación con los demás, hay que afirmar que la inteligibilidad disminuye, no en razón inversa del cuadrado de las distancias de cada objeto matemático (números reales, racionales, algebraicos, transcendentes...) a los objetos centrales, que son los números enteros, pero sí en razón inversa de la distancia.

Se dan, por este motivo, afirmaciones curiosas en el sistema intuicionista. Menciono algunas, las que tienen mayor conexión con el aspecto transfinito.

No vale el principio clásico de tertium non dator. Su aplicación conduce de ordinario a una afirmación puramente   —173→   existencial, sin dar el método para hallar o construir el objeto indicado.

No sabemos, por ejemplo, encontrar una terna de números enteros que muestre la verdad o falsedad del famoso teorema de Fermat, pero creemos saber en virtud del principio de exclusión de tercero, que tal terna existe o no existe, que el teorema es verdadero o falso; aunque no se hayan podido hasta ahora hallar tales números o demostrar positivamente que no pueden hallarse.

Se da la solución afirmativa o negativa bajo forma puramente existencial. Pero como tal aspecto es puramente existencial, sin el qué correspondiente, su estructura no puede ponerse en relación con el material básico de las matemáticas, que son los números enteros, en los que los aspectos existencial y esencial se hallan perfectamente definidos. Un aspecto puramente existencial no puede ser construido con elementos de esencia fija y de existencia fija, como con mármol no resultará jamás un edificio cuyas torres sean de granito.

Una afirmación existencial deja ancho campo a mil tipos de esencia. Así, del teorema existencial de Cántor «se dan números transcendentes», se ha podido llegar a conocer efectivamente el qué de algunos de tales números, y saber que dicho qué es de otro orden que la esencia de los números enteros o racionales.

Pero si de toda afirmación existencial exijo:

a) que me lleve o pueda llevar a una esencia (lo que es muy racional),

b) que me lleve a una sola esencia, a un solo tipo de esencia,

e) que tal tipo de existencia y esencia sea construible a base del tipo de esencia y existencia de los números enteros, en tal caso una afirmación puramente existencial   —174→   que no cumpla las condiciones restrictivas, b, c, no tiene valor alguno.

Y como sus pretensiones de valor se fundan en un principio lógico que para nada alude a los números enteros, cual es el principio de exclusión de tercero, tal principio no puede aplicarse en matemáticas; y, por tanto, no vale como principio universal para toda ciencia.

A esto lleva la pretensión de querer construir todo con un solo y mismo tipo de esencia dada. Como valiente, Brouwer no se espantó de las consecuencias; y admitió que las matemáticas son independientes de la lógica, más aún, que la lógica debe fundarse en las matemáticas, y hasta construyó un tipo de lógica en que valen todos los principios de la lógica clásica menos el de exclusión de tercero. (Véanse los trabajos lógicos de Heyting.)

Mas la eliminación del principio de exclusión de tercero trae como consecuencia una manera de noche científica donde todos los gatos son pardos.

Durante el día todas las cosas tienen su perfil positivo o negativo: su cara de luz o su sombra definida.

El principio de exclusión de tercero equivale a la exigencia de que todo debe tener una estructura fija en cada orden, aunque pueda cambiar de órdenes y tipos de caracterización.

Podemos dar al principio de exclusión de tercero el nombre de principio de constitución unívoca de las cosas.

En el dominio básico de los números enteros vale, naturalmente, para Brouwer tal principio. Los enteros son el reino de lo superlativamente definido, de lo constituido por aristas inequívocas.

A medida que nos apartamos de él, la inteligibilidad, la perfilada silueta de los objetos disminuye hasta llegar a la indiscernibilidad.

  —175→  

Pongamos con Brouwer como punto de partida y centro de luz inequívoca los números enteros; y, como extremo opuesto, el continuo. Dentro del primer y primario dominio, cada objeto, cada entero resulta perfectamente definido en sí y distinto de los demás; la disyunción «dos enteros o son el mismo o se distinguen al menos en una unidad» vale sin reservas. Por el contrario, la teoría matemática intuicionista del continuo, conduce ella misma a la consecuencia de no poder saber si dos puntos coinciden o no. En un lindo trabajo de Helmnsjev (Die natuerliche Geometrie) se puede presenciar calculatoriamente el gradual ocaso de los perfiles hasta llegar a una completa indiscernibilidad.

Y no hay que admirarse del final. Siempre que se pone una clase de objetos finitos como definitivamente finitos y como principio de explicación de lo demás sucede que todo alejamiento de tal centro de luz es un oscurecimiento gradual. Recuérdese la teoría platónica de las ideas y la teoría de Plotino. En ambas se da una cosa central -la Idea de Bien, lo Uno-; tal centro entitativo recibe el nombre de Sol, y el grado de alejamiento de tales soles ideales, como el del sol real, mide exactamente el grado de oscuridad, de indistinción de una cosa. En el límite del alejamiento se halla la materia, lo oscuro por esencia, lo ininteligible por constitución.

También en las matemáticas helénicas se produjo un fenómeno semejante. Centradas como están en los números enteros, los únicos que tienen logos o razón visible, todo número no reductible a ellos aparecía como álogos, como irracional, como ininteligible. Así le pasó a un número tan simple y claro como .

Por un centramiento similar en los números reales, los no-reales serán más tarde llamados, cuando aparezcan, imaginarios.

  —176→  

Es decir: una óntica centrada, un universo de cosas de cualquier tipo centrado en un tipo especial y fijo de cosas cuya constitución deba servir de norma estructural impone una distribución luminosa de la inteligibilidad que va desde ser máxima en el centro hasta la ininteligibilidad o indiscernibilidad total en la periferia. Y surgen naturalmente las denominaciones de alógico, imaginario, irracional...

La matemática de Brouwer resulta, pues, la del cangrejo: sólo que hace marcha atrás en el magnífico motor de la matemática moderna; y los números de tipo trans -transcendentes, transfinitos-, pasan de ser focos de luz superior a ser fantasmas obsesionantes, vestiglos y endriagos.

Y la matemática de Brouwer se pasa larguísimos ratos en lucha con ellos; en skiámachein, como decía Sócrates, en porfiada y agotadora pelea con sombras.

Cuando uno reconoce por real sólo un tipo restringido de cosas, cuanto más restringido sea mayor es el número de cosas que se presentarán como irreales, indeterminadas. Quien no tenga por sólidas sino las casas construidas con granito, no podrá dormir tranquilo ni en el mejor palacio de piedra.

Así que, aunque parezca extraño, el mejor y más breve camino para que el universo se convierta en fantasmagoría es fijar un tipo bien sólido y palpable de «realidad», incardinar a un sistema una afirmación existencial fija, vinculada a objetos los más definidos.

Leyendo muchos escritos de los finitistas o intuicionistas, se tiene la impresión de ver náufragos en el mar del infinito, agarrándose desesperadamente a unos pocos números enteros flotantes. Todo por no saber o no atreverse   —177→   valientemente a nadar: a sostenerse en el Infinito por puro e ininterrumpido movimiento transfinito.

No puedo reprimir en mí esta apreciación al leer una frase de Weyl, del gran Weyl, a quien de repente le acometió el pánico o mareo del infinito: Darum muss man mit aller Energie festhalten: die Mathematik ist ganz und gar, sogar den logischen Formeln nach, in den sie sich bewegt abhaengig vom Wesen der natuerlichen Zahl. (Ueber die neue Grundlagenkrise der Mathematik).

«Hay que aferrarse con todas sus fuerzas a esto, a saber, que la matemática depende -íntegra y absolutamente, inclusive en cuanto al medio en que se mueve que son las fórmulas lógicas-, de la esencia de los números enteros.»

Eso de «agarrarse con todas sus fuerzas» ese magnífico gesto de desesperado se parece demasiado a la angustia de Heidegger.

¿No provendrán ambas cosas de una misma raíz ontológica, de una metafísica o dialéctica invertida?

«Lo lógico, dice Hegel, puede presentarse bajo tres formas:

a) la abstracta o intelectual,

b) la dialéctica o negativo-racional.

c) la especulativa o dialéctico-positiva.

Estas tres formas no son tres partes de la lógica, sino solamente momentos de lo lógico-real, esto es, de cualquier concepto o verdad concretos.

En la lógica especulativa se halla implicada la simple lógica intelectual y se la puede sacar, siempre y sin más,   —178→   de la primera; para ello basta eliminar lo dialéctico y lo racional, entonces resultará la lógica ordinaria: una historia de ciertas determinaciones conceptuales que en su finitud pretenden valer como algo infinito.» (Enzyklop. § 79, § 82).

De estas ideas de Hegel entresaco dos:

a) la, lógica en cuanto «momento» de un proceso dialéctico.

b) las pretensiones de infinidad incluidas en toda lógica, aún la más formal y la más axiomatizada, que serían las formas de lógica más programáticamente finitas.

Conocido es por la física atómica el fenómeno llamado de degeneración espectral; me va a servir de metáfora explicativa.

Ciertas rayas del espectro aparecen, en los casos ordinarios y frente a los medios comunes del análisis espectral, como simples, a pesar de que el modelo teórico exigiría o permitiría un sistema de rayas conexas; un doblete, triplete... Empero con la intervención de analizadores más potentes resulta posible descomponer la raya única en un sistema de rayas más finas. La raya única, en su unicidad espectral, es un caso «degenerado» por simplificación frente a la riqueza posible.

Este caso de simplificación física, de unidad por simplificación se halla en todos los órdenes de cosas. Y es una de las formas que puede adoptar toda ciencia. Basta con que la vida se ponga en plan de unificar, plan vital anterior al plan categorial mismo. He aludido hace poco a este aspecto, y más ampliamente lo he desarrollado en mi Introducción al filosofar.

Digo, pues, que la lógica formal, bajo cualquiera de sus formas más o menos axiomatizadas, es un caso de degeneración de la lógica dialéctica, de la lógica racional;   —179→   y segundo, que es posible, sometiendo la lógica formal a la potencia analizadora suprema de la dialéctica, convertirla y superarla en lógica dialéctica; en tal caso la lógica formal resulta «momento», fase del movimiento dialéctico general.

La cosa es un poquito fuerte.

Equivale a tratar a la axiomática de «degenerada» y «degenerante».

¿Será verdad, según esto, que todo sistema de axiomas es un caso de simplismo? ¿O, dicho al revés, que toda ciencia bajo forma axiomática es una ciencia violentamente simplificada?

Ante todo probemos dos afirmaciones básicas:

a) la tendencia programática a construir axiomáticamente las ciencias es una tendencia definitoria, por tanto, finitista.

b) es imposible constituir de una manera perfectamente axiomática ninguna ciencia; cuando una ciencia ha conseguido su grado máximo de aproximación a un tipo de formulación axiomática, o bien remite a una ciencia superior o si se trata ya de la ciencia suprema remite a una metaciencia; y este proceso resulta transfinito, sin límite superior.

Luego toda ciencia es esencialmente incorporable a una dialéctica. Consideremos un universo de objetos: por ejemplo, el universo físico, integrado por todos los cuerpos, el universo geométrico integrado por todas las figuras, el universo aritmético integrado por todos los números, el universo lógico integrado por todas las proposiciones...; sin insistir, por el momento, demasiado en la palabra «todos».

Cada uno de los universos de objetos citados encierra unos objetos como propios, mientras que otros objetos no caben   —180→   en él. Así en el universo físico no entran entre los cuerpos las proposiciones; ni se puede hallar el número dos entre las figuras geométricas, o tropezarse con el círculo dentro de las proposiciones.

Proposiciones como: el dos atrae a la luna, una proposición afirmativa es cuadrangular, el círculo es par... que pretenden correlacionar directamente objetos y propiedades de objetos de dos universos resultan un sinsentido. Desde este punto de vista parecería que se dan universos de objetos tan distintos entre sí, tan cerrados perfectamente unos frente a otros, que la pretensión de unirlos por vínculos tan sutiles y elásticos como los de la lógica, lleva a un sinsentido. Y sinsentido. es la inconexión radical, más radical e insuperable que la de dos proposiciones contradictorias o contrarias.

Con todo, son proposiciones con perfecto sentido lógico las siguientes: en la ley de atracción de la luna entra como exponente el número dos; una proposición universal afirmativa, su universal negativa correspondiente, las dos proposiciones particulares adjuntas forman una figura lógica de cuatro extremos, semejante en su estructura relacional con el cuadrado; la ecuación del círculo es de segundo grado...

Es decir: la independencia de los diversos universos de objetos es absoluta.

Por este primer motivo, una fundamentación interna perfectamente cerrada de una ciencia es imposible. Y en realidad, en la axiomática de la geometría entran axiomas o postulados como los de Arquímides, Cántor, Dedekind, que, bajo una forma más o menos variada, hacen posible corresponderse la geometría y el álgebra; o sea, el dominio geométrico de las figuras no es absolutamente independiente del de los números. Y esta correspondencia entre   —181→   los elementos de ambos universos no es algo secundario: entra como uno de los axiomas, como una de las afirmaciones básicas de la ciencia geométrica.

Y un axioma correlativo integra el grupo de axiomas de la aritmética general.

Lo mismo sucede entre el universo físico y el universo geométrico-aritmético. La física puede constituirse como ciencia geométrico-aritmética, únicamente porque entre lo físico y lo matemático existe una correlación constitucional. Y en la ciencia física, desde Galileo, no interviene sino lo matemáticamente traducible, no habiendo, en general, axiomas sólo físicos.

La cosa no termina aquí: el universo físico adopta estructura científica por proyección en las matemáticas; la geometría no es posible como ciencia sino por proyección sobre la aritmética, y ésta sino por proyección sobre la lógica. De modo que la fundamentación científica de la física, el logos del ser físico, se halla en otro plano, en el de la matemática; la de la geometría en el reino de lo aritmético; y la de todo lo anterior, en lógico.

Hilbert, el gran axiomatizador, ha tenido que recorrer este, camino de sucesivas y ascendentes fundamentaciones.

En todos los sistemas de axiomas conocidos intervienen, por tanto, dos grupos bien distintos: uno el de los axiomas característicos, intrínsecos del dominio objetal correspondiente; y otro grupo, el de los axiomas de coordinación de tal dominio con otro u otros superiores. Sería un tema interesante estudiar, respecto de cada universo de objetos, la proporción entre los dos grupos de axiomas, para medir así el grado de relativa independencia de cada universo de objetos frente a los demás.

Y, dando una mirada somera, puedo afirmar que el grado de dependencia de un universo de objetos frente a   —182→   otro no es algo fijo ni en sí ni a lo largo de la historia; sino que es función del tipo de vida, más en concreto, de las categorías transformadas en vivenciales propios de cada tipo de vida. Por ejemplo: la geometría del heleno Euclides depende muchísimo menos de la aritmética que cualquiera de las geometrías de Riemann.

De una dependencia casi nula respecto de las matemáticas, llega la dependencia a un máximo en la física clásica y moderna relativista, y desciende un poco de este máximo con la física cuántica.

Proporcionalmente sucede lo mismo con la dependencia o grado de coordinación entre matemáticas y lógica.

Durante muchísimos siglos, la lógica ha funcionado solamente con motor deductivo de los elementos y relaciones matemáticas, sin constituir los objetos mismos matemáticos. Según Russell, Whitehead, Hilbert... y los partidarios de la fundamentación logística de las matemáticas, los objetos matemáticos mismos son íntegramente constituibles por estructuras lógicas puras. La lógica es el motor deductivo y la esencia misma de las matemáticas.

Pero la cosa no termina tampoco aquí. Falta lo más grave y significativo.

Supongamos que se ha logrado fijar para cada ciencia su sistema de axiomas.

Por ejemplo: los cinco grupos de axiomas geométricos, según Hilbert, en que el primer grupo, axiomas de pertenencia, incluye los axiomas de I(1) a II(8); el segundo, axiomas de orden, de II(1) a II(4); el tercero, axiomas de congruencia, de III(1) a III(5); al cuarto, axioma de paralelismo, IV(1); el quinto, axiomas del continuo, de V(1) a V(2). O el grupo de seis axiomas para construir deductivamente la lógica entera, según el modelo de Hilbert-Russell. O los tres grupos de axiomas   —183→   fijados por Reichenbach para la teoría de la relatividad: primer grupo, axiomas sobre la luz; segundo, axiomas sobre los cuerpos; tercero, sobre la relatividad general: total, 21 axiomas.

Etc., etc.

Cada sistema de axiomas, junto con los teoremas que de ellos se derivan, forma algo así como una red proposicional que envuelve todos los objetos de un universo dado; mejor aún, cada sistema de axiomas es un sistema de hilos que, diversamente entrelazados, constituyen la esencia, el logos de todos los objetos de la ciencia correspondiente.

Esto nos permite tratar cada ciencia como una unidad ideal. Y surge entonces el problema radical.

Respecto de cada ciencia, de cada tipo de unidad científica, se da un conjunto de problemas metacientíficos que, a pesar y aun precisamente por ser meta o transcientíficos, son la condición de posibilidad para que cada tipo de ciencia sea posible como ciencia y como una ciencia. Y en esta serie ascendente de problemas no se da límite superior asignable, de modo que, en última instancia, no se da en rigor ciencia alguna, como algo hecho y definitivo en sí, sino como movimiento científico transfinito, en virtud del cual cada ciencia no es sino un momento o fase de tal movimiento; y la fundamentación y justificación de cada ciencia no se halla en ella como algo interno o propiedad intrínseca actual, sino en su posibilidad y manera de superarse en otro tipo de ciencia y «así trans-finitamente».

La ciencia, como el hombre no «es» algo. La ciencia, como el hombre es una maroma tendida sobre un abismo. La ciencia no existe como ciencia sino en virtud y según   —184→   la medida de su potencia cinética, de su potencia de transfinitud.

