En el capítulo 2.º del tomo primero I, nos hemos asegurado por sencillísimas observaciones de la forma redonda de la Tierra y de su aislamiento en el espacio: habiendo reconocido igualmente que la general configuración de su superficie se aparta poco de la curvatura de los mares que se cruzan en ella por todas partes, y que sólo se diferencia de su nivel común por devaciones y depresiones locales de dimensiones casi imperceptibles comparadas con las de la masa entera. Ahora que hemos establecido procedimientos exactos de observación y medida, vamos a emplearlos en transformar en determinaciones rigorosas aquellas primeras nociones.
34. Para tomar una idea exacta de la figura de la Tierra, es menester medirla sucesivamente en diversos sentidos. Empecemos pues por estudiarlo en el del meridiano, toda vez que esta dirección es la primera que nos han dado a conocer las observaciones.
Fácil sería la obra si los meridianos terrestres representasen curvas planas; porque las bien sencillas consideraciones que hemos expuesto en el tomo I, § II nos han enseñado desde luego que la curvatura de una curva plana está indicada siempre por los ángulos más o menos agudos que forman entre sí las perpendiculares tiradas a sus diversos puntos. Para aplicar este resultado a la Tierra, bastaría entonces pues tomar sobre un mismo meridiano curvilíneo, pero plano, varios puntos espaciados a distancias conocidas (por ejemplo a distancias iguales), reducirlos idealmente o por el cálculo al nivel de los mares, y determinar los ángulos que forman sus verticales entre sí; porque las verticales son aquí las perpendiculares a la curva del meridiano.
Por este medio se conocerá desde luego si la Tierra es exactamente esférica, porque en tal caso la curvatura de sus meridianos debe ser por do quiera igual: todas las verticales concurrirán en el centro; y cuando los ángulos formados por ellas sean iguales, deberán serlo también los arcos medidos sobre la superficie terrestre en cualquiera parte del meridiano en que se los observe. Véase la fig. 7 en que C es el centro de la Tierra, AA´, A´A´´ arcos iguales medidos sobre su superficie en el sentido del meridiano. Generalmente, y en el caso de los meridianos circulares, los ángulos de las verticales son proporcionales a los arcos comprendidos entre ellas.
Por el contrario, si la Tierra no es esférica, deberá echarse de ver así; porque donde fuere más convexa, las verticales se encontrarán antes en su interior, y donde fuere más achatada, más lejos. Para medir, pues, el mismo ángulo entre estas verticales, será preciso andar mayor trecho en el segundo caso que en el primero. Véase la curva AA´BB´ (fig. 8); el ángulo C formado por las verticales AC, A´C es igual al ángulo C´ formado por las verticales BC´, B´C´; pero siendo más convexa la curva en E y más achatada en P, el arco BB´ es mayor que el arco AA´.
35. Aunque no sepamos a priori si los meridianos terrestres son curvas planas, como esta hipótesis, sin embargo, es la más sencilla posible, natural se hace ensayarla, y ver si están acordes con ellas las observaciones. Empero podemos advertir de antemano que se acerca tanto a la verdad que aún no ha sido posible medir la cantidad en que se aparta de ella, ni asegurarse siquiera de una manera muy cierta que se aparte de ella en realidad. Debemos prevenir además que la figura la Tierra, deducida de las observaciones, se aleja tan poco de la forma esférica, que la diferencia no es nada sensible sobre una corta extensión superficial, aun en las más exactas experiencias: de modo que para echarla de ver es preciso comparar entre sí observaciones hechas en partes muy remotas del mismo meridiano, o en diferentes meridianos a muy diversas latitudes. En su virtud, para encontrar en cada lugar el valor de un grado de meridiano, es decir, la longitud del arco terrestre correspondiente a un ángulo de 1.º entre las verticales, no es necesario buscar dos puntos cuyas líneas de este nombre hagan cabal entre sí un ángulo de dicha magnitud lo cual sería muy difícil y casi impracticable; pero se razonará como si la Tierra fuere esférica en un pequeño ámbito en torno de los puntos observados, y esto permitirá suponer en ella a los arcos de meridiano proporcionales a los ángulos en las verticales. Si pues el ángulo observado entre éstas es V, y M la longitud del arco terrestre comprendido entre ellas, se hará la siguiente proporción V : M : : 1º: 1º.M/V, y la cantidad 1ºM/V expresará la longitud de un arco terrestre en este lugar de la Tierra, según se habría medido directamente. En adelante le designaremos por la letra D(º) en cuanto va a seguir, atribuyéndole valores locales, constantes y variables, según indique la experiencia. Cuando D(º) sea conocido así para un lugar dado, si se concibe una superficie esférica con una curvatura igual a la que se observe sobre el meridiano terrestre en este lugar, el contorno de esta esfera será 360 D(º), su semicontorno 180 D(º); y si se divide esta última longitud por el número p, relación de la semicircunferencia con el radio, y la cual tiene por valor 3, 1415926, o 355/113 poco más o menos, se obtendrá la longitud R del radio de esta esfera, que será 180 D(º)/p. Suponiendo completamente esférica a la Tierra, éste sería el radio común a toda su superficie. Si del todo no es esférica, será el radio de una esfera que sigue sensiblemente su curvatura en el sentido del meridiano sobre la extensión de 1º en el lugar en que se ha medido el arco M. Si se considera a este arco común como si contuviese sobre el meridiano verdadero dos elementos tangenciales consecutivos e infinitamente pequeños en comparación de sus totales dimensiones, la esfera descrita así será en la acepción geométrica tangente a la superficie terrestre en el punto medio del arco; y además, osculadora en éste a ella en el sentido del meridiano53.