De manera que es posible ordenar las ciencias según la serie ascendente de potencias de autosuperación y absorción en otra superior, según potencias de transfinitud. Y el grado de tal potencia de transfinitud de cada ciencia mide exactamente su consistencia científica, su posibilidad como ciencia, su grado de realizabilidad.

Si se detiene tal movimiento transcendente, transfinitante, se desmorona intrínsecamente toda ciencia. Un caso: el intuicionismo matemático que he estudiado.

Pero no basta con un caso: voy a la teoría general.

Parece, a primera vista, que respecto de cada tipo de seres habrían de coincidir exactamente su óntica y su ontología.

En efecto: si por ontología se entiende dar o poner patente el logos, razón o esencia de una cosa, de un ser; y por óntica, el plan de conocer y descubrir ni más ni menos que lo que la cosa es en sí, sin salirse de ella, sucede que, con el correr de los siglos, la ontología se va alejando cada vez más de la óntica, respecto de cada tipo de ser.

Si comparamos, por ejemplo, la geometría del heleno Euclides con la geometría euclídea, incluida y construida según los métodos de Riemann, la primera se aproxima mucho a una geometría óntica casi pura, en que la estructura, las propiedades, relaciones de las figuras entre sí se sacan en y de las mismas figuras por «intuición inmediata»,   —185→   ni lo aritmético ni lo lógico dan el logos o razón de lo geométrico, sino que en la geometría misma tienden a encajar perfectamente el tipo de ser y la razón de tal tipo de ser.

Por el contrario: en la geometría analítica, desde Descartes, el logos de lo geométrico no se halla en lo puramente geométrico, sino en lo analítico. Se separan lo óntico geométrico de lo ontológico geométrico.

En fin: por la fundamentación lógica de las matemáticas, el logos de lo geométrico, su ontología, se encuentra en un tercer plano, en lo lógico puro, en lo racional abstracto, bien lejos ya de lo óntico geométrico.

Esta progresiva diferenciación entre lo óntico y lo ontológico respecto del mismo tipo de ser es un fenómeno transcendental-vital, el más profundo en el orden científico. He aludido a él anteriormente bajo el nombre de plan categorial-vital. La ontología, el dar el logos a un ser, acontece en y por el plan categorial-vital propio de cada época histórica de la vida humana. Sólo cuando un tipo de vida se vive en extraversión, en plan intuitivo total, como el heleno, tienden a coincidir óntica y ontología, siendo mínima la ontología. Apenas la vida humana se pone en plan de interiorizarse, la ontología se separa de la óntica y resultan ontologías cada vez más amplias respecto del mismo tipo de seres o de óntica.

La serie de ontologías respecto de una óntica fija -del universo de los objetos geométricos, siempre el mismo en número y propiedades ónticas del universo de los objetos físicos, siempre igual en número y propiedades...- constituye el criterio supremo para apreciar el grado de transfinitud impuesto a una óntica, a un número de objetos.

  —186→  

Es claro que el cambio de ontología no puede explicarse por razones intrínsecas a una ciencia ónticamente constituida o constituida según una onotología de tipo inferior.

Así, no es posible encontrar dentro del plan categorial-vital de la geometría helénica, el motivo de por qué el logos de lo geométrico se dará más tarde en función de lo analítico y posteriormente en lo lógico; por qué el logos de lo físico pasa del plano de lo óntico de descripción eidética en Aristóteles y la escolástica al plano de lo matemático; surgiendo una ontología matemática de lo físico; por fin, por qué motivo lo físico no ha llegado a tener una ontología lógica pura, como la poseen la aritmética y la geometría.

Estos cambios de plan categorial-vital no pueden explicarse: son ellos mismos la raíz de la explicación de todo lo demás, del tipo de ciencia que adopta cada clase de objetos, de la estructura de tal ciencia, del modo de dar el logos de los objetos, de sus relaciones con los demás objetos... Son tales cambios, con una metáfora matemática, los valores de la suprema variable independiente histórica.

No es posible, en virtud de la intimidad absoluta de la conciencia humana, una óntica pura sobre ningún tipo de objetos; pero puede hacerse una óntica aproximadamente pura cuando el plan categorial-vital se coloca programáticamente en dirección eidética. Quédese esto aquí como invitación e indicación; motivo e incitación a criticar y valorar la fenomenología de Husserl.

Los cambios de plan categorial-vital y los correlativos de ontología son discontinuos.

Entre un objeto físico tomado en sí mismo y su imagen en el espejo podemos suponer que no hay continuidad   —187→   de tipo eidético; en el espejo el objeto se aparece de nueva manera, convertido en puro espectro luminoso, impalpable, etéreo. Existe, con todo, entre objeto físico y objeto especular una coordinación; y tal coordinación y la idea o modo de aparición nueva del objeto no es posible sino porque se da una supracosa que es el espejo que da a los objetos una posibilidad nueva de presentarse.

De parecida manera: cada plan categorial-vital es un tipo de original espejo que proporciona al mismo tipo de objetos la posibilidad de aparecerse con una nueva cara, con un nuevo eidos. Y entre estas caras nuevas que la misma cosa hace en diversos espejos categoriales y la cosa misma se da una coordinación: con la terminología moderna, cada plan categorial-vital proporciona una nueva definición de «coordinación» (Zuordnungsdefinition).

Claro está que dentro de cada plan categorial-vital es posible establecer una definición según el método clásico de definir, por ejemplo, sirviéndose del género próximo y diferencia específica. A este tipo de definición, propio e intrínseco de cada plan categorial, se llama definición esencial, hechas o no según el modelo aristotélico.

Traigo un ejemplo concreto.

La geometría del heleno Euclides se aproxima al tipo de geometría óntica; se halla constituida en un plan categorial-vital «eidético», más concretamente eidético-visual.

Los elementos geométricos y las figuras básicas se caracterizan en Euclides por sus componentes visuales: extremos, perfil, perfil sistemático o esquema (péras, hóros, schéma), figura, periferia...; centramiento de todo lo geométrico en la superficie, epipháneia, lugar de aparición del objeto ante la luz (phaos); carácter privativo de la tercera dimensión (stereón); punto, interpretado como semeion, señal, es decir, algo para un conocimiento   —188→   intuitivo; frente a punto interpretado como par de coordenadas o tríada de números,...

Por vivir el punto como señal, como alusión a explicitar, el punto se ordena a la línea; y por caracterizar la línea por sus puntos, sobre todo por sus puntos extremos, la línea resulta señal de segunda potencia, es decir alusión ya más explícita a otro tercer elemento, ya del todo claro, explícito y explicado ante la luz, a saber, la superficie cuya etimología griega es luz o aparición ante la luz (epí, pháineia, pháos, luz).

Recuérdese una afirmación básica de Aristóteles en el libro de la Interpretación (cap. IV, 17 a).

«Todo logos es semántico, pero sólo llega a ser apofántico aquel en que se verifica la manifestación o el ocultamiento de una cosa.»

Toda palabra es, para el heleno, lugar de aparición de una idea. Ahora que tal aparición puede hacerse en dos estadios: uno semántico, de simple alusión, de intención significativa, en que la idea apunta, amanece en la palabra, sin llegar aún a descubrirse clara y distintamente; y un segundo estadio, apofántico, de plena aparición, de cumplimiento intuitivo positivo o negativo; quiero decir, en que la idea se aparece en las palabras (proposición verdadera) o en que la idea se oculta necesariamente en ellas (proposición falsa).

Semántico es la misma palabra, que semeion, y apofántico la misma raíz que epifaneia o superficie, a saber, pháos, phaínesthai, aparecer luminosamente.

El punto es, por tanto, una palabra geométrica en que la plena idea geométrica está nada más aludida, tendiendo, apuntando a la plena idea que aparecerá plenamente en la superficie, única palabra apofántica, única palabra que dice perfectamente algo en geometría. De ahí que   —189→   el punto se defina como límite «de» la línea, otra palabra geométrica que alude a la idea apofántica de la superficie; y la línea a su vez es aún palabra imperfecta, semántica en segunda potencia, porque alude ya más dará y distintamente a la única frase apofántica en geometría que es la epipháneia, la superficie; por esto, línea se define como límite «de» la superficie.

El punto y la línea son palabras geométricas semánticas, podemos hacer decir a Euclides; la primera y fundamental palabra geométrica apofántica es la epi-phán-eia, la superficie, pues en ella tiene lugar, por primera vez la aparición o verdad de una cosa, del cuerpo geométrico en conjunto.

La superficie es, pues, límite del cuerpo y lugar de aparición plena de lo que de geométrico tiene; no de lo que tenga de físico, de metafísico...; mientras que el punto y la línea son simples límites «de», puras palabras semánticas, a lo más Lieder ohne Worte, cantos sin palabras, sin plenaria y patente significación.

«Quien» se aparece, como sujeto plenario, es el cuerpo; pero no todo lo de él es geométricamente aparecible; por eso cuerpo recibe en griego un nombre negativo, stereón, que significa de vez sólido y privado de (luz); la superficie es todo lo geométricamente aparecible o apofantizable del cuerpo; por tanto el quién geométrico es la superficie y la superficie habla por su contorno o perfil (horós) y balbucea o deletrea por las letras que son los puntos.

No sé que se haya hecho todavía una deducción transcendental-vital de la estructura de la geometría de Euclides desde este punto de vista del plan categorial-vital. Desearía que algún lector me descargase de la responsabilidad   —190→   que implica toda alusión: convertirla en apófansis, en cumplimiento intuitivo.

De todas maneras, las anteriores indicaciones me permiten afirmar el carácter intuitivo-eidético de la geometría helénica.

Euclides irá definiendo las figuras por su tipo de perfil, contorno, configuración visual. Suele decirse que la geometría de Euclides presenta forma axiomática. Y todo porque parece partir de un conjunto de proposiciones iniciales no demostradas. Si, en vez de traducir Hóroi por definiciones, se hubiese vertido por «perfiles» no se hubiese caído tan fácilmente en una interpretación radicalmente falsa del sentido de la geometría de Euclides.

En otra obra pienso dar una traducción, en términos visuales, de la geometría de Euclides; y en vez de horoi (definiciones) diré «perfiles»; en vez de punto, señal; en vez de línea, trazo; en vez de superficie, espejo...; sea cual fuere el escándalo que se arme.

Mas, llevemos un poco lejos la concordancia con la interpretación moderna de la geometría de Euclides. Se puede conceder que las definiciones iniciales equivalen, más o menos, a los cuatro primeros grupos de axiomas de lá axiomática de Hilbert: grupo de pertenencia, de orden, de congruencia, de paralelismo; lo que ya no es posible otorgar es que el grupo quinto que vincula la geometría con el análisis se encuentre representado en los axiomas de la geometría de Euclides.

Es claro que en la geometría de Euclides entran teoremas que, desde nuestro punto de vista, suponen una vinculación entre geometría y álgebra. Son raros y aun así habría que discutir su auténtico significado.

Pero no se trata de eso; sino de que la geometría de Euclides no está proyectada en el plano de lo analítico, de   —191→   modo que todo lo geométrico deba y pueda tener una formulación y definición analítica.

Sucede más bien lo inverso: que si algo de analítico (como el teorema de Pitágoras) entra en la geometría de Euclides aparece proyectado en el plano de lo geométrico puro; Las puras conexiones analíticas no valen sin más para la geometría. Esto, suponiendo que existiesen en la aritmética helénica.

Proporcionalmente lo mismo hay que decir de lo lógico.

Euclides compila, al comienzo de la geometría, un cierto número de «principios comunes», algunos de ellos puramente lógicos, tal como nosotros solemos interpretar lo lógico; por ejemplo, que el todo es mayor que las partes, la propiedad transitiva de la relación igualdad...

A tales «principios generales» da el nombre de koinaí énnoiai.

Ahora bien: aun exponiéndome a que algún lector proteste tan fuertemente que lo oiga desde los tres mil metros de altura en que me hallo, traduzco estas dos palabras griegas por «perfil eidético» contrapuesto en hóroi o perfil visual.

Voy a justificar la traducción brevemente, casi alusivamente.

     Ennoia es palabra compuesta de nous; y el nous era la inteligencia funcionando bajo plan intuitivo; y cuando la inteligencia funciona así, lo que entiende son ideas, eidos; y toda idea o eidos es o algo subsistente en sí, en un orbe ideal, sin materia alguna (Platón), o, al menos, se halla en el entendimiento sin materia (Aristóteles). Porque conocer es, según Aristóteles, recibir las ideas de las cosas sin su materia. (Libro sobre el alma, cap. VIII, 3.)

Pues bien; Euclides, tan heleno aún como Platón y Aristóteles, notó que había dos clases de perfiles; a considerar   —192→   en geometría: perfiles visuales y perfiles eidéticos. (Hóroi y énnoiai.)

Perfil geométrico visual es una idea en una materia especial; en la materia geométrica, no en materia física. En las «dimensiones» se aparecen las propiamente ideas geométricas que son las figuras -circunferencia, rectángulo, triángulo... -y figura es, según la definición de Euclides, un conjunto de perfiles (horoi) tan bien cerrado (periechómenon) que dé una unidad de contorno. Por este motivo trae inmediatamente, como figura típica, el círculo; ya que el círculo posee como extremo (peras) una línea, la circunferencia, y ese único extremo es a la vez límite (horos), y tal límite circunda enteramente la superficie interna, la define. En «una cosa» coinciden los aspectos de contorno, límite, extremo; lo que no sucede con las demás figuras.

Así que los hóroi o definiciones son ni más ni menos que perfiles visuales o elementos de perfiles visuales en la pura materia geométrica; hecha, no como la física, para efectos concretos de movimiento, de fuerza, de cambios cualitativos, sino para la pura ostentación ante la vista.

Además de estos perfiles visuales, que son los propios de una geometría intuitivo-eidética, se dan otros más sutiles, a saber, aquellas ideas lógicas puras que pueden tomar cuerpo y hacer de conexiones entre los perfiles visuales. No toda idea pura sirve para elemento conectivo entre perfiles visuales. Por de pronto, los llamados axiomas generales valen para este fin. Más aún: la lógica aristotélica es también de estructura visual. Aquí no puedo demostrarlo. Pero recuerde el lector que se halla centrada en la estructura de figura (schema) y que la figura silogística se define a base de horoi, de limites y extremos, de parecida manera a la definición de figura geométrica o perfil visual puro.

El   —193→   paralelismo entre los Elementos de Euclides y la lógica aristotélica es otro tema incitante que brindo al lector.

Desde siempre ha existido en lógica una simbolización geométrica de las leyes deductivas; se puede hallar en cualquier manual de lógica un poco dilatado.

Pues bien: es esta -posibilidad de representación geométrica de lo lógico lo que permite hablar de «perfiles eidéticos» (koinai énnoiai) presentes en los «perfiles visuales» (hóroi).

Y, por otra parte, la exigencia de visualidad obra selectivamente en el campo de las ideas puras, tomando solamente las que se prestan a conectar perfiles visuales con perfiles eidéticos.

Y como tales perfiles eidéticos no son propios y exclusivos de la geometría, llámanse comunes, generales. Con el mismo derecho los puede emplear la aritmética o la física.

Tiene, pues, perfecto sentido afirmar que la geometría euclidea se halla formada en plan categorial intuitivo-eidético-visual; o, desde el punto de vista entitativo, que es una geometría casi puramente óntica. El logos de lo que cada ser geométrico es, se da en el mismo plano geométrico, sin subirse a buscarlo en lo analítico o en lo lógico puro.

En cambio, desde Descartes, lo geométrico no es mirado en sí, sino en la imagen que delinea en un sistema de coordenadas, es decir, en un programa aritmético y algebraico. La figura geométrica ya no se compone de límites, de tal modo unidos que den un contorno típico; sino de coordenadas o sistemas de números unidos en la unidad de una función o ley algebraica.

Y, continuando en la misma dirección, la ley algebraica y sus elementos numéricos tampoco se mirarán en sí,   —194→   sino que se proyectará todo en otro espejo más sutil, el de la lógica. Y cada figura, a través de su imagen algebraica, quedará convertida en un en un tramado de relaciones, cuyos elementos ya no son ni puntos ni números, sino antecedentes, consecuentes, campos de relación, dominio anterior, dominio posterior...

Una figura ya no es ni un sistema de límites, ni un sistema de números, sino un sistema o nudo de relaciones.

Hemos cambiado, dos veces al menos, el plan categorial-vital de la geometría. Del mismo objeto se han sacado dos clases de fotografías: una, a la luz ordinaria; otra, en rayos Roenntgen. En la primera, ha aparecido la imagen, visible aún, de lo geométrico bajo forma analítica; en la segunda ha aparecido su espectro o radiografía lógica pura.

No coinciden, por tanto, óntica y ontologías de un mismo objeto.

Dado un tipo de objetos, su óntica es más o menos fija y única; pero no por eso está predeterminado su tipo de ontología. Serán posibles tantas cuantos planes categoriales-vitales tenga la vida.

Ahora me falta examinar cuidadosamente qué relaciones guardan entre sí las diversas ontologías de un objeto o los diversos planes categoriales (Entwurf, de Kant) en los que se aparece.

Dado este paso, la transfinitud de las ciencias adquirirá un sentido pleno y claro.

Cada tipo de vida se caracteriza por su plan categorial-vital en que se encierra «su» ontología -la manera especial   —195→   y genuina como tal tipo de vida dará razón de los diversos seres- y «su» fenomenología -la manera de proporcionarles accesos, posibilidad de presentarse como objetos.

Le fenomenología, como aparición del logos de las cosas ante la conciencia, y la ontología, como logos constitutivo de las cosas mismas, dependen del plan categorial-vital.

Dado un plan categorial-vital cualquiera, es posible, hasta cierto límite, aproximar la ontología y la fenomenología propias hacia una óntica; de modo que se puede afirmar que todos los planes categoriales-vitales empleados por la vida humana a lo largo de los siglos pueden converger hacia una sola óntica, aproximadamente «una». Esto sucede cuando la vida, sea del tipo que fuere, se pone en plan eidético, intuitivo, extravertido, lo cual es una de las posibilidades esenciales a la vida humana.

En rigor, no se puede hablar de una sola óntica resultante de todos los planes categoriales a los que la vida impone como condición adyacente el funcionar intuitivamente, extravertidamente. Aquí encaja perfectamente la comparación de los estados atómicos degenerados. La óntica, toda óntica -aunque aparezca como una, cual la raya espectral típica de cada cosa- incluye siempre una complejidad con implicación, la correspondiente ontología y fenomenología, sólo que implícitas, complícitas, indistintas. Con una cierta habilidad, parecida al análisis espectral, se puede siempre deshacer esta unidad óntica, y separar los tres grupos de componentes: ónticos puros, ontológicos y fenomenológicos.

Entonces aparece el primitivo estado de unidad como un estado de degeneración, de simplificación. Bajo   —196→   la forma de semilla las plantas más diversas se parecen mucho más entre si que en su estado de plena diferenciación. Bajo la forma de implicación en una óntica, los más diversos planes, categoriales-vitales, con sus correspondientes ontologías y fenomenologías, se parecen muchísimo más entre sí que en sus estados de plena diferenciación vital, de reflexión transcendental.

Esta posibilidad de vivir implicadamente, en unidad de simplificación óntica, ontología y fenomenología -en plan intuitivo-eidético- es una de las posibilidades de la vida humana en cualquier tiempo. Un primer caso, los helenos. Otro contemporáneo: Husserl.

Toda intuición, decía Kant es zerstreut. Vivir en plan intuitivo-eidético es vivir «distraídamente»: perderse o disiparse en la pluralidad inconexa de los seres; vivir di-seminado, arrojando su intimidad con la despreocupación gozosa del que siembra o di-semina la simiente viva de la conciencia en la tierra infinita de las puras cosas.

Sometida una óntica cualquiera a la reflexión ordinaria, no se descompone su unidad en varias rayas; sometida al análisis espectroscópico superior de la reflexión trascendental, la óntica se separa en tres grupos de componentes: ónticos simples, ontológicos y fenomenológicos; pero atacada por el poder analizador supremo de la reflexión transcendental-vital descubre cuatro órdenes, cuatro series de rayas, óntica simple, ontológica, fenomenológica y plan categorial-vital.

He aquí un programa de historia trascendental vital de las ciencias, de espectrografía vital. No sé que se haya realizado íntegramente en un solo caso; tal vez ni Dilthey lo propuso en su plena complejidad. Por eso al indicarlo en este estudio, tengo la impresión de sacarlo a pública subasta. Yo mismo pienso pagar por él el precio de una obra especial.

No voy, en el presente trabajo, a explicar las características del estado de «implicación óntica» sino por el contrario   —197→   la forma de explicación o diferenciación en que se distinguen casi a simple vista óntica, ontología y fenomenología frente a plan categorial-vital. Sólo bajo esta forma se puede hablar de la transfinitud de las ciencias en función de la transfinitud humana.

El cambio de planes categoriales respecto del mismo número de cosas, hace que las cosas se presenten en cada plan categorial de una manera especial (fenomenología propia del plan, poder típico de tal pantalla científica vital), y que se constituyan en él de un modo especial (ontología propia de plan).

Dejando de lado mil otros aspectos, me concreto a uno solo: qué correlaciones existen entre las diversas ontologías de una misma óntica o universo de cosas?

Cada plan categorial constituye las cosas de una manera original y propia: los diversos. tipos de logos o de constitución de las mismas cosas forman una escala continua, cada vez más clara, pero dentro siempre de una misma línea estructural o bien son discontinuos entre si, diversos logos, y en este caso ¿qué relaciones hay entre las diversas ontologías de la misma óntica?

Digo que dentro de cada plan categorial se puede dar de una cosa una serie «continua» de explicaciones o de logos que se llaman definición esencial, jerarquía de propiedades, árbol de Porfirio; digamos definiciones por subordinación de diferencia específica a géneros subordinados entre sí y sometidos a géneros supremos y a nociones análogos.

Mas entre las caracterizaciones propias de cada plan categorial sólo se dan definiciones de «coordinación» nada de géneros y diferencias específicas, de propiedades comunes, de árboles de Porfirio o cosas parecidas.

Concreto la teoría general en un caso.

Las cosas geométricas tienen un tipo propio de definición   —198→   dentro del plan semióntico de una eidética visual. Se definen, por ejemplo, en Euclides por los elementos eidético-visuales de extremo, perfil, contorno, límite, figura; esta jerarquía de aspectos, y por este orden precisamente -extremo, límite, contorno, perfil, figura- equivale en su valor definidor a la que se ramifica en el árbol de Porfirio -racional, viviente, sustancia, ser...

Así, he traído la definición euclidea de círculo (kyklos); es una figura, la figura por antonomasia, porque coinciden necesariamente en «uno» el perfil, el contorno, el límite y el extremo.

Cada figura quedará definida por las correlaciones entre estos aspectos.

Pero al cambiar el plan categorial-vital de la geometría de intuitivo-eidético a analítico, ninguno de tales aspectos ni su jerarquía en conjunto valen para definir. La circunferencia pierde su posición privilegiada; los puntos, su valor de extremos; las líneas, su valor esencial de límites de; la superficie, su prerrogativa de lugar de aparición de las figuras o ideas geométricas perfectas... El tipo de definición varía radicalmente; por tanto, los tipos y clasificación de las figuras.

En una geometría eidético-visual tiene pleno sentido tratar de triángulo y sus especies como de «una» clase de figuras diferente de la clase de los cuadriláteros; colocar las líneas rectas en especie diversa que la circunferencia; formar un grupo conexo entre circunferencia, elipse, parábola e hipérbola; señalar en cada especie un tipo, por ejemplo, la circunferencia como figura central y perfecta frente a las especies imperfectas por exceso o defecto (elipse, la deficiente; hipérbola, la excedente; tal significan en griego sus nombres propios); fijar el triángulo equilátero como tipo...

Pues bien: al imponer el plan categorial analítico, la misma   —199→   curva algebraica podrá definir los objetos más dispares desde el punto de vista eidético-visual. Por ejemplo, la ecuación de segundo grado con dos variables define de vez como figuras geométricamente subordinadas, sin preferencia por ninguna de ellas, el punto, dos líneas paralelas a uno de los ejes, una sola recta, la circunferencia, elipse, parábola, hipérbola; e inclusive casos sin directa correlación con figuras. Basta para ello discutir las cinco constantes indeterminadas que figuran en la ecuación general y los determinantes especiales de cada caso.

No es preciso recordar que ecuaciones de grados superiores definen simultáneamente un conjunto cada vez mayor de figuras, sin conexión eidético-visual entre sí.

Así que al variar el plan categorial se cambia el tipo de definición y el de división y clasificación de las figuras.

    a) En plan categorial eidético-visual: los objetos geométricos se definen por referencia a la escala: extrema, límite, contorno, perfil, figura.

    b) En el plan categorial analítico; los objetos se caracterizan por la escala: valores de las coordenadas, función o ley entre ellas, grado de las fundones, número de variables...

En el plan a), la unidad sistemática entre extremo, límite, perfil y contorno da «una» sola figura: el círculo, la figura perfecta, así en singular eidético. A medida que se vayan separando y realizando aparte los aspectos de extremo, límite, contorno, perfil... irán surgiendo dentro de cada clase, más y más especies de figuras, siendo las de cada especie, afines visual-eidéticamente.

En el plan b), cada tipo de ecuación selecciona sus especies sin respeto alguno a afinidades eidético-visuales, a relaciones entre límite, extremo, perfil...

Es   —200→   claro que entre los dos tipos de definiciones de los dos planos no cabe una subordinación esencial, como la que se da entre género y diferencia específica o entre géneros próximos. El logos del mismo objeto se da desde dos puntos de vista radicalmente diversos, casi inconexos. La ontología es diversa.

Pero, por otra parte, es claro que entre las dos ontologías del mismo objeto debe darse alguna especie de correlación sin subordinación. Este nuevo tipo de coordinación entre dos ontologías se llama definiciones de coordinación (Zuordnungsdefinition). Y esta coordinación es notada por los mismos matemáticos como un axioma, como algo primitivo e irreductible.

Puedo proyectar la geometría eidético-visual, primero en lo analítico, resultándome una ontología analítica de lo geométrico; pero cabe aún una proyección de segunda potencia, por lo que la ontología analítica de lo geométrico, pasa a aparecer como ontología formal o lógica. Me refiero a la fundamentación logística de las matemáticas. El nuevo plan categorial para lo geométrico y lo analítico será lo lógico. Y tendré de nuevo una original manera de definir.

    a) Plan categorial-vital eidético-visual en geometría: Escala definitoria: extremo, límite, perfil, contorno, figura.

     b) Plan categorial vital analítico, escala definitoria: valores coordenados, función entre coordenadas, jerarquía analítica de funciones...

    c) Plan ontológico formal o logístico. Escala definitoria: elemento-clase, clase de clases; antecedente-consecuente, relaciones, órdenes relacionales, estructuras isomorfas...

Entre   —201→   una definición eidética, analítica y relacional no puede existir una subordinación esencial, no cabe sino una coordinación, y las coordinaciones entre los aspectos definidores básicos de cada escala con los de otra se llamarán definiciones de coordinación. Una vez establecidas es posible trasponer sin más las definiciones secundarias y las deducciones de un plano a otro, constituyendo algo así como un diccionario trilingüe en que de cada cosa se de una triple definición en tres órdenes distintos.

Lo notable en este caso consiste en que los tres tipos de definiciones no se hallan en planos de igual extensión, sino que cada plano es transfinito respecto del anterior.

El plan categorial-analítico no solamente traduce en otra lengua lo geométrico del plan eidético-visual, sino que lo incardina a un orden infinitamente más amplio que el anterior, con otro tipo de conexiones más complejas y ricas. El plan categorial-analítico es una superación (Aufhebung) de la geometría intuitiva, y a su vez el plan categorial-lógico es otra absorción superadora del plan analítico.

Los matemáticos suelen llamar fundamentación a estos cambios graduales de plan categorial. En rigor, no lo son: dentro de cada plan categorial se dan fundamentaciones propias para todas las cosas, tipos especiales de definir, dividir, clasificar, deducir. Al proyectar todo un plan en el plan categorial superior, no se fundamenta el anterior, sino que se lo supera.

Cuando, por un acto de espontaneidad verdaderamente creadora, señalo en una línea dos puntos y llamo a tal intervalo «unidad» y le vinculo el intervalo aritmético cero-uno, he realizado una acción transcendental, en el pleno y estricto sentido de la palabra kantiana: he dado a lo geométrico-eidético una nueva posibilidad de acceso, el que se puedan presentar como objetos aritméticos   —202→   (aspecto fenomenológico), y a la vez tal posibilidad fundamenta la nueva «esencia» del objeto, su nueva manera de ser (ontología). Ninguno de estos actos que crean una nueva posibilidad de acceso y de esencia a las cosas es previsible; nacen del fondo más espontáneo y creador del Yo transcendental; son una Tathandlung, una hazaña; son Ursprung, salto primigenio del absolutismo de la conciencia y de la vida de un plan categorial a otro.

La transfinitud de un plan categorial frente al anterior se puede reconocer por mil indicios. Se podría discutir -y no voy a eliminar aquí esta aparente posibilidad- si la vida se contenta con cambiar de plan categorial, sin que tales cambios formen una sucesión ascendente hacia el Infinito, es decir, sin que cada plan fuese transfinito respecto del anterior.

Pero, primero: desde el punto de vista histórico, la sucesión de planes categoriales respecto del mismo número de objetos constituye de hecho, hecho que es factum transcendentale, una serie de superaciones ascendentes hacia el Infinito.

Segundo: se podría mostrar por una especie de deducción transcendental-vital que la evolución, de la vida humana va dándose tipos de vida que hacen posible, real y necesaria una serie ascendente de planes categoriales.

La primera parte de este estudio, en sus cuatro capítulos, ha tratado de esta transcendencia y transfinitud esencial al hombre.

En mi Introducción al filosofar he señalado tres tipos básicos del vivir humano: singular, individuo, persona. Cada uno posee su plan categorial-vital propio; y los tres tipos de vivir y los tres correspondientes planes categoriales vitales forman una serie ascendente y transfinita.

Y este hecho histórico no es un puro y simple hecho; como puede ser el que se den nada más tantos cuerpos en   —203→   la escala periódica de los elementos. Es un factum transcendentale, es decir, un hecho que hace «posibles» inclusive y hasta primariamente, esencias.

Los puros y simples hechos son el término y tope de todo proceso, lo definitivo, lo agotado en virtualidad; los hechos transcendentales, por el contrario, son la raíz de la posibilidad de todas las cosas. Tal es, por ejemplo, el tipo de realidad de una forma a priori de una categoría kantiana, y hasta el de una idea innata, si es que se dan.

De consiguiente: el hecho histórico de que las sucesivas fundamentaciones de un universo de objetos formen una serie transfinita debe ser puesto en conexión con la transfinitud del hombre. Y es precisamente tal transfinitud en la evolución y serie de los tipos fundamentales del vivir humano lo que ordena los diversos planes categoriales según un orden transfinito.

A pesar de los múltiples ejemplos que he traído a lo largo de este estudio, todavía he de confesar que siento un pequeño escrúpulo: haber dejado en forma de alusión demasiadas cosas.

Entender qué significa plan categorial vital y cambio, de él es una «faena vital». Y el vivir es algo que no puede hacerse con la imagen pura y con el entendimiento puro; vivir es lo real por excelencia, lo que no es sino siendo, lo comprensible en y por la experiencia vital de cada uno, irreemplazable, incitable a lo más. Por esto he dado a este trabajo, esencialmente faena vital, el título de Incitación e invitación a filosofar.

«Cuando en lógica se pierde el ímpetu dialéctico, decía Hegel, resulta la lógica formal ordinaria, un conjunto   —204→   sistemático de conexiones que en su finitud pretenden aún valer como infinitas».

El desplazamiento gradual del centro de perspectiva trae como consecuencia, en el campo visual, que el número de objetos comprendidos en él puede ir aumentando indefinidamente.

Lo que sucede, propiamente, al alejarse, según una recta, de los objetos no es que el número numerable de objetos crezca, sino que aparecen aspectos totalitarios, globales o figurales dentro de los cuales el número numerable queda implícito e implicado, es decir, trascendido en y por un tipo superior de unidad.

Digo número numerables, a saber, número que efectivamente, por la vista u otro sentido, podamos contar. Al alejarse de los objetos, la posibilidad de distinguirlos individualmente va desapareciendo; en cambio aparecen nuevos tipos de posibilidades cognoscitivas; al alejarse de los árboles surge la forma figural (Gestalt) típica de bosque; al separarme proporcionalmente de las gotas de agua aparece la figura total de nube; si me aparto convenientemente de fulano y mengano... podré ver el aspecto (eidos) de hombre en cuanto especie, tal como lo percibió Aristóteles, al decir que hombre es animal que habla (logos); o sea, rebaño que emite, con una cierta arbitrariedad, un sonido típico en que aparece lo que las cosas son. Porque, para el heleno, el hablar no es función individual sino colectiva, y a servicio- no del individuo sino de las cosas todas. El hombre helénico, he dicho en otro estudio, se vivía como «altavoz del universo». La definición aristotélica, del, hombre como animal político admite parecida interpretación figural. Cuando los animales se juntan de manera que desaparezca éste, ése, aquél... aparece la forma típica de ganado; cuando los hombres se juntan de modo que ya no cuente éste, ése, aquél...,   —205→   aparece una forma típica global que se llamará asamblea, ciudad, junta... Y el hombre, así en singular eidético y podrá definirse, gestalttheoretisch, figuralmente como animal político.

Toda figura global (Gestalt) incluye, es cierto, muchos elementos; pero no se compone de ellos, transciende con su tipo de unidad su pluridad. De modo que no se contraponen contrariamente o con el tipo de oposición que sea, la unidad de la figura y. la pluralidad de sus elementos, como se contraponen la unidad de un elemento y la pluralidad de los demás, sino que, la unidad propia de una figura es supraunidad. Por esto puede abarcar todos los elementos e inclusive conservar su aspecto típico total variando entre límites más o menos amplios el número de elementos.

Toda figura global es, pues, una unidad de perspectiva, un punto de vista transcendente que se ha levantado (ascendere) más allá, por encima (trans) de la oposición uno-muchos, uno-todos, uno-algunos, cada uno. de todos...

Todo universal, llámese concepto universal, idea universal, no es más que un aspecto, una figura global. No es ninguna cosa, ni propiedad de cosa, ni atributo o modo de cosa alguna; posee una estructura parecida a la de los aspectos globales aludidos. Bosque, en cuanto aspecto totalitario típico, visible en sí, no es nada real de tipo de árbol, de color, de figura geométrica... Si el aspecto de bosque parece tener color y figura no son éstos, del mismo tipo cósico que los árboles y los colores de sus hojas o ramas; ni posee vida, el bosque en el mismo sentido que los árboles ni es clasificable con ellos desde ningún punto de vista real ni científico. El bosque «es» bajo forma de puro «aspecto» de pura expresión entitativa.

El   —206→   universal no es, pues, ni un ser real ni un ser de razón; es un aspecto o una expresión; y aspecto y expresión no son maneras de ser o seres, sino maneras de aparecerse las cosas o seres.

Pues bien: cada ciencia posee su tipo de universales, sus puntos de vista desde los cuales se ven aspectos y expresiones típicas de los objetos y únicamente colocándose en tales distancias aparecen por vez primera los aspectos figurales totales propios de cada ciencia.