36. La medida de un grado de meridiano exige, pues, dos distintas operaciones. La primera es puramente geométrica, y se reduce al trazado continuo de un mismo meridiano terrestre y a la medida de la curva descrita así sobre la superficie de la Tierra, traída a la regularidad del nivel de los mares. La segunda es astronómica, y consiste en la medida del ángulo comprendido entre las verticales tiradas por los extremos del arco medido.
Empezaremos por esta última, en razón a que el procedimiento requerido puede enunciarse en dos palabras: basta medir las distancias del mismo polo al zenit de las dos estaciones extremas: la diferencia de distancias es el ángulo que comprenden las verticales.
Porque sean OZ, O´Z´ (Fig. 9) dos verticales tiradas a los puntos O, O´ del meridiano OO´; y considerando primeramente a la Tierra como exactamente esférica, supongamos que estas verticales prolongadas hacia lo interior de su masa se encuentran en el punto C, que será su centro. Tiremos los rayos visuales OP, O´P´, dirigidos hacia un mismo polo celeste, y por lo tanto paralelos entre sí. Si por el punto O se concibe una recta @, paralela a O´Z´, el ángulo ZO@ será la diferencia de las distancias del polo al zenit en las dos estaciones, y será igual, y evidentemente al ángulo central ZCZ´ que comprenden las dos verticales.
37. Suponemos que las dos verticales se encuentran. Si el meridiano terrestre es una curva plana, este encuentro tendrá necesariamente lugar, por distantes que estén los puntos extremos del arco observado. Si el meridiano no es una curva plana, será insensible esta doble curvatura en la extensión de algunos grados, como es la que ordinariamente abrazan las observaciones hechas en un mismo país. Las verticales tiradas en los extremos de tan ínfimo arco, si no se encuentran matemáticamente, tendrán por lo menos muy corta su línea de menor distancia, toda vez que la forma general de la superficie terrestre discrepa poquísimo de una esfera exacta; y puede presentirse que semejante circunstancia deberá producir efectos geométricos aproximadamente semejantes a los de encuentro. Pero es fácil dar a este concepto una forma rigorosa, recordando aquí algunas propiedades de las superficies esferoidales, que ilustrarán la serie de operaciones que vamos a exponer.
38. Consideremos una superficie de éstas en su más general acepción, con la sola restricción de que su curvatura varíe sin una discontinuidad repentina en toda su extensión. Por uno cualquiera de sus puntos M tíresele una normal, es decir, una recta indefinida perpendicular al plano que en dicho punto es tangente a la superficie. Tómese sobre esta normal, y en la concavidad interior, un punto cualquiera C, cuya distancia al punto de contacto se designará por R. Toda esfera descrita desde semejante centro C con el radio R será tangente a la superficie en el punto en que se ha tirado la normal. Pero sobre esta misma normal habrá cierto espacio en que los centros C darán esferas que tendrán un contacto más íntimo que los demás con la superficie. A éste le llamaremos espacio de osculación porque todas las esferas tangentes, cuyo centro se halla comprendido en él, siguen la curvatura de la superficie, cada una en cierto sentido especial, sobre la extensión de dos elementos tangenciales consecutivos que se suponen infinitamente pequeños; lo que se expresa diciendo que son osculadoras a la superficie en aquel sentido. Los dos radios extremos R que tienen esta propiedad se llaman, uno el mayor, otro el menor radio osculador de la superficie que se considera. Si fuera una esfera rigorosa, serían iguales entre sí y el radio mismo de esta esfera, resultando entonces nulo el espacio de oscilación. Por consiguiente, cuando la superficie se aparta muy poco de la forma esférica, este espacio resulta reducido y del mismo orden que el apartamiento; y diferenciándose sólo por el intervalo que ocupa los radios osculadores tirados desde los dos puntos que le terminan, también discrepan poquísimo en longitud. Debe pues esto suceder así respecto de la superficie terrestre, corregida de sus desigualdades locales y traída a la regularidad del nivel de los mares, toda vez que en su conjunto se diferencia sumamente poco de una esfera. En este caso todos los centros de las mayores y de las menores esferas osculadoras deberán hallarse repartidos en lo interior de su masa sobre dos superficies geométricas de formas diferentes en general, pero ambas circunscritas a muy pequeñas extensiones de volumen, las cuales se reducirían a dos puntos entre sí coincidentes si fuese rigorosa la esfericidad de la superficie osculada.