Si comparo las diversas ciencias desde el punto de vista de las relaciones entre los objetos tomados en su singularidad y oposiciones particulares y los aspectos figurales o universales típicos de tal ciencia, puedo disponer las ciencias según potencias ascendentes de aspectos figurales o universales.

Y esto de dos maneras: positiva y negativa. Quiero decir comparando una vez el número de notas o detalles particulares que se van perdiendo (criterio negativo), o bien comparando directamente los aspectos totalitarios y globales entre sí (criterio positivo). Grados de desindividualización y grados de universalización.

Dentro de cada ciencia, entre sus tipos de universal o de aspectos figurales y los objetos no se da continuidad estructural; no se hallan aspectos o universales en el mismo plano ni de ser ni de idealidad que los objetos, no porque sean unos de un orden de ser o unidad superior al orden de los otros -como animal es, en cuanto ser, superior a piedra- sino porque los aspectos y los universales no son seres, ni su unidad es unidad sino supraunidad, transunidad.

Ni siquiera en el orden humilde de los aspectos visibles con los ojos como entre bosque y árboles, se da tal continuidad   —207→   estructural -óntica, gnoseológica- entre aspecto y objeto.

Pero la discontinuidad va mucho más lejos: no sólo no existe continuidad o semejanza estructural entre aspecto o cosa sino que tampoco se da entre los diversos tipos de aspecto. Los universales típicos no forman una escala continua y homogénea. Y esta discontinuidad es, precisamente, la que da sentido y hace posible someter las ciencias a un proceso transcendente, dialéctico y especulativo.

En cambio; si comparo las diversas ciencias, definiéndolas según el punto de vista cuantitativo del número de objetos incluidos en sus aspectos o que desaparecen en su singularidad al remontarse a aspectos superiores se puede establecer una cierta continuidad entre todas las ciencias.

Según este criterio numérico es claro que el número de objetos incluidos globalmente, indistintamente en la lógica es mayor que el encerrado en el álgebra o en la física; o, por el lado inverso, que la supraunidad de las figuras lógicas (universales lógicos) es mayor que las de las figuras matemáticas, y por tanto, los objetos están más difuminados, más desdibujados en su singularidad y detalles concretos dentro de las figuras lógicas que dentro de los aspectos físicos.

Y este grado de desdibujamiento o desdefinición de lo singular dentro de un aspecto no es algo puramente negativo. Que los árboles sean más visibles dentro del aspecto total y típico de bosque que lo son las gotas de agua dentro de la nube depende la estructura propia de tal aspecto que permite, ella misma, una mayor o menor convisibilidad o visión indirecta de los objetos.

Con una frase de Husserl: cada tipo de universal o de aspecto tiene su tipo de «unidad de mención», su manera unitaria y propia de referirse a sus objetos.

Notó delicadamente Husserl, por ejemplo, que las categorías   —208→   objetales puras: todos, algunos, ninguno, cada uno... posee cada una su tipo unitario de mención. «Todos» no es lo mismo que éste más éste más éste... La alusión característica de «todos» a cada uno de todos los de un todo es totalmente diversa del tipo de alusión descrito por la formulación: éste más éste más éste... El aspecto de una enumeración nada tiene que ver con el aspecto de una mención global, como el aspecto de cadena es distinto del de bloque.

Únicamente si considero las cosas desde el punto de vista puramente numérico podrá suceder muy bien que sean equivalentes o equinuméricos los aspectos de cadena enumerativa y de bloque o universal global. Pero en este caso no comparo aspecto con aspecto, sino elementos con elementos.

Pretender interpretar sistemáticamente las categorías lógicas -todos, algunos, ninguno, cada uno, único... clase, clase de clase, relación, relación de relación...- desde el punto de vista de los elementos en particular, prescindiendo del aspecto típico de las alusiones, categoriales, se llama en logística moderna «tesis de la. extensionalidad» o con un término más viejo, nominalismo lógico. Ambas tesis provienen de adoptar la misma posición frente a las cosas, a saber, colocarse demasiado cerca de ellas. Entonces, como al aproximarse desmesuradamente a un bosque, desaparece el aspecto típico y global, la supraunidad visual, y aparece cada uno de los elementos arbóreos en su singularidad inconexa. Sólo cabe entonces para restituir de alguna manera la unidad total, enumerarlos, unirlos por una cadena numérica, que es la más inconexa de todas las maneras de unión, pues une por un puro «y» y por una pura dirección progresiva.

Con estas someras alusiones es posible ya distinguir delicadamente tres maneras de hacer, lógica:

Lógica   —209→   formal: construida bajo la norma de resolver los aspectos globales típicos en sus correlatos numéricos. Las categorías figurales -todos, algunos, único, uno de algunos..., se resuelven en: A-y-B-y-C-y-D...; en A, en A-y-B, etc. Clase de clase se resolverá, por ejemplo, en A-y-B, siendo A (a-y-b-y-c-y-d...) y B (m-y-n-y-o-y p...) etc. Por esta reducción al estrato enumerativo, los tipos de alusiones propias de «todos, algunos, único...» quedan uniformadas y se puede pasar de uno, a algunos; de algunos, a algunos más; y a todos...

Con esta proyección hacia abajo, hacia lo numérico, o más ampliamente, hacia lo enumerativo, la, lógica se reduce a una aritmética general.

La tesis de la, extensionalidad, aceptada en toda su amplitud, como lo hacen Whitehead, Russell, Carnap y la mayoría de los logistas modernos, convierte la lógica formal en una matemática; o, si queremos, la lógica formal es la proyección que la lógica dialéctica da sobre la aritmética, general; una proyección sobre número menor de dimensiones, como la de un cuerpo sobre un plano; por eso lo más fino y típico de la lógica pasa desapercibido para la lógica formal.

La lógica dialéctica incluye, por el contrario, todos los aspectos lógicos, los tipos de mención unitaria, las clases de perspectivas sobre los objetos, sean los que fueren -reales, ideales...- Tal lógica es ya un eslabón o estadio del proceso dialéctico y transfinito; es, por de pronto, transfinita respecto de las ciencias anteriores: física, geometría, aritmética... Y no sólo transfinita en el sentido seminumérico de los números cantorianos, sino en el más rigoroso de la eidética: órdenes eidéticos de aspectos típicos, de categorías con unidad típica de mención.

En la lógica dialéctica ya no vale la tesis de la extensionalidad ni el axioma de reductibilidad de Russell ni se puede   —210→   ya constituir la lógica axiomáticamente ni es de tipo deductivo puro.

Cuando proyectamos un cuerpo en los tres planos fundamentales de un sistema de coordenadas cada proyección nos da, por decirlo así, una reducción típica del cuerpo a dos dimensiones; y las tres proyecciones resultan relativamente independientes entre sí.

Si solamente existiese, dice Bergson, el anaranjado, nunca nos hubiese acudido tomarlo por un color compuesto de rojo y amarillo. Únicamente cuando estos dos colores se presenten preliminarmente, a parte uno del otro, como distintos y convertidos por un acto nuestros en sistema de coordenadas armónicas, proyectamos el anaranjado sobre ellos, aparecerá este color como compuesto de ambos. No es, pues, que el anaranjado sea color ni simple ni compuesto. El que sea uno u otro depende de una proyección actual o posible sobre una pluralidad o sobre una unidad. Pero el anaranjado tiene, independiente de esta contingencia proyeccional, su eidos o aspecto visual propio.

De parecida manera: la lógica dialéctica es una ciencia suprauna con aspectos eidéticos propios, con estructura, original transaxiomática. Solamente cuando pongo ante ella ese espejo plano que son las matemáticas puras se me aparece como integrada o compuesta de un cierto número de axiomas independientes entre sí.

Y el principio de extensionalidad y el axioma de reductibilidad no dicen más que esto: que es posible proyectar la lógica sobre las matemáticas y resulta una lógica especial, la lógica formal, que es la lógica en dirección inversa a la que tiene la lógica dialéctica.

Porque se dan, no se sabe el motivo, tres planos coordenados independientes es posible que la supraunidad del cuerpo se descomponga en tres unidades, en tres proyecciones   —211→   . Pero tal supraunidad no se compone de las tres unidades, las transciende.

Porque se da un universo de objetos matemáticos es posible proyectar en él la lógica dialéctica y aparecerá su transunidad descompuesta en un sistema de axiomas «matemáticos, demasiado matemáticos».

Al proyectar una magnitud geométrica sobre los ejes coordenados, su unidad eidética queda, como la luz al paso por un prisma, descompuesta entres magnitudes independientes, cada una con su aspecto eidético propio. Y entre las tres magnitudes coordenadas y «la» magnitud originaria en su estado simple no se da una relación directa. En rigor, no se da ninguna relación fija y concreta. La descomposición proyeccional (no digo proyectiva, para no engendrar confusiones con la geometría proyectiva) es algo arbitrario: depende del tipo de ejes adoptados; cada tipo de coordenadas con sus ejes da una descomposición especial y no existe un sistema de coordenadas único posible y único valedero para la geometría.

Más aún: el empleo de coordenadas, el sistema de proyectar todo en otro es un procedimiento transcendental, casi en sentido kantiano de la palabra, pues da a los objetos geométricos la posibilidad de aparecer de una manera nueva y de definirse ellos mismos de modo original.

La designación proyeccional de una magnitud efectuada por y en un sistema de coordenadas es arbitraria, dentro de límites amplísimos.

Entre los componentes de tal magnitud dados por el sistema de coordenadas y la magnitud misma en cuanto proyectada no se da relación de composición directa. Las coordenadas de una cosa no componen la cosa, como el oxígeno y el hidrógeno componen el agua, o como el triángulo se compone de tres lados. Y no puede ser de otra manera, desde el momento en que los componentes de un objeto   —212→   tienen que ser fijos y, las coordenadas del mismo objeto son arbitrarias, dependen del sistema elegido. Por esto se podrá decir sin confusión posible que el objeto es supra-uno frente a la multiplicidad de sus coordenadas.

Ahora bien: entre objetos de la misma especie cabe establecer una relación directa de, unión; así dentro de la sucesión aritmética se puede descomponer el tres en dos números (I, 2) unidos por la suma; e inversamente; dados dos números, la suma proporciona como resultado otro número bien determinado.

Pero cuando interviene una proyección, no basta que se me den los valores coordenados, es preciso un nuevo axioma que fije la manera de unirlos, de otro modo será imposible saber qué magnitud resulta. Y todo, porque como he dicho, las coordenadas de una magnitud no son componentes eidéticos o esenciales de dicha magnitud.

Puedo emplear como sistema de coordenadas el de tres ejes perpendiculares y obtener las proyecciones o coordenadas de un objeto, por ejemplo, de un segmento de línea recta. Mas será preciso que fije por un acto libre y extrageométrico, la ley de unión entre ellas para correlacionar «las» coordenadas con «la» magnitud. Tal ley puede ser la cuadrática del ds2 en su caso más sencillo de coeficientes constantes.

Por suerte para la geometría son dadas independientemente las coordenadas de un objeto en su pluralidad, por una parte, y por otra el objeto mismo en su supraunidad típica. Así tienen imagen visual propia las coordenadas de un objeto, de un segmento de línea recta y la misma línea recta, no proyectada. De ahí que la correlación entre las coordenadas de una figura y la figura misma sea, en rigor, una relación entre cosas que existen y se presentan como independientes y anteriores al tipo de correlaciones que   —213→   se establezcan, v. g. , al tipo de correlación por ds2 y no por ds4.

Pero la buena suerte no puede durar mucho, so pena de que no sea suerte; y el caso anterior es simplemente caso de suerte, excepcional y raro.

Durante muchísimos siglos se ha hecho geometría sin coordenadas, sin proyectar y descomponer las figuras, por correlaciones directas entre lo que de inmediato presentaban las figuras. Es el caso metafórico del anaranjado señero de Bergson.

Cuando, por Descartes, apareció ese aparato analizador que son las coordenadas, lo eidéticamente simple comenzó a aparecer múltiple; tan múltiple, tan demasiadamente múltiple que a «una» cosa era posible hallarle infinitas descomposiciones y componentes; e inversamente, con los mismos componentes, cambiando el sistema de coordenadas o la ley de unión, resultaba hacedero construir infinitas cosas.

Supongamos ahora un caso no tan favorable: que se nos den las coordenadas, sin fijarnos la ley de unión (v. g. la que fija el elemento infinitesimal de distancia, ds2), o que nos den las coordenadas, la ley de unión pero que no hayamos visto nunca en su supraunidad el objeto construible con, las coordenadas y con la ley. En este. caso, el geómetra tiene que hacer un acto de fe en la lógica, en el principio de exclusión de tercero que dice que tal objeto existirá o no, aunque no lo haya visto, aunque no lo pueda ver, inclusive aunque no lo construya de hecho. El intuicionismo de Brouwer protestaría. Aquí no interesa su protesta sino otra cosa.

Y estotro es lo siguiente: únicamente la supraunidad del objeto frente a la pluralidad o variedad de componentes de un sistema de referencia puede fundamentar la compatibilidad   —214→   , suficiencia y poder definitorio de tales componentes.

La supraunidad del objeto es siempre de un orden superior a los componentes y las relaciones entre ellos. Aun en el caso ínfimo de un componente, los matemáticos tienen que distinguir, so pena de contradicción, entre el elemento único de una clase y la clase de un único elemento (en vez de clase podríamos decir todo, conjunto...). El todo no se halla entre las partes como una de ellas ni siquiera entre todas las partes unidas, porque todo, conjunto, clase, clase de clases, todo de todos... son aspectos, universales en el sentido explicado, y no cosas como lo son las partes o componentes.

La supraunidad de un objeto es siempre un aspecto y nunca una cosa o propiedad de cosa; y tal aspecto surge en su originalidad precisamente frente a una pluralidad de cosas, frente a una variedad, y cuando más inconexa (variables independientes, coordenadas...), mejor resalta la supraunidad del objeto, su átomon eidos, en cuanto atómico, indivisible.

Desde hace muchísimos siglos los filósofos saben que la unidad no es una cosa, ser o propiedad de ser o cosa sino un atributo, algo tan sutil y tan sutilmente unido con cada cosa que apenas se distingue de ella con distinción de razón. En cambio, la pluralidad no es atributo del ser ni de ningún ser, sino propiedad de las cosas, y propiedad fundamentada en causas propias como la contrariedad, relación, o cualquier tipo de oposición.

Allá en los buenos tiempos en que los escolásticos supieron filosofía, notó delicadamente Santo Tomás que la pluralidad es «dada» antes e independientemente de la unidad y que la pluralidad incluye un aspecto cósico propio, frente al cual la unidad aparece como su negación. Y no resulta círculo vicioso definir la unidad por la pluralidad   —215→   , como negación de ésta, porque la unidad no es, pura y simplemente, la negación de pluridad -lo indivisum in se, divisum ab alio-; sino algo positivo, de orden superior a la pluralidad; la unidad frente a la pluralidad, a «su» pluralidad es supraunidad, es transunidad; niega la pluralidad y además la supera; y este aspecto positivo de superación no es previsible ni cognoscible a través de la pluralidad, sino que debe sernos dado, surgir ante la mente.

Ahora bien: mientras los filósofos y científicos vivieron en plan eidético inmediato, mirando las cosas tal cual Dios las hizo y ellas se presentan, cada objeto era simplemente y sin pretensiones «uno»; y algunos eran muchos, cuando intervenía una oposición real. La unidad no aparecía como supraunidad. Sólo cuando se colocaron en plan constructivo universal, no dejando títere con cabeza, descomponiendo todo, no sólo en sus partes esenciales o naturales, sino desde puntos de vista radicalmente múltiples (variables independientes, sistemas de coordenadas, sistemas de referencia... ), la unidad de las cosas apareció como supraunidad y la reconstrucción de la unidad por medio de tales tipos de pluralidades resultó un rompecabezas, o no llevando demasiado lejos el pesimismo, un mosaico. La unidad, así en singular y en unidad, se escapaba por todas partes y de todas partes.

Esta ascensión de la unidad a supraunidad sucede en geometría cuando se pretende reconstruir la unidad de una figura por la pluralidad primaria e irreductible de las coordenadas.

Y se halla en aritmética, cuando se intenta construir la unidad simple de un número -el número eidético, según la terminología de Platón y Aristóteles- con una pluralidad de sumando o unidades; y hacer equivalente, por   —216→   ejemplo, el 5 con 2+3, con 3+2, con 1+2+2, etc., o por fin, con (I+I+I+I+I).

Esta discontinuidad primaria entre unidad o supraunidad de cualquier número y su pluralidad de elementos con pretensiones reconstructivas hizo decir a Kant que todos los juicios matemáticos propiamente tales son juicios sintéticos a priori. Y tiene toda la razón.

La fundamentación axiomática de una ciencia se hace a base de una pluralidad de axiomas, irreductibles entre sí, compatibles y suficientes para construir deductivamente toda una ciencia y sus objetos.

Voy a mostrar brevemente que todo sistema de axiomas funciona como un sistema de coordenadas ideológicas, no como un sistema de componentes ideales o partes naturales de un objeto y que, por tanto, toda ciencia axiomáticamente constituida no puede llegar a tener, en el mejor de los casos, más que una unidad negativa; o con otros términos más técnicos, de ningún sistema de axiomas se puede mostrar que es coherente y suficiente, sin acudir a una metaciencia y de metaciencia en metaciencia hay que llegar a una ciencia constituida transcendentalmente, no axiomáticamente. Tal metaciencia absoluta es la lógica dialéctica en sus dos fases ascendente y descendente (véase el No. 41).

Comencemos meditando un poquito sobre las consecuencias de suponer que se dan conceptos privilegiados y proposiciones privilegiadas, sometidas a las condiciones de compatibilidad, independencia y suficiencia.

Desde el comienzo de la filosofía y de las ciencias se han dado conceptos, objetos y- proposiciones privilegiadas, sólo ha variado el tipo de privilegio.

Para Platón existe una idea central, absoluta de la que participan todas las demás, quedando subordinadas a aquélla según una jerarquía de divisiones esenciales dicotómicas. No se compone, propiamente hablando, ninguna idea de las demás o de otras ideas; cada idea -mirada en sí misma, descartando lo que le viene por participación de otra- es atómica, orbe ideal cerrado sobre sí, único, simple. La participación y sus tipos unen las ideas entre sí, mas participar no es «ser»; participar (metéchein), imitar (mímesis), asemejarse (homoíosis)... son maneras extrínsecas de unión frente a la manera intrínseca de ser algo porque este algo sea del ser de uno. Ni la idea de ser ni ninguna otra, entra en la entifacción de ninguna otra idea. Recuérdese el fracaso final -por incomunicabilidad ontológica absoluta de las ideas entre sí- tomadas en su originalidad y puridad -del diálogo Parménides. A este modo, casi externo de ser una cosa otras por participación de un ser central se llamará más adelante «ser algo por analogía de atribución», ser algo por converger y tender hacia algo; ser algo no por lo absoluto de ese algo sino por ser o tener una relación hacia tal algo.

El universo ideal platónico se compone, pues, de perlas ideales señeras y simples, de átomos ideales; cada uno es todo y sólo el mismo; aunque cada uno deba estar en relación con la Idea central y con las superiores e inferiores. No se dan, por tanto, en el universo platónico sistemas de ideas privilegiadas, fuera de la central. Todas son compatibles entre sí, no directamente sino por converger en Una, como lo son todos los caminos que llevan al mismo término; son, además, independientes entre sí, dependiendo sólo relacionalmente de la Idea central y de otras por relación mediata con la central. El universo   —218→   ideal posee solamente unidad de perspectiva, unidad relacional convergente en Uno.

No se puede decir en el universo platónico que «el movimiento es ser», sino que el movimiento participa del ser, el movimiento converge hacia el ser...; y no es lícito dejar nunca el artículo determinado singular y hablar en general de ser, de sustancia, de movimiento... Y menos todavía cambiar la formulación de las ideas dándoles, en forma vez de sustantiva pura adjetiva o adverbial. Para cada idea sólo se da una proposición propia: la idéntica: el ser es el ser, el movimiento es el movimiento, la diversidad es la diversidad...; pero ni siquiera vale «lo uno es identico consigo mismo», lo uno es diverso de sí mismo, lo uno es, lo uno no es... (Parménides). No sólo «lo Uno» está más allá de toda oposición, sino que cada idea -tomada en sí, en puridad subsistente- está más allá, en cuanto tipo, de todos los predicados, aun los que mutuamente se excluyen.

De consiguiente: el sistema platónico no permite construir ninguna ciencia según modelo axiomático. La independencia de los axiomas, bajo forma de proporciones, exige que puedan ser verdaderos o falsos unos independientemente de otros, de modo que la falsedad de uno no traiga como consecuencia la de los demás, ni la verdad de uno garantice necesariamente la de los otros. Cada uno es compatible tanto con la afirmación como con la negación de los demás. Un aspecto de esta independencia se halla, ciertamente, en la jerarquía platónica de las ideas, mas sólo en sentido entitativo -una idea ni es ni no es otra- pero siempre se da una subordinación o unión relacional, en virtud de la cual todas convergen, mediata o inmediatamente, en la central. Esta dependencia relacional convergente constituye la unidad del universo inteligible; ninguna idea puede faltar de él.

Si quitamos del universo platónico la condición de convergencia universal de toda Idea hacia la Idea suprema, nos resultarán orbes de ideas especiales: el universo aritmético, el geométrico, el de las ideas abstractas... Y dentro de cada uno de estos orbes, independizados ya de la condición de convergencia, habrá ideas centrales, una o varías, que se parecerán en su estructura al de un sistema de axiomas, ya que son independientes entre sí, compatibles y suficientes para constituir todo el orbe particular. Y, en efecto, explicaré inmediatamente que todo sistema de axiomas se parece bastante a este modelo reducido de sistema ideal platónico, con todas sus ventajas e inconvenientes.

Al suponer orbes ideales independientes de la condición de convergencia hacia la Idea absoluta, desaparece de cada orbe y de la ciencia correspondiente el aspecto dialéctico. En virtud de tal convergencia era necesario y posible superar cada universo de ideas -las físicas en las geométricas, éstas en las aritméticas, todas en las lógicas...- reduciéndose poco a poco el cono ideal para terminar en el vértice de la Idea suprema de Bien.

Veremos que, al constituir axiomáticamente orbes de objetos, los oficios de la dialéctica platónica -la condición de convergencia en la Idea suprema en virtud de las relaciones transcendentes de ímpetu y hormona- son suplidos, hasta cierto punto, por la lógica, por un tipo especial de lógica fluctuante entre lógica formal y lógica dialéctica. Y es esta fluctuación en la constitución y empleo de la lógica lo que permite hablar de dialéctica en las ciencias actuales y fijar un límite inferior para cada ciencia, más allá del cual la ciencia no es posible como ciencia, si prescinde de tal dialéctica mínima.

En este sentido, el valor absoluto o cantidad de dialéctica empleada por una ciencia no es fijo; oscila, como todo   —220→   , en función del tipo de vida o del plan categorial-vital; pero se da una frontera inferior, una cantidad mínima de dialéctica, de trans-ciencia, que entra necesariamente en cualquier tipo de constitución de una ciencia.

Cuando una ciencia -álgebra, geometría, física..- adopta la forma axiomática, el valor absoluto de dialéctica necesaria a dicha ciencia baja a un mínimo. La física es entonces mínimamente meta-física, la geometría es mínimamente meta-geometría...-; donde el metá o trans alude al grado transfinitud humana, correspondiente al estadio histórico de la vida.

Si del universo platónico quitamos las condiciones de convergencia, se descompone en orbes de relativa independencia; pero es preciso añadir que se pierde entonces toda dialéctica, porque la lógica platónica era, igualmente, de tipo eidético puro y, por tanto, no podía servir de lazo dialéctico.

Por el contrario: los sistemas de axiomas se parecen, por muchas partes, a un universo ideal atómico; sólo que ahora la lógica no posee estructura atómica perfecta, sólo es axiomatizable hasta cierto límite finito; de ahí que pueda actuar como vínculo científico universal para todos los universos axiomáticos.

Antes de continuar esta comparación entre universos platónicos y universos axiomáticos, hay que intercalar una alusión al tipo aristotélico de ciencia.

Hasta las teorías atómicas primitivas de Rutherford y Bohr el sistema astronómico solar --con su cuerpo central, planetas, órbitas, ley de gravitación...- no servía en física general como modelo constitutivo de los objetos, no funcionaba como teoría física con Rutherford y Bohr, la estructura, aun figurativo-visual, del sistema solar pasa a ser plan científico general, teoría explicativa: (dejo   —221→   aparte más precisiones, pues sólo me interesa como comparación).

Hasta Aristóteles sólo existe en metafísica un sistema astronómico ideal, el centrado en la Idea Suprema, alrededor de la cual se hallan, cada una en conveniente distancia, las diversas ideas, ordenadas a lo más en constelaciones secundarias, en planetas y satélites. Pero cada una de las ideas no es un sistema central perfecto. La estructura general del universo platónico no será, por tanto, como tampoco en Newton la del sistema solar, teoría física, plan científico general.

Con Aristóteles, en su segunda metafísica, el modelo platónico pasa a ser estructura íntima de todas las cosas que sean substancia. La estructura del universo platónico se convierte de astronómica, por decirlo así, en atómica, desapareciendo, por tal interna asimilación, la astronomía ideal del universo inteligible platónico.

El átomo ha llegado a ser tan perfectamente sistema solar interno que ha hecho desaparecer, el sistema solar macroscópico.

Pero, en resumidas cuentas, el modelo estructural general para la constitución de todo ser, permanece el mismo en Platón que en Aristóteles.

De una óntica centrada en un solo supraser pasamos a una óntica centrada en tantos seres cuantas sustancias, cada una de las cuales hace de centro de sus accidentes.

No es este lugar para justificar plenamente esta interpretación del concepto de sustancia aristotélica y de la isomorfía entre el cosmos noetós de Platón y el cosmos entitativo integrado para cada sustancia y sus accidentes.

Me refiero a dos detalles imprescindibles para el presente estudio.

Accidente se dice en lenguaje aristotélico y symbebekós, o sea, acompañante, con-comitante, casi satélite. El accidente   —222→   no «emana» de la sustancia, como afirmarán más tarde los escolásticos, puestos ya en la dirección hacia la fase de interiorización cartesiana y conversión de los accidentes en atributos y modos.

El accidente, según Aristóteles, no pertenece a la sustancia, al peculio entitativo de cada cosa; la función que ejerce es fenomenológica; el accidente es lugar de aparición de lo interior del ser, del haber o sustancia de cada cosa, y al hacer aparecer lo sustancial de cada cosa aparecen ellos mismos como seres.

Cito el texto aristotélico, traduciéndolo de forma que resalte toda su fuerza; «la cantidad, cualidad, relación.. se aparecen cómo seres porque se da un germen profundo y bien delimitado que se aparece precisamente bajo la forma categorial de sustancia» (Met. Z, 1028 a, 15).

Comienzo recordando que Aristóteles llama a la sustancia alethós on, es decir, el ser que está-en-verdad, el ser en potencia, en manifestación actual de lo que es. Y, como para el heleno, la potencia por excelencia y por constitución es la idea (eidos, idein; ver, visible), al llamar Aristóteles a la sustancia ser-en-verdad, afirma que sustancia es ser en ostentación actual de su idea, de la idea que ha pasado a ser, de estrella solitaria en el orbe ideal platónico, posesión y peculio de luz de una cosa.

Para abreviar diré en vez de «sustancia es ser que está en verdad», simplemente ser-en-verdad, dando a verdad el sentido helénico tantas veces explicado.

A la sustancia le pertenece, pues, ser foco interno y fuente natural de luz; y esta propiedad le viene de que posee precisamente una idea. Si la sustancia o haber de las cosas se constituyese no por una idea sino por otro aspecto no luminoso, verbigratia, por su potencia activa -la sustancia no podría ser definida como ser que está en   —223→   verdad, en ostentación de lo que es, de la idea que posee.

La sustancia aristotélica continúa, por tanto, el concepto platónico de idea, y sus vinculaciones con luz y visibilidad.

Sustancia es cosa en posesión interna de una idea que la transfigura tan perfectamente que toda ella está en ostentación actual y vanidosa de la idea que es su idea, y de la posesión de tal idea.

También en Platón las ideas se hallaban «en» la materia o masa primigenia del universo, mas no tan interiorizadas que convirtiesen la cosa en fuente luminosa; la idea era siempre idea, nunca idea «de». Por este motivo, Aristóteles tuvo que introducir en metafísica el concepto de hypokeímenon, que he traducido no por sujeto o subjectum (que suele tener un aspecto estático) sino por germen profundo. En efecto, hypokeímemon no es simplemente lo que está debajo (keímenon, hypó), sino lo que está debajo en plan germinante, como la semilla o germen (keim griego, igual raíz que keim alemán: semilla, germen) está debajo engendrando toda la planta que está en la superficie de la tierra; ostentando lo que es, en-verdad. Y tal germen profundo, añade Aristóteles, en el lugar citado, es algo bien delimitado, horisménon; lo que tiene igual raíz que hóros o definición. No es una pura potencia germinante indefinida, indiferenciada, cósmica cual pudiera serlo el apeiron o infinito de Anaxágoras.

Es un germen bien definido y contorneado, provisto además de poder autoluminiscente; es semilla de luz, es idea-germen. Y precisamente, recalca Aristóteles, la forma categorial de sustancia, el ser lo que se es bajo el tipo de sustancia, es el modo y manera propios de aparecerse tal germen o idea.

Si sustancia es ser-en-verdad; la manera propia de aparición   —224→   de una idea-germen es aparecerse como sustancia. Hasta aquí el paralelismo con la estructura general a del universo ideal platónico se conserva perfectamente, con la sola modificación de hacer de cada sustancia un ser central.

¿Qué son, pues, ahora los accidentes o acompañantes?

No define aquí Aristóteles qué son accidentes. Y esto por muchos motivos, ajenos a este lugar, sino que explica cómo y cuándo los accidentes se aparecen como «seres».

Que el accidente -cantidad, cualidad, relación, acción...- aparezca como «ser» no depende de una evolución o propiedad intrínseca suya, como, le sucede a la sustancia que es, por constitución, ser-en-verdad; que el accidente aparezca con aspecto de ser depende que la sustancia, que es el ser por antonomasia y el ser verdadero por excelencia, se aparezca y transparente en la cosa-accidente. Tomar, pues, cara y expresión de ser le viene al accidente de su condición de estar-en-satélite, de estar en la esfera de luz que, de la sustancia como de natural foco, emana. Cuando una cosa no es o está por sí misma luminosa o en ostentación de una idea suya, y entra, por un rato más o menos largo, en el cono de luz que de una sustancia se difunde, resulta con cara de ser, con cara de luz, de la luz propia de la idea de la sustancia. El accidente -ser es el accidente- cosa convertida en lugar de aparición de la idea de la sustancia.

Según esto hay en el universo óntico cosas o algos bajo forma de cosa, que son todo aquello en que no reluce y se ostenta una idea, en el rigoroso sentido de esta palabra helénica. Y a tales objetos con tal cara in-eidética llamó el griego chrema o pragma, cosas de uso, enseres, instrumentos. Casi el Zeug de Heidegger. De entre tales objetos, unos por evolución y explicación intrínseca, pueden   —225→   pasar de cosas a seres, de enseres a seres. Y cuando tal evolución se hace por virtud interna y en el término de tal desarrollo aparece una idea-germen, tales enseres ostentan la cara o expresión propia de ser; son y están en-sustancia y en-verdad. Pero si se dan otras cosas que, por el motivo que fuere, no ostentan ninguna idea como propia sino que es la idea de otro la que en ellas se aparece, por tal aparición ideal en ellas serán seres, mas por ser tal idea «de» otro serán seres de ser, es decir, accidentes-ser satélites, ontológicos.

Dada una sustancia, «su» idea no puede aparecerse en cualquier accidente-cosa, sino nada más en ciertos accidentes-cosas. O por el lado inverso: la idea de cada sustancia no posee un poder transfigurador absoluto, no puede convertir en espejo suyo todos los accidentes-cosas, sino un grupo determinado.

Una sustancia, en sentido aristotélico, se halla, de consiguiente limitada por dos partes: en el grado de potencia posesiva y en poder de verdad. Quiero decir: de entre todas las ideas jerarquizadas, por ejemplo, según el orden de género a diferencia específica, sólo posee como propia la idea de la diferencia específica; las demás son de ella, pero lo son a la vez de otros muchos (géneros más o menos superiores); el estricto peculio entitativo de una sustancia lo constituye sólo el eidos específico, las demás ideas las tendrá como genus, es decir, como genealogía o parientes ideales, por vía de herencia y en cuanto antecesores de su idea específica.

Y segundo: la potencia luminosa de la idea especifica no es infinita; sólo puede dar cara de seres u ostentarse en cierto número de cosas, no en todas; en sus accidentes, que por ser «sus» son seres.

Todos estos puntos, casi reducidos a alusiones, requerirían larga explicación, pues la herméutica empleada es de   —226→   tipo vital, por ahora, un poco nuevo. Pero me parece que el haber dado a este trabajo el título de invitación a filosofar me desliga de ulteriores explicaciones.

Vuelvo al tema: cada sistema, en virtud de su idea-foco, resulta un sistema solar ontológico, con un solo ser central, y en él un solo foco de luz ideal, es decir, el universo ideológico de Platón interiorizado. Por eso se puede afirmar que la estructura general del universo platónico y del aristotélico es isomorfa, o semejante; sólo que, en vez de un solo sistema astronómico ideal y macroscópico, se dan ahora tantos universos ideales microscópicos como sustancias. Plan atómico de Bohr frente a plan astronómico newtoniano; pero en definitiva el mismo plan estructural.

Desde el punto de vista proposicional se dan también para Aristóteles proposiciones privilegiadas: la que enuncia del sujeto la diferencia específica, la proposición definitoria. De ella se puede deducir otro conjunto finito y bien determinado de proposiciones: las que expresan las ideas genéricas o antepasados ideales de la idea específica y las que formulan las propiedades trans-parentadas v hechas luz y espejo de la idea sustancial.

Cada sustancia posee, según esto, «su» universo lógico, su sistema astronómico proposicional. Y, en rigor, cada sustancia es isla ideal, y la idea genérica hace como de envolvente ideal o atmósfera común de las sustancias constituidas por las diversas ideas específicas.

De consiguiente: ni la lógica platónica ni la aristotélica son, propiamente hablando, lógicas formales.

Pero de este punto hablaré más largo inmediatamente.

Lo que distingue irremediablemente los sistemas platónico y aristotélico, de la estructura de un sistema de axiomas es la existencia de una jerarquía entre las ideas, sean   —227→   o no subsistentes, y además el centramiento de tal jerarquía en un solo punto: idea o sustancia.

Ambos sistemas son ónticas centradas y lógicas centradas. Un sistema de axiomas, por el contrario, no posee ni una jerarquía de ideas ni de objetos. Y esto, por un motivo básico: porque toda ciencia axiomáticamente constituida es ciencia en plan transcendental-vital y, frente a la intimidad absoluta de la vida, frente a su unidad transcendental, a la tranzcendentale Einheit der Apperception (Kant), todas las cosas, conexas entre sí o no, aparecen como radicalmente inconexas, como pura multiplicidad (Mannigfaltigkeit). Sólo de esta forma no pueden imponerse a la intimidad y unidad absoluta de la conciencia, ni imponer sus tipos de unión o desunión. La autonómica y soberana espontaneidad unida y unitiva de la conciencia transcendental queda así a salvo. La constitución axiomática de las ciencias es, por tanto, un índice delicadísimo de la actuación de la conciencia transcendental en cuanto tal.