Siendo así las cosas, tomemos sobre cualquiera de las normales terrestres uno de los centros de osculación C, aquél por ejemplo, que corresponde al mayor radio osculador R. La esfera descrita desde el centro C con este radio será tangente a la superficie regularizada en el punto M en que se ha tirado la normal, y se asimilará con ella al rededor de este punto en cierta extensión superficial; tanto más íntimamente cuanto más limitada sea la superficie así considerada. Supongámosla tan pequeña que las secantes, tiradas desde el centro C a los puntos de la superficie regular que forman su contorno exterior, discrepen sólo del radio R en cantidades insensibles o insignificantes. Entonces, y en toda esta extensión, podrán suponerse hechas sin error apreciable las medidas de longitud y las operaciones trigonométricas que se efectúen entre los puntos en ella comprendidos sobre la esfera osculadora del radio R, cuyos radios se encuentran, aunque se hagan realmente sobre la superficie verdadera cuyas normales rigorosas, tiradas a los mismos puntos, pueden no cortarse mutuamente.
39. Ciertamente que la amplitud absoluta a que puede extenderse esta identificación con la suficiente exactitud, no podría determinarse con rigor más que por el cumplido conocimiento de la superficie a que se la aplica. Pero se infiere ya de aquí que, circunscribiendo nuestras operaciones geodésicas parciales a extensiones de superficie que sean verdaderamente muy reducidas en comparación con la total de la tierra, los resultados que alcanzaremos, considerándolas cual si fuesen hechas sobre una misma esfera, serán o bastante exactos para emplearnos de este modo, o por lo menos suficientemente aproximados a la verdad para no necesitar sino de correcciones muy leves que podrán aplicárseles ulteriormente por medio de mi segundo cálculo; luego que su comparación entre regiones muy distantes nos haya dado a conocer con aproximación la forma, así como las dimensiones de la superficie total de que dependen. Empero para acabar de fijar las nociones que preceden, anunciaremos anticipadamente que la combinación geométrica más ventajosa a que se ha venido a parar por el conjunto de todos los resultados obtenidos, consiste en considerar a todas las operaciones parciales como verificadas sobre esferas descritas sucesivamente con el mayor radio osculador del lugar; lo que coloca a todos sus centros sobre una recta muy pequeña, del mismo orden que el intervalo de osculación, y la cual resulta paralela al eje de rotación del cielo y colocada sobre el eje mismo de la de la Tierra, cuando se la supone a ésta un elipsoide de revolución, que es la segunda y última aproximación por que se puede representar su forma general en lo que tiene de regular. Esta construcción trae así todos los polos de estas esferas sobre el mismo eje central dirigido hacia los de la esfera celeste en la cual se encuentran solamente situados en puntos algún tanto diferentes entre sí y de los polos terrestres reales, según el lugar respectivo de su centro y de la longitud propia de sus radios. Los planos de sus meridianos coinciden pues todos entonces con los meridianos terrestres verdaderos, como que todos se cortan mutuamente según el eje común.