Empero, téngase presente que -si de alguna manera, impropia- puede decirse que el hombre ha tenido desde siempre conciencia transcendental no es cierto que haya estado desde siempre en acto tal conciencia en cuanto transcendental, o cuando menos, no siempre en un grado igual de intimidad y unificación transcendental. Estos fenómenos o fenomenología transcendental de la conciencia humana es función del tiempo histórico.

Antes, con todo, de adentrarme en este aspecto directamente unido con el sentido último de la transfinitud humana, voy a explicar un poquito más la estructura axiomática de las ciencias, como índice e indicio científico de la transfinitud y transcendencia humana.

  —228→  

La interpretación de la axiomática como índice o exponente concreto del grado de transfinitud humana en un momento histórico y, a la vez, como indicio sutil de otra cosa más profunda en el hombre, la transcendencia, enfoca la teoría axiomática general desde un punto de vista diverso del que adopta la filosofía moderna de las matemáticas.

En el volumen sobre la forma del conocer científico, que seguirá al presente, completaré desde el ángulo de visión estrictamente científico, algunos puntos que aquí tendrán que quedar en simples alusiones o en afirmaciones sin la correspondiente fundamentación.

Los rasgos más salientes que separan y caracterizan la estructura axiomática de una ciencia moderna y la misma ciencia constituida según otro plan categorial-vital, por ejemplo, el platónico, aristotélico a euclidiano, son las siguientes:

     a) ausencia de jerarquía entre los conceptos primitivos, no-existencia de un árbol porfiriano. Con otras palabras: inconexión o independencia conceptual dentro del orden conceptual estricto.

     b) primera absorción superadora (Aufhebuttg) o implicación de tal polvillo ideológico en un conjunto de proposiciones, primeras y primarias, independientes entre sí, sin jerarquía proposicional lógica. Definición implícita de los conceptos.

     c) segunda absorción superadora del conjunto de axiomas en el sistema de axiomas lógicos, independientes entre sí y sin jerarquía proposicional, pero unidos por dos reglas de «deducción» que, desde   —229→   el punto de vista kantiano deben llamarse, porque lo son en efecto, de deducción científica transcendental.

Comienzo por unos casos concretos de axiomática.

La axiomática de los números naturales formulada por Peano parte de tres conceptos básicos: cero, número y siguiente. En abierta oposición con el sistema conceptual platónico o aristotélico, no se da aquí un concepto central del que los demás fuesen diferencias más o menos remotas... El concepto de «siguiente» pertenecería, según la teoría clásica, al orden relacional; el de número, al cuantitativo; el de cero, al dominio de las negaciones o privaciones.

En Peano los tres conceptos son independientes entre sí en su orden conceptual; o, si queremos otra interpretación, no interesan sus vínculos conceptuales ni su lugar en una jerarquía conceptual u otra, se prescinde de todo ello, y a pesar de tal preterición incomprensible y aun absurda para la mentalidad clásica, se puede constituir científicamente todo y más que con el método clásico.

Pero se puede hacer todavía otra cosa más notable y anticlásica: hallar un solo concepto fundamental. Y se da la circunstancia de que tal concepto único ni ocupa el ápice superior en la jerarquía clásica de tal orden de concepto, ni los demás son definibles por él, según la técnica definitoria aristotélica o platónica.

Así resulta posible constituir axiomáticamente la aritmética con un solo concepto básico: el de «predecesor» concepto relacional puro; o con el concepto explícito de progresión. Y parece evidente, desde el punto de vista clásico, que una relación no puede ocupar puesto alguno fundamental en una jerarquía de cosas absolutas, como pretenden ser los números naturales.

Teoría de los conjuntos (Axiomática de Fraenkel).

Un   —230→   concepto básico: la relación «E» ( ) es elemento de ( ).

Conceptos derivados: conjunto, clase correspondiente, conjunto parcial, igualdad conjuntual, clases primas entre sí, clases primas dos a dos, conjuntos no vacíos, conjuntos binarios, conjunto-suma, conjunto-producto, conjunto-potencia, conjunto-selecto, conjunto unicista, conjunto sustitutivo...

De nuevo nos hallamos ante un caos jerárquico: relaciones, cosas, operaciones. Conceptos con predominio del -aspecto de cosa, otros con predominio de la operación, relaciones pertenecientes a jerarquías diversas, sin posibilidad de unión en un árbol de Porfirio, o según el modelo de género a diferencia; como conjunto selecto y conjunto sustitutivo, conjuntos primos dos a dos...

Lo que se llama, pues, en axiomática conceptos básicos no es ni el género superior de una jerarquía conceptual, ni el concepto específico último; ni los conceptos derivados salen del básico por las relaciones de género a diferencias esenciales.

Son, en su orden inconexos; la conexión les viene de la absorción de su variedad inconexa en una unidad superior; y esta absorción o Aufhebung no tiene nada que ver con la manera como el género incluye a sus diferencias o como las diferencias se hallan en los géneros.

Axiomas de la geometría proyectiva (Pieri, Russell, Couturat... ) Se puede constituir axiomáticamente la geometría proyectiva con un solo concepto básico, por ejemplo, con el de «clase de rectas» tomando la recta como clase de sus puntos, o bien como relación (simétrica e irreflexiva) de sus puntos. Desde el punto de vista clásico, el concepto básico de la geometría proyectiva caería una vez dentro de universal-particular, y otra en el campo de las relaciones; es decir, que resulta científicamente indiferente   —231→   su colocación en una jerarquía u otra, es fruto que vive en dos tipos de árbol porfiriano.

Entre los conceptos derivados del fundamental por método axiomático de definir -sin hacer perder la independencia al concepto básico y sin hacer del único concepto, vértice de los demás- aludo aquí a los de punto, intersección de dos rectas, cuatro puntos armónicos, punto fuera de un plano, orden direccional entre puntos...

A esta manera de caracterizar los conceptos básicos y, por medio de ellos, los derivados, dan los logistas modernos el nombre de definiciones por concatenación (Ketendefinition).

Ahora bien: la unión por concatenación tiene la ventaja de respetar y suponer la independencia de los elementos integrantes, sin introducir una jerarquía intrínseca y un principio primero y primario. Los ejemplos anteriores, unos cuantos entre mil, muestran el gran margen de libertad definitoria propia del método axiomático.

En la lógica clásica -aristotélica y platónica- los conceptos básicos dan lugar a las proposiciones básicas; es decir, el conjunto de conceptos determina unívocamente el conjunto de proposiciones fundamentales; y entre ellas ocupa el lugar central la que enuncie de un objeto o concepto el predicado específico, siguiendo las proposiciones que formulen las propiedades, por su orden de intimidad con la diferencia específica.

Por el contrario: en el método axiomático, los axiomas no traducen propiamente las propiedades específicas de cada concepto u objeto fundamental. No hay conexión directa alguna entre conceptos fundamentales y proposiciones fundamentales. Por este motivo se dice en lenguaje técnico que los conceptos u objetos básicos son definidos «implícitamente» en y por los axiomas. Sucede una cosa parecida a las ecuaciones. Un sistema de ecuaciones define   —232→   un conjunto de números que son las raíces o soluciones de tal sistema, pero los define implícitamente, no dando cada ecuación la definición de un número sino todas las de todos. Los axiomas son ecuaciones lógicas definitorias de un conjunto de objetos o de uno solo, y aunque tengan los axiomas forma de proposiciones el objeto o concepto no hace siempre ni necesariamente de sujeto, de ninguna de las proposiciones axiomáticas.

Esta nueva inconexión e independencia entre conceptos y proposiciones básicas (axiomas) hace imposible prever a priori el número de axiomas, aun dado el número de objetos o conceptos básicos, mientras que en la lógica clásica se conoce a priori una jerarquía de proposiciones respecto de un objeto.

Además: la independencia entre conceptos básicos y axiomas se corresponde, no voy a discutir cuál fundamenta a cuál, con la independencia entre los mismos axiomas. A inconexión conceptual, inconexión axiomática.

(Piénsese un poquito en la Mannigfaltigkeit o inconexión primaria con que los objetos se presentan ante las categorías, según Kant: alles Mannigfaltige der Anschuung unter Bedingungen der urspruenglich-synthetischen Einheit der Apperception steht, Kr. d. rein. Vern. $17, Transcend. Deduction.)

Unos casos: a los tres conceptos básicos de la aritmética, según Peano, corresponden: cinco axiomas independientes entre sí.

A la formulación de Russell con el concepto primario de predecesor, cuatro; si se pone como básico el concepto de progresión, basta con dos.

Para la geometría proyectiva: al único concepto básico en la primera interpretación del haz de rectas corresponden doce axiomas.

  —233→  

En teoría de los conjuntos, tomando la axiomática de Fraenkel, un concepto fundamental y ocho axiomas.

(Véanse estos puntos sistemáticamente catalogados en Carnap, Abriss der Logistik.)

Este es el momento de notar un detalle significativo: los axiomas no presentan estructura proposicional, no intervienen los constituyentes proposicionales de sujeto, es y predicado. Y esto por un motivo sencillo y definitivo: porque un axioma es, a lo más, un juicio sintético a priori, pero nunca un juicio analítico o de identidad mediata o inmediata.

Cuando existe una jerarquía de predicados ordenados según genero a diferencia es posible, dado un concepto, formular de él por identidad toda la serie hasta el supremo. Entonces el sujeto de la proposición va siendo explicitado en su estructura por los predicados; la proposición, en este tipo de lógica y ontología, está sometida al concepto y se rige por el principio de identidad. Lógica analítica.

Empero, frente a objetos y conceptos inconexos entre sí y constitutivamente, independientes, no es posible una formulación proposicional de tipo analítico. No se trata de explicitar un concepto y aguardar que en una de tales explicitaciones más o menos próximas aparezca su coincidencia conceptual con otro objeto y, al fin, con todos. En este caso todos los objetos de una ciencia serían connexos y especies de los mismos géneros. Tal esperanza lógica fracasa ante conceptos independientes, mantenidos como tales por la conciencia.

Y, en efecto, la formulación logística de los axiomas citados se hace a base de relaciones de tipo diverso del «es» o identidad.

No son proposiciones ni directa ni indirectamente analíticas; sino estructuras especiales «puestas» como verdaderas.   —234→   Y este «poner» es un aspecto o actitud de la conciencia que corresponde más o menos a la operación básica tesis o setzen de Husserl, al Gegenstehenlassen de Heidegger o simplemente al Gegeben de Kant.

Poner una estructura es algo anterior a afirmarla o negarla. En la lógica proposicional ordinaria la operación afirmar coincide con la verdad, y la negación con la falsedad. Y la verdad es, a su vez, como expliqué, descubrimiento del predicado es el sujeto de modo que la patencia plena de lo que es el sujeto muestre el predicado como del sujeto. Se unen, pues, complementándose intrínsecamente y formando una unidad de evolución: sujeto, verdad y afirmación. Una proposición es afirmativa, es decir, firme, cuando es evidente o está patente el predicado en el sujeto. Seguridad es aquí función de la verdad. Tipo de seguridad visual. La vista cree las cosas seguras cuando están claras y patentes. La vista se afirma en lo evidente, claro y distinto.

Dentro de este tipo de interpretación, Aristóteles define la afirmación y la negación en función de la apófansis, es decir, de la luz (apóphansis, de apó y phainesthai; de phaos, luz).

Pero al comenzar la conciencia a vivirse como transcendental, lo que comenzó a suceder más o menos con Descartes y culminó en Kant, notó que no basta que una cosa sea en sí lo que fuera -clara, distinta, evidente, eidos...- para que por tales derechos ónticos pueda presentarse ante la conciencia. La estructura óntica no da sin más derechos de «objeto». Es la intimidad absoluta y soberanamente espontánea de la conciencia la que puede dar posibilidad de acceso a las cosas, y dársela de tantas maneras como categorías y según el plan categorial-vital; y entonces las cosas presentarán no lo que son sino lo que de lo que son puede aparecer a la conciencia sin atentar   —235→   a su intimidad absoluta. La cosa resulta entonces objeto, algo para la conciencia.

Este dar posibilidad de acceso a las cosas, abrirse a ellas, las «pone» como objetos, les da consistencia frente a la conciencia y una especie de existencia intencional. Puestas las cosas en sí ante la conciencia, pueden ya proponer lo que de lo que son permita el plan categorial, el programa de visita al dominio del castillo interior.

Como puede entreverse por estas alusiones, el sentido de proposición no es históricamente fijo; depende del estadio histórico de la conciencia humana. Y, hablando delicadamente, desde que la conciencia funciona transcendentalmente la proposición no puede ser ya de tipo analítico sino sintético a priori, tal como conjeturó Kant.

La posición es anterior a afirmación y negación, y éstas preceden y son hasta cierto punto, independientes de verdad y falsedad ónticas.

Frente al tipo de unidad propia y exclusiva de la conciencia transcendental -la mismidad, das Selbst- todos los demás tipos de unidades y diversidades palidecen; son lo otro y lo diverso de tal unidad, lo privado, mejor, la pura y simple negación de ella. Por esto, Kant habla no de la multiplicidad, pluralidad o diversidad de las cosas frente a la unidad de la conciencia, sino de su «variedad», que es un tipo de pluralidad abigarrada, inconmensurable con el tipo de supraunidad de la conciencia, de unidad en intimidad.

La proposición, en sentido helénico de la palabra, necesita ya de una nueva presentación. No puede ya el sujeto poner delante (pro-ponere) de la mente el predicado como algo suyo, si antes no es él mismo presentado a la conciencia y puesto ante ella. Antes de proposición óntica se da proposición transcendental; y a la verdad óntica   —236→   deberá preceder la verdad transcendental, una verdad de verdad.

Con estas indicaciones resulta entrevisible, al menos, el sentido de la afirmación siguiente:

La formulación axiomática es de tipo de formulación transcendental, de la manera como las cosas se aproximan o son puestas ante la conciencia transcendental; y, una vez puestas así, axiomáticamente, ante la conciencia podrán pro-poner, con forma de proposición analítica, deductibles unas de otras, lo que de ellas pueda aparecer en el plan categorial-vital.

Los aspectos transcendentales de una ciencia se encuentran en el estado axiomático puro; lo siguiente, lo deducible, lo analítico pertenece a un estadio secundario y derivado del anterior.

De consiguiente: la inconexión o independencia de los axiomas no es una propiedad ni óntica ni lógica, sino transcendental: es la manera como toda una ciencia, por más unida que se la vea y esté en su orden de cosa en sí, aparece ante una conciencia en conciencia actual de su transcendentalidad. Tal ciencia aparecerá como inconexa o sin el tipo superior de unidad de la conciencia; se presentará como Mannigfaltigkeit, como variedad abigarrada. En este sentido y desde este punto de vista, llamo a la independencia de los axiomas propiedad transcendental.

Los científicos modernos que trabajan aun sin saberlo dentro de una atmósfera transcendental, notaron que esta independencia de los axiomas no cabía exactamente dentro de los moldes lógicos; y además, que los axiomas formulados adecuadamente como tales no admitían una forma proposicional; no eran proposiciones, y por tanto, las relaciones de dependencia o independencia, de deductibilidad mutua, de compatibilidad... no entraban ajustadamente dentro de los moldes de la lógica clásica.

  —237→  

Los axiomas, bajo su forma propia, son posiciones de estructuras.

Una vez puestas todas las estructuras, serán posibles proposiciones de tipo clásico y analítico, es decir, constituir deductivamente lo restante de la ciencia; digo lo restante, aunque tal resto incluirá «toda» la ciencia en su forma no transcendental.

La lógica misma puede ser constituida en plan transcendental.

Un primer intento de constituirla de esta forma se hallará de nuevo en la lógica axiomática, logística o lógica matemática moderna; y los primeros atisbos de tal posibilidad surgen con Leibnitz, junto con los primeros sobresaltos de la conciencia transcendental.

Aludo a la logística tal cual está constituida por los lógicos modernos -Russell, Whitehead, Carnap, Hilbert...- anotando solamente que -desde el punto de vista transcendental kantiano y transcendental-vital, que aquí propongo- se encuentran detalles a reformar y aun diversos tipos de lógica implicados y confundidos en uno por el fenómeno que he llamado de «degeneración».

Por de pronto, la logística comienza reduciendo el universo lógico clásico a polvillo lógico, a pura variedad.

Para ello introduce un método análogo al del análisis algebraico con variables -proposicionales, conjuntuales- funciones -de verdad, proposicionales, conjuntuales...- proposiciones elementales o atómicas. Nada de proposiciones privilegiadas y explícitas y centramiento de las demás en una, como en Platón y Aristóteles. La estructura misma de la proposición no interesa y, como en álgebra, introducimos proposiciones indeterminadas, funciones proposicionales indeterminadas, valores de variables lógicas.

Tal polvillo lógico es sintetizado no por el sentido interno de la proposición, o de los elementos integrantes,   —238→   sino por operaciones lógicas puras, caracterizadas a su vez no por su sentido sino por su tipo de acciones, por sus aspectos puramente operatorios. Así es radicalmente otro el sentido de la operación implicación, disyunción, negación... en la lógica clásica y en la logística.

Las operaciones lógicas en logística cobran consistencia propia y hasta pasan al primer plano, precisamente porque, como en álgebra, los elementos son siempre más o menos indeterminados y lo único determinado son las leyes de unión entre ellos.

Y todas las operaciones son ahora de aspecto unitivo puro, de acción sintetizadora; precisamente porque el material a unir está bajo forma indeterminada -variables, proposiciones generales, funciones...- las operaciones lógicas no unen los elementos apoyándose en su estructura, sino en la constitución unitiva suprema de la conciencia, en la unidad originaria, original y originante de la conciencia transcendental.

Desde este punto de vista transcendental, las proposiciones, los axiomas, los teoremas no son juicios de tipo apofántico, como en Platón y Aristóteles, es decir, de tipo explícito y explicitante el predicado en y de el sujeto, sino de tipo Urteil, a saber, una reducción o división primigenia (ur-teilen) de lo lógico, pretendida y pretensiosamente unido en sí mismo por tipos suyos de unión, en partes y elementos asimilables por y para la conciencia; (primer paso transcendental); hacer que las cosas se presenten como pura variedad.

Tal polvillo lógico, al parecer clásico, inconexo, es lugar de aparición del poder sintético de la conciencia; lo une para sí, según los diversos tipos de unión de las categorías, y de esta manera hace posible que los objetos lógicos se presenten como unidos ante la conciencia. Por este motivo Kant pudo decir que «un juicio no es otra cosa   —239→   sino el arte de reducir conocimientos dados a la unidad objetiva de la apercepción» (Krit. d. rein. Vern. Ded. transc. $19) y, en efecto, tomado así el juicio es un arte, más bien que una manera (Art) que se enfrenta con materiales más inconexos aún que las piedras respecto del arte arquitectónico; y esta inconexión de los materiales hace que se presenten como «dados» (gegeben); cuando un conocimiento, en sentido clásico, no se ofrece como dado, como estando simplemente ahí, como puro «que», sino como evidente, como esencia clara y distinta, como idea, como qué. El entendimiento y la ciencia son los que están «dados» entonces, entregados, absortos, proyectados hacia las cosas; la conciencia no actúa como transcendental, con ciencia de su alteridad radical e intimidad absoluta; por eso las cosas no aparecen como dadas. Por el contrario: a la unidad absoluta y absolutamente otra de la conciencia con-ciencia de sí, las cosas aparecen como dadas, en radical inconexión, y la faena que se presenta entonces a tal tipo de unidad íntima o de intimidad -y por ser intimidad, uniente- es la de unificar o sintetizar, poner las cosas en con-nexión ante la conciencia. A esta faena llama Kant juicio: urteilen o dividir de original manera las cosas y unirlas de manera no menos original.

Estos dos aspectos hallamos en la posición inicial misma de la lógica axiomática. Primero: una fase preliminar de reducción de lo lógico clásico a puro polvillo lógico; operación de juzgar, en plan de dividir en elementos irreductibles entre sí (ur-teilen), digestibles ya por la conciencia: (la unidad propia de los objetos no es asimilable por la unidad transcendental de la conciencia, sólo puesta en plan estático, es decir, conciencia fuera de si cabe una cierta asimilación que es, propiamente hablando, asimilación por renuncia al propio tipo de unidad o supraunidad).

  —240→  

Segundo: función sintetizadora de tal polvillo o átomos lógicos por operaciones unitivas puras. Y se dan un conjunto de estructuras básicas engendradas por las operaciones unitivas: tales son los axiomas lógicos, por ejemplo, los cuatro de la lógica proposicional, según la formulación de Hilbert, el único que reemplaza a los cuatro, según Nicod.

En su formulación no entra el verbo «es», sino proposiciones irreconoscibles por su forma de polvillo lógico y unos signos de operaciones puras. Por ejemplo: p v P→ p; p v q → q v p: p → p v q; etc., donde p, q, son proposiciones cualesquiera de las que ni siquiera sé si se compone de sujeto y predicado, v es el signo de disyunción, y → la operación de -por tanto.

Y estas estructuras típicas son puestas como firmes y af-firmables en el sentido transcendental que he dado hace poco a la palabra «poner».

Russell en su Principia mathematica coloca ante tales estructuras el signo llamado signo de aserción. Como he dicho, el concepto de proposición apofántica -integrado por sujeto y predicado, sometido el predicado a la condición de aparecer en y de el sujeto- propio de una lógica para conciencia extática o extravertida queda reemplazado en lógica transcendental y la lógica axiomática construida por la lógica transcendental, por la proposición transcendental que es una «posición» de una estructura: de un complejo de elementos dados (p, o, r...) y de operaciones (&, v, →T=...).

Como en las fórmulas axiomáticas anteriormente citadas, también aquí los axiomas son independientes entre sí, formando una variedad, una multiplicación de elementos inconexos, a sintetizar según operaciones unitivas superiores, por la unidad suprema de la conciencia transcendental.

  —241→  

¿Qué significa exactamente y cómo se sintetiza transcendentalmente la variedad de los axiomas lógicos, qué estructura poseen los teoremas lógicos derivados de los axiomas?

Un sistema de coordenadas es un lugar de aparición de las figuras, aparición de tipo diverso del ordinario visual y aun del eidético puro. El sistema de coordenadas, como dije, comienza por reducir a polvillo las figuras; a elementos coordenados, a pares de magnitudes, a triadas... no subordinados esencialmente o por jerarquía de predicados. Ninguna figura resiste a tal descuartizamiento interior, ni siquiera las al parecer perfectamente cerradas y de una pieza, como la circunferencia. Y este tipo de división no es natural, no corta, como del buen cocinero decía Platón, por las junturas naturales de las cosas. Es un tipo de división transcendental, de aparición de pluralidad inconexa por aparición del tipo supremo de unidad de la conciencia. Frente a tal sol de unidad, todas las lucecitas individuales quedan reducidas a puros puntos negros de absorción de tales rayos. Y, por parecido motivo, la reconstrucción que de tal polvillo geométrico hace la conciencia por medio de una función algebraica no se parece en nada a la estructura eidéfica primitiva.

Frente al sistema de coordenadas estructurales que son los axiomas lógicos, toda proposición, principio, figura deductiva simple o compuesta de la lógica clásica se descompone en un tipo especial de polvillo lógico, y la reconstrucción que con él hacen los axiomas lógicos y las reglas de deducción axiomática no repara exactamente lo primitivo sino que le da una estructura de orden transcendental, con nuevo sentido y con nuevas propiedades.

Lo que eran principios primeros en la lógica aristotélica, por ejemplo, aparecen simple y modestamente como uno de los infinitos teoremas deducidos de los axiomas,   —242→   en un lugar fijo de la serie deductiva, convertidos tales principios absolutos en sistema de relaciones que los unen con todo lo demás, en figuras tejidas con los mismos hilos que el resto.

En plan geométrico-eidético, cada figura posee constitución propia, «es». En la lógica clásica se expresará lo que es por una proposición de tipo apofántico y éste es el modo natural de expresarlo. En efecto: en una proposición de tal tipo, el sujeto es lugar de aparición de los predicados, sobre todo del predicado específico que es como su contorno ideal por el que se distingue de los demás objetos y se cierra sobre sí mismo. El sujeto es, por tanto, algo seguro y firme (afirmable) y además lugar de aparición de los precitados que aparecen como propiedades del sujeto (verdad); quedan, pues, vinculados en el sujeto la afirmación y la verdad.

Por el contrario: en plan lógico transcendental, tomando los axiomas y conceptos primitivos como ideales coordenadas ni existe, en rigor, ni sujeto ni predicado; nada es formulable con «es», porque nada «es». Algo podrá ser en sí lo que quiera, mientras la conciencia no se desvele en cuanto a su poder unificador transcendental, a su originalidad como unidad unificante; mas, apenas, la conciencia se actúe como unidad unificante transcendental y suprema, lo que en sí es una cosa no podrá entrarse sin más ceremonias por la conciencia, resultar objeto y presentarse ante ella; presentará de lo que es ni más ni menos que aquello que le permita el plan categorial. Y lo primero que tiene que dejar en la entrada son sus pretensiones de unidad, de perfil cerrado, de cosa definida y defendida por la definición.

Los primeros principios lógicos, por ejemplo, el de identidad, contradicción, exclusión de tercero, propiedad binaria de la negación... admiten en lógica eidética una   —243→   formulación proposicional estricta, son especiales proposiciones apofánticas.

Pero en una lógica transcendental son posiciones de especiales estructuras. En rigor ni se afirman ni se niegan; se ponen, y poner es algo anterior a afirmar y negar. De ahí que en lógica axiomática, las estructuras primarias o axiomas y las derivadas sean independientes, estén más allá de la verdad o falsedad de las proposiciones empleadas.

Inclusive de la formulación simbólica se ha eliminado todo aspecto de verdad y falsedad y toda alusión al «es», al sujeto y al predicado.

Para no traer sino un par de ejemplos, presento los dos siguientes.

El principio lógico clásico «si de un antecedente se sigue un consecuente, de la negación del consecuente se sigue la negación del antecedente», se formula en lógica axiomática:

(p → q) → (q → p): donde no entra más que una variable proposicional (p), y dos operaciones matemáticas (→, -; implicación y negación) y la estructura entera se «pone» y queda firme, tanto que la proposición sea verdadera como falsa, afirmativa o negativa; inclusive, se componga o no de sujeto y predicado.

El uno se presenta en aritmética eidética con pretensiones de ser lo más cerrado sobre sí, lo sumamente simple. Pero, a la manera como el punto, la pretendida unidad geométrica, se descompone en un sistema de coordenadas con tantos elementos como variables independientes, de parecida manera el uno resulta en una aritmética lógica, una estructura especial «puesta», que, con el simbolismo de Hilbert, escribiré:

(Ex) [F(x) & (y) F(y) → (x,y)] es decir, una estructura sintetizadora de variables (x,y) funciones proposicionales   —244→   F(x), F(y); y operaciones (&, E, →=). Es claro que una ciencia, en que no interviene, propiamente hablando, ni la verdad ni la falsedad en el sentido ordinario de estas palabras, ni importan la afirmación ni la negación y hasta resulta indiferente la estructura de la proposición tiene que estar construida según un plan radicalmente diverso del común o eidético. He aludido a qué tipo de plan.

Termino este punto con dos indicios capitales.

Primero: frente a la pluralidad irreductible de las coordenadas y al polvillo de coordenadas de cada objeto, surge un tipo de unión transcendente, el de función, perteneciente al orden superior de lo algebraico; a su vez, al constituir axiomáticamente lo analítico, el polvillo primario de las variables y funciones es sintetizado por los tipos de unión transcendente de la lógica axiomática; por la relación y sus formas. También frente al polvillo inconexo axiomáticamente de que parte la lógica axiomática y el sistema mismo de axiomas independientes entre sí surge un tipo superior de unificación, perteneciente, propiamente hablando, a la metalógica.

Son las dos reglas de sustitución y derivación que equivalen a los aspectos de posición y estructura.

Los logistas mismos notaron que eran no sólo independientes respecto de los demás axiomas, sino que pertenecían a otro tipo, inclusive desde el punto de vista simbólico. Todos los axiomas admiten una expresión simbólica; el esquema de deducción (Schlussschema, de Hilbert, o axioma identificativo de Russell... todos esos nombres tiene) no pueden ser formulados simbólicamente y tampoco la regla o esquema de sustitución.

No entra en el plan de este trabajo estudiar detenidamente la constitución de tales reglas o esquemas. Solamente haré una alusión.

  —245→  

Los logistas han comparado y hasta dado a la regla de derivación el nombre de modus ponens de la lógica clásica. Pero es menester no confundir las cosas. Ellos mismos previenen al principiante de que no debe confundirse el esquema de derivación con una fórmula especial en que entran los mismos elementos que en tal esquema pero con valor distinto; y es el modus ponens clásico.

El esquema de derivación incluye dos actos primarios de posición, en el sentido indicado, y otro tercer acto de posición como derivado de los dos primeros. Un primer acto pone un elemento, el segundo pone la conexión (implicativa, si se ha elegido esta operación como la básica) entre un primer elemento y otro, y de ambas posiciones -de un elemento y de una conexión básica- se sigue la posición «aparte», como independiente y no reducida a fórmula total, del segundo elemento, que puede ser una proposición o una unión más o menos compleja y rica de proposiciones.

Este acto de posición o de aserción está colocado, como he dicho, más allá de afirmación y negación, de verdad y falsedad; así lo reconocen los logistas, aunque naturalmente no aduzcan la razón kantiana de la transcendentalidad de la conciencia. El esquema de deducción suple, por modo eminente y transcendente, las funciones que en la lógica clásica, proposicional-apofántica, hacían la afirmación-verdad y la negación-falsedad resultando así los teoremas, en virtud de esta fundamentación de la lógica en la posición, transcendentes y colocados más allá de los cambios de verdad a falsedad (ónticas) y de la afirmación y negación.

El esquema de sustitución es igualmente reconocido por los logistas como de otro orden que los axiomas; con la terminología de Husserl diría que tal esquema formula el tipo de mención, de intención significativa propia,   —246→   por monopolio absoluto, de la lógica constituida transcendentalmente. Y la lógica transcendental, precisamente por su forma de tal, es anterior y hace posibles dos tipos derivados de lógica: la lógica simplemente formal y la lógica dialéctica, ambas formas degeneradas o simplificadas de la lógica transcendental.

El esquema de sustitución expresa el tipo de «universal» propio de la lógica. Y en esto se cifra su importancia decisiva.

Para entenderlo en toda su fuerza, es preciso comenzar deshaciendo una falsa interpretación de las fórmulas algebraicas.

Cuando digo, por ejemplo, que la ya vulgar ley (a+b)2 = a2 + 2 a b + b2 vale para cualquier valor numérico de a, b, que tal ley es general, que puedo sustituir a, b por cualquier número concreto (0, 1, 2, 3,... 1/2, 1/3, 4/5, ) paso por alto lo más alto lo más fino: el tipo de intención significativa, la manera original como tal ley numérica alude y se refiere a los objetos concretos.

No alude o menciona ninguna ley algebraica ni ninguna de sus partes [a, b, c... x, y, z... f( ), g( )...] ningún objeto especial en cuanto especial. No puede referirse, por ejemplo, la letra (a) a 0, 1, 2, 3, 4... de tal modo que se refiera al uno en cuanto uno, al dos en cuanto dos..., pues se degeneraría y se convertiría en una constante determinada. Por este motivo no se debe llamar a a, b, c... x, y, z... indeterminadas, pues los casos concretos no son, en rigor, sus determinaciones, ni se han como género a diferencia de género. Toda ley algebraica y sus elementos son universales, es decir, tipos unitarios y originales de referirse a los objetos. Por esta causa, del universal a un caso concreto se pasa por sustitución, por poner (statuere) una cosa en vez y bajo de otra (sub),   —247→   por subsunción (sub-sumere) en términos kantianos de la teoría transcendental del juicio y de los esquemas.

No pueden, pues, correlacionarse universal y particular, sino universal y caso concreto. Cuando se pasa del universal a un caso, la ley «cae» (casus de cadere) de su altura trans-cendente a otro dominio.

El heleno dio una expresión delicadísima a estos aspectos casi heterogéneos, aunque no lo parezcan. Al universal y su tipo especial de referirse a los objetos llamó kathólou, es decir, aspecto totalitario (holón, todo; es el solus latino, convertida como es ley la aspiración fuerte en sigma), mirar una cosa «según» (katá)su aspecto totalitario; o, por el lado de la cosa, cosa que alude totalitariam ente, que tiene el aspecto típico de todo, y en cuanto todo y unitariamente alude a otras cosas. Y, efectivamente, cuando algo es todo no puede ir más allá de aludir o mencionar otras cosas, no puede llegar a componerlas, a ser parte de ellas.

El universal, por ser todo ideal, dice sólo una alusión, una y alusión, y sólo la forma de alusión conserva su unidad.

El universal o aspecto totalitario alude no a particulares (de pars, parte en latín) sino a kath-ékasta, a cada uno. Es, pues, otro tipo de referencia que el de todo a partes. Y se contraponen como mirada global y mirada detallada que son dos tipos discontinuos de mirar, como lo son ver el bosque en cuanto aspecto unitario y ver cada uno de los árboles como cada uno.

Y precisamente porque el universal alude y no constituye las cosas puede mantener su unidad (unum) refiriéndose con todo (versus) a los casos concretos. Y al pasar de universal a caso concreto se sustituye una cosa por otra de otro orden, y esta operación de sustituir es algo de orden diverso que deducir, analizar, afirmar, negar...   —248→   o cualquiera otra clase de operaciones lógicas, algebraicas o físicas.

Corresponde, sea dicho de paso, a la función de los esquemas en la teoría kantiana.

Adelantemos un paso más.

El aspecto global y típico de bosque se me parece (aspecto, de ad-spectare, reflejo de una cosa precisamente para mí, cosa en función de actor para mí en cuanto espectador) cuando me alejo suficientemente de cada uno de los árboles, de modo que se pudiera decir que tal aspecto global «mide» la distancia del espectador respecto de las cosas concretas vistas.

De parecida manera: el tipo de alusión o mención propio y original de la lógica es la medida y el índice concreto o el exponente característico de la distancia en que se ha colocado la conciencia, en cuanto transcendental, frente a cada una de las cosas de todos los órdenes, aun los más abstractos.

Más aún: el tipo de alusión o mención propio de la lógica es la medida e índice exclusivo de la conciencia transcendental puesta en absoluta transcendentalidad, en la distancia suprema de las cosas. O, por el lado objetivo: cuando las cosas, sean las que fueren: físicas, geométricas, analíticas...- se hallan en máxima distancia y distanciamiento de la conciencia aparecen con el aspecto universal lógico. Y la manera supremamente unitaria de la alusión de dichos universales es el correlato de la conciencia transcendental en estado de suma unidad o trans-unidad de apercepción.

Concluyo, pues, afirmando: que la lógica no es una ciencia como las demás; la lógica es, por estructura, transcendental, y es ella la que hace que cada ciencia pueda transcenderse en otra superior y que todas queden transcendidas y superadas absortivamente en y por la lógica; y   —249→   al llegar a tal estadio -de fundamentación lógica de las ciencias-, las cosas, sus órdenes y esferas se hallan colocadas a máxima distancia de la conciencia, son y están máximamente objetos, puestos ante la misma conciencia transcendental en acto transcendental absoluto y primario.

De este estado y de los aspectos típicos de él no se pasa a los anteriores por continuidad, por análisis, por deducción, por subordinación; sino por sustitución, por un proceso de caída (casus, caso), por discontinuidad correlacionada, por definiciones de coordinación.

Ahora creo que adquirirá su pleno sentido el fenómeno histórico que le pasó a Hilbert: para fundamentar la geometría tuvo que acudir al análisis; para fundamentar el análisis tuvo que recurrir a la lógica; y dentro de ésta para constituir sus estructuras tuvo que acudir, fuera y en otro orden que los axiomas, a dos esquemas, rigorosamente transcendentales: el de derivación y el de sustitución.

Objeto se descompone etimológicamente en ob-jacere, en Gegenstand: en el aspecto de posición Stand y en el de mención unitaria típica expresado en el «ob», o Gegen. Y quien pone el objeto en cuanto objeto es la conciencia transcendental y quien lo pone en cuanto algo frente, ante y para es la conciencia en cuanto transcendental; y ambos aspectos complementarios de objeto y el estado de la conciencia son trans-cendentales y transcendentes, que levantan y suponen levantadas (scandere) las cosas y la conciencia; las cosas a objetos, la conciencia empírica o eidética a conciencia transcendental. Y ambas ascensiones no caen a la misma dirección o dimensión que los estados anteriores, sino que están trans, más allá, en otro orden absolutamente otro.

Ni que decir tiene que de este estado transcendente y transcendental se puede caer, como de la visión de bosque   —250→   se cae en la de los árboles en particular; y aun vivir en estado de caída, al que, para consolarse, se pueden dar lindos nombres, como eidética...

En el caso particular de la lógica: la lógica simplemente formal surge de la lógica transcendental por caída en el caso concreto; a saber, por la tendencia sistemática a sustituir de hecho la pura posición estructural por los objetos concretos; funciones algebraicas por números, fórmulas lógicas por proposiciones concretas... Y además, por reducir la posición al tipo más restringido de afirmación y negación, vinculándolas a verdad y falsedad en sentido helénico de estas palabras.

Esta caída de la lógica transcendental en formal pura es un simplismo y una simplificación forzada; en la terminología de la teoría espectral da una raya al parecer única, virtualmente descomponible en muchas; la lógica formal es un caso degenerado de la lógica transcendental.

Y esta degeneración se reconoce en múltiples problemas insolubles en la lógica formal que no son, precisamente, de carácter contradictorio, sino más bien privaciones y sombras o siluetas que remiten a figuras de luz, pero sin permitir verlas directamente.

Así, para no traer sino un caso, el problema de mostrar que un sistema de axiomas es compatible, independiente, suficiente y decisible o definitivo (Entscheidungsdefinit) resulta irresoluble dentro de la sola lógica formal.

Hilbert, el gran axiomático, intenta solventarlo acudiendo al método de resolver las posiciones en afirmaciones y negaciones y convertir las alusiones unitarias en explícitas y plurales. Me refiero al método seminumérico de sustituir las variables lógicas por los valores aritméticos, 0, 1 y las operaciones lógicas por operaciones aritméticas; método de que echa mano para determinar si el sistema de axiomas de la lógica formal es compatible,   —251→   independiente y suficiente. Véanse sus Grundzüge der Mathematischen Logik.

Naturalmente la cosa queda indecisa, el problema es irresoluble, en sentido puramente negativo: el método no posee eficiencia para resolverlo.

Y se halla Hilbert con las circunstancias desagradables, casi incomprensible para el lógico puro, de la que la validez de tales propiedades, básicas para un sistema de axiomas, depende del número de individuos del universo.

En el volumen sobre la forma de conocer científico daré más detalladamente las diferencias concretas que separan una lógica formal de la lógica transcendental. Para ello será preciso presentar la lógica desde el punto de vista de la conciencia transcendental, constituirlo transcendentalmente; sólo después resultará posible explicar cómo surge una lógica puramente formal y en qué se reconocerá su estado de degeneración y de simplificación.

Y el mismo problema se presentará respecto de cada ciencia, ya que todas pueden adoptar la plena forma transcendental y además una forma degenerada o simplificada.

Cierro este párrafo con una afirmación: ninguna ciencia es plenamente posible sino como transcendental; ahora que la constitución transcendental de una ciencia es un fenómeno gradual e inestable:

Gradual; el primer estadio consiste en dar a la ciencia forma eidética; el segundo, en hallar su forma axiomática; el tercero, en fundamentar tal ciencia en una superior, hasta llegar, a través de una o más ciencias sometidas al mismo plan ascensional hacia la transcendencia, a la lógica que es una ciencia como las demás mientras se la construya eidéticamente, como lógica puramente formal; pero que comienza a ser ciencia transcendental cuando se le da formulación axiomática; y llega a ser «la» ciencia transcendental por excelencia y exclusividad cuando se la   —252→   pone en conexión con la conciencia transcendental, conexión, que se verifica precisamente por los aspectos metalógicos de «posición» y «sustitución».

A este proceso de ascensiones y superaciones absorbentes se llama dialéctica transcendental.

Inestable: porque la disposición de las ciencias según serie de potencias ascendentes hacia la transcendentalidad depende de la actitud vital que, en un momento histórico, realice y se dé a sí misma la vida humana.

No son las cosas las que primariamente determinan el tipo de ciencia: en este caso no cabría dialéctica.

Es la vida la que cambiando el plan categorial-vital hace posible las diversas ciencias y los diversos estadios o fundamentaciones de las ciencias y la concatenación ascendente entre ellas con un punto general de convergencia.

En cada momento histórico es posible -con la radical posibilidad, esencial a la vida- colocarse en uno cualquiera de los planes categoriales inventados anteriormente por la vida; y, sobre todo, es siempre posible en cualquier momento histórico, colocarse en plan eidético, en extroversión vital, en desvivencia de sí mismo.

Notar un cierto plan científico como degenerado o simplificado supone, es claro, que la vida se ha dado ya otros tipos superiores de plan; los grados de degeneración o simplificación son, entonces, tantos cuantos los planes categoriales realizados por la vida.

La vida ha constituido, no hace mucho tiempo, una ciencia suprema: límite superior infranqueable para todo tipo de plan categorial científico: es la lógica, ciencia única en que su forma plena coincide necesariamente con la forma transcendental, de modo que su fundamentación no se halla en otra ciencia superior, como la geometría en el análisis, sino en la conciencia en cuanto transcendental en acto.

  —253→  

El propio y pleno plan categorial de la lógica es el plan conciencial de la constitución de objeto en cuanto objeto, es decir, en distancia máxima de la conciencia en ciencia con-sigo misma y en ciencia o conocimiento de lo otro, de las cosas; y no en plan conciencial de ciencia «con-sigo-y-las cosas» y menos todavía, en plan de ciencia de las cosas.

  —255→  

Las ciencias, dispuestas por la dialéctica en serie de potencias ascendentes, parece abocar, como a término final, a la conciencia humana.

Si realmente la conciencia humana en acto transcendental fuese el ápice absoluto del proceso dialéctico, no se podría hablar más que de una transfinitud transcendental del hombre, no de una transfinitud transcendente.

La transfinitud transcendental del hombre significaría solamente su total liberación de las cosas, de las más sutiles e ideales como de las más burdas y reales; liberación alcanzada por definitiva y ordenada colocación de las cosas en el plano de «objetos».

La transfinitud transcendental equivaldría a «vida en plena vivencia de su intimidad», muerta a las cosas, al mundo, viva en sí y para sí, y para las cosas en cuanto objetos o para lo que de las cosas no puede turbar su esencial intimidad.

Pero la transfinitud del hombre es, posiblemente, de tipo transcendente.

Al quedarse el hombre solo consigo mismo, en virtud de la potencia de distanciamiento de las cosas, constitutiva de la conciencia transcendental, su soledad se convierte en «soledad sonora».

Soledad óntica, de las cosas en cuanto cosas, pretenciosas y engreídas por su esencia, por sus ideas, por su   —256→   verdad; y pretendiendo descomedidamente -en virtud de lo que son y de su linda cara, visaje o visualidad- entrar sin más en la conciencia y determinar ellas solas el conocimiento.

En esta soledad óntica, las cosas ya no están presentes ruidosamente por el son de lo que son o dicen ellas ser; están presentes por manera de música callada, hablan ya en voz queda y ultrasonora de «objeto», respetuosas de la intimidad de la conciencia.

Y, hurtando silenciosamente unas palabras místicas a S. Juan de la Cruz, diría que: la música objetal, la que las cosas dicen a la conciencia transcendental es «música callada cuanto a los sentidos y potencias naturales, aunque sea soledad muy sonora para las potencias espirituales; porque, estando ellas solas y vacías de todas las formas y aprehensiones naturales, pueden recibir bien el sentido espiritual sonorísimamente». (Cántico espiritual, comn. a la estrofa xv).

Lo que las cosas pudieran decir en cuanto simples cosas es ruido; y así como el sonido es propiamente creación del arte musical, para servir de lugar de aparición de las formas sonoras, de parecida manera el objeto en sus variados matices es una creación de la conciencia transcendental por medio del plan categorial-vital.

Frente al estruendo y tumulto de los ruidos naturales, la catarata más potente de sonido de un poema musical parece silenciosa y muda.

Frente a las voces de mando de las esencias de las cosas que exigen a gritos la afirmación o la negación y hasta la adoración de su verdad y de su evidencia, sus respuestas al plan categorial suenan a soledad sonora, a música callada.

Si la conciencia no dispusiese sino de un plan categorial-vital, de un solo y fijo stock de categorías para   —257→   todos los tiempos y estados, tal plan categorial único y definitivo, funcionaría como el teclado de un piano o el número de registros de un órgano; las cosas, al deslizar o golpear con sus dedos reales el teclado de las categorías no podrían decir en sonido conciencial sino un conjunto finito de aspectos y en un grado fijo de interior resonancia en la intimidad de la conciencia. Se podría hablar en este caso de «la razón pura», así en singular irremediable.

Pero, con perdón de Kant, enviando a que se lo pida Dilthey, ni el número de categorías ni el orden o sistema entre ellas es algo fijo, único; ambas cosas son función del tipo de vida humana en una época histórica.

La vida -por virtud de su intimidad absoluta, por ser lo radicalmente otro de las cosas- tiene que servirse en cada momento de categorías, no puede dejarse invadir por lo que las cosas son en sí ni abrirse sin más a ellas.

No ofende quien quiere sino quien puede; la conciencia sin categorías no tendría que temer semejante clase de invasión -vertical, horizontal...- de ninguna clase de bárbaros. No tiene sentido temer que una escuadrilla de aviones invada la novena sinfonía de Beethoven. La conciencia está fuera del alcance de las cosas muchísimo más, inconmensurablemente más que el universo sonoro de un poema sinfónico respecto de una escuadra de Spitfire.

Las categorías son las que hacen posible que las cosas entren en contacto o afección con lo radicalmente otro que son la conciencia. Las categorías no son cosas, pero son condiciones de posibilidad para que las cosas se aparezcan a la conciencia. Y esta aparición o aspecto objetivo de las cosas para la conciencia no es, a su vez, cosa alguna ni sutil ni burda, ni propiedad alguna de las cosas, ni causa, efecto o elemento real alguno. Es un universo aparte que surge del mundo cósico de una manera más misteriosa   —258→   aún, pero parecida en muchos puntos, a la manera como de las cosas que son los instrumentos músicos surgen los universos musicales.

La original delicia de la estructura expresiva de un universo musical consiste en que no puede revelar nunca su último secreto; y no puede revelarlo porque toda música pura no puede «decir» nada, no habla en palabras, no se encuentra sometida ni siquiera a la restricción de la lógica que tiene que decir, sea lo que sea, en forma de proposición, aludiendo al menos, cuando no expresando clara y distintamente, una idea.

La alusión o intención significativa, esencial al universo de las ideas aparecidas en las palabras, tiende a convertirse en cumplimiento intuitivo; la regla de sustitución de que he hablado, formula de una manera científica esa posibilidad y hasta exigencia de la lógica; y cuando efectivamente hemos concretado una ley lógica por sustitución de determinados valores y casos -aritméticos, geométricos, físicos...- hemos ciertamente salvado un abismo o discontinuidad de tipos de ciencia, pero ambas orillas son del mismo material, de ideas.

Por el contrario: es imposible convertir el tipo original de alusión que la música hace en una significación concreta. Las palabras o el libreto de una ópera, por más determinados que sean desde el punto de vista histórico o literario, no son jamás lo aludido por la música, y menos todavía la letra explícita, concreta, determinada y determinante de que la música diga tal letra. La música alude, si nos empeñamos en conservar la palabra, a algo; mas lo hace en distancia infranqueable; la alusión no es convertible en explicitación, no vale una regla de sustitución.

En este aspecto, el universo musical es más subsistente e independiente de las ideas que la lógica misma, por   —259→   extraña y atrevida que parezca, a primera vista, la afirmación.

El referirse la música a los objetos en pura alusión esencialmente infranqueable no excluye, sino más bien incluye una peculiar manera de poseerlos intrínsecamente. Las ideas moldean las palabras y les dan las formas gramaticales puras: proposicional, deductiva... Las ideas geométricas y aritméticas se aparecen en un cierto universo verbal; y tales conjuntos de palabras «dicen» y cantan tales ideas; pero en la música, la aritmética y la geometría no sólo están aludidas sino intrínsecas, constituyendo de original manera -que no es ni lógica ni ontológica ni óntica...- el ritmo, el compás, la armonía, las melodías, frases, temas, modulaciones, juegos, variaciones...

Lo físico -tipos de movimientos, velocidades uniformes y aceleradas, discontinuidades cinéticas, centros de atracción, curvas geodésicas, líneas de inercia...- se hallan «en» la música, constituyéndola según un modelo suprametafísico. Y hay composiciones musicales de tipo «cuántico», en que todo parece regirse según múltiples enteros de medidas fundamentales e indivisibles; así Bach. Aritmética musical de números enteros.

Y se dan universos musicales de tipo estadístico-cuántico, de ritmos ferozmente unitarios y enteros, sobre los que flotan, imprevisibles, las melodías apoyando su pie aéreo sobre partes débiles del ritmo, como para hacer gala de su derecho a vivir y volar en el aire, cuando en Bach, por ejemplo, la melodía asentaba su pie en las partes fuertes del ritmo y pasaba ligera sobre las débiles, andando firme en tierra firme, deslizándose por la resbaladiza, cual lo hacemos los pesados mortales sobre la pesada superficie de la tierra.

Y otros, y otros tipos de universos musicales según todas y más combinaciones posibles a base de «número,   —260→   peso y medida»: universos musicales de número, peso y medida, de sólo número, de sola medida, de sólo peso, de peso y número, de peso y medida...

Todo, pues: lo físico, lo aritmético, lo geométrico... está en el universo musical por original manera supraóntica y supralógica más intrínseca que en la lógica, más extrínseca que en la óntica.

Y esta particular manera de ser todo en la música hace posible que la música se refiera a la conciencia, a la sujetividad secreta del hombre de modo más insistente, próximo y multiforme que todas las ciencias o, por la vertiente inversa, que la conciencia se exprese en la música según un modelo supratranscendental, según un tipo de plan categorial-vital transfinitamente más sutil y libre que el plan categorial de cualquier ciencia, la lógica inclusive.

En el volumen sobre el conocimiento artístico dedicaré un largo estudio a la comparación sistemática de los universos musicales con los universos científicos.

Aquí he hecho alusión a los universos musicales, dejando aparte los demás artes, por un motivo.

La dialéctica de las ciencias no mostraría, en rigor, sino que la transfinitud del hombre es de tipo transcendental y que tiene un límite superior, transfinito ciertamente respecto de los anteriores, que es la lógica.

El factum, la existencia del Arte, sobre todo de ciertas artes abstractas como la música, muestra que el tipo de la transfinitud humana es supratranscendental; que la conciencia transcendental, tipo Kant, es una de las fases y no la suprema de la evolución de la vida humana. Por esta causa, la transfinitud del hombre transciende la conciencia misma transcendental. Es de tipo transcendente.

La vida humana es, por excelencia y exclusividad, anfibia.

  —261→  

Es capaz de vivir en lo geométrico, en lo aritmético, en lo físico, en lo lógico, en lo físico en cuanto físico, vivir lo físico en lo geométrico, lo físico y lo geométrico en lo aritmético, y todo en lo lógico. Y re-vivir y renacerse y renacer todo lo científico en el Arte.

Y ¿así-a-continuación?

O ¿así-sin-límite superior?

¿Será una de las posibilidades de la vida humana, posibilidad existencial supracientífica y supraartística, vivirse y vivir todo y toda en Dios?

¿Un vivir en Dios que sea, a la vez y según la frase de S. Pablo, moverse en Dios y ser en Dios?

Y ¿qué distancia mediará entonces entre ser-en-Dios y ser Dios?

Yo deseo en la entraña más entrañada de mi vida que esta distancia sea cero.

Pero lo quiero en futuro, en un «será cero», y en un futuro suficientemente alejado que me permita recorrer, -paladeándolas, saboreándolas- todas las fases, momentos y matices del camino transcendental y transcendente de la vida humana.

Creo, espero y anhelo por una vida eterna y divina que me venga a «mi» tiempo, y no a «su» tiempo, que será para «mí» el mayor y peor de los destiempos.

Y, por de pronto, no quiero una vida eterna y divina que me sobrevenga inmediatamente después de «esta» vida.

Me pre-siento y la pre-siento como pre-matura y precipitada.

¡Ahora, que si Dios se empeña! ¡y, si de los niños es el reino de los cielos!