40. Explicadas y convenidas estas restricciones, vengamos al trazado del arco meridiano sobre una cualquiera de las esferas osculadoras locales no necesitando para esto conocerla, ni aun definir el sentido especial de la osculación que le atribuimos, sino suponer sólo bastante limitada la extensión de este arco para con una aproximación tenida por suficiente poder considerarle como aplicado íntegramente sobre esta misma esfera, o por extensión, sobre otras muchas ulteriormente osculadoras en sus diversas partes, y cuyo sistema de sucesión sería entonces preciso determinar. Desde luego, y en la primera estación tomada por punto de partida, este arco deberá por definición coincidir con la línea meridiana del lugar. Por otra parte, una vez que podemos suponerle que es una curva plana, a lo menos en este primer elemento longitudinal de su extensión, estará todo él comprendido eu el plano vertical local tirado por esta línea. Se le describirá pues sobre la superficie terrestre, si se determinan en ella las trazas de todas las otras verticales que satisfacen a esta condición. Ofrece un medio muy sencillo y exacto de conseguirlo el instrumento de los pasos dirigido con exactitud en el plano del meridiano de la primera estación, cuando se opera en un país abierto donde puede extenderse la vista por todas partes; por ejemplo, en una playa arenosa que costee las orillas del mar y siga su convexidad. Admitiremos primeramente la reunión de estas circunstancias favorables.
Estando bien arreglado el instrumento por la observación de las estrellas circumpolares o por cualquier otro medio, bájese entonces el anteojo hacia el horizonte, y sucesivamente al Sur y al Norte. Luego, sobre cada una de estas dos direcciones y a la distancia de algunos miles de metros, hágase plantar jalones verticales que tengan en sus cúspides planchas metálicas, divididas por líneas verticales que puedan reconocerse, por ejemplo, blancas y negras. Distinguido que se haya sobre cada una de estas miras la división y fracción de división que se encuentra en la dirección del hilo vertical central de la retícula; determínense cuidadosamente con una plomada los pies P´, P´´ de las dos verticales correspondientes: márqueselas con chapas metálicas horizontales, fijadas en los extremos de dos piquetes sólidos profundamente hundidos hasta flor de tierra. Los puntos P´, P´´ estarán en el plano meridiano de la estación intermedia; y corresponderán a la línea meridiana que pasa por el centro óptico de esta estación.
Así es como se ha marcado en París en el llano de Montrouge un punto que está en la dirección del eje óptico del anteojo de pasos del Observatorio. Por medios casi equivalentes, aunque menos precisos tal vez, se ha determinado la posición de la pirámide de Montmartre sobre la dirección de la misma línea meridiana trazada en el salón del mismo edificio. Prolongada que fuese esta línea 6000 metros (7176 varas) hacia el Norte, pasaría por el eje de la pirámide. Concíbanse dos puntos más distantes todavía, marcados también en una dirección horizontal P´, P´´, uno al Norte y otro al Sur del anteojo del instrumento de pasos, y determinarían sobre una extensión aún mayor la dirección del arco meridiano que se pone plano. Podríase fácilmente, si se creía necesario, subdividir el intervalo de los puntos P´, P´´, sin salir del propio meridiano terrestre. Porque, toda vez que le suponemos contenido en un mismo plano, no habrá más que establecer en algún punto intermedio un círculo portátil de limbo vertical, que se colocará de modo que el eje óptico de su anteojo, puesto previamente paralelo al plano de este limbo, se alinee en su rotación con exactitud sobre ellos. Cuando se haya satisfecho a esta condición, se harán colocar de distancia en distancia otros jalones verticales, provistos de miras, que en un principio se arreglarán a ojo sobre esta dirección aproximadamente. Cuando estén bastante cercanos a ella para que las divisiones de las miras se vean en el campo del anteojo alineado siempre sobre las señales extremas, se anotará la división que se encuentra debajo del hilo, y se marcará como anteriormente sobre una chapa fijada al nivel del terreno el pie de la vertical correspondiente. Igual procedimiento servirá para prolongar más allá del intervalo P´ P´´ el plano vertical; y por consiguiente el arco meridiano que pasa por estos puntos. Esto será más sencillo que trasportar para el propio fin al instrumento de pasos, el cual es más difícil de establecer; y pudiera concebirse la línea meridiana de una primera estación continuada así del extremo a otro de un continente sobre su primitiva prolongación, después de que hubiese sido determinada en aquella sola por pasos de estrellas circumpolares.
41. No obstante, en este caso ideal de una extensión tan larga, y que saldría de las condiciones limitadas a que suponemos sometidas las operaciones tales como son, habría sumo interés en establecer nuevamente el instrumento de pasos en el último punto de la línea trazada de este modo, y aun en otros puntos intermedios, para determinar inmediatamente por observaciones astronómicas la dirección del meridiano local. Porque si los meridianos terrestres, según los hemos definido en general, no fueran curvas planas, el meridiano verdadero, fijado así astronómicamente, se apartaría de la dirección de la señal precedente, y esta variación azimutal descubriría este mismo hecho por un carácter incontestable. Desgraciadamente no puede encontrarse una localidad en que sea dado prolongar el trazado directo bastante lejos para que fuese susceptible de servir para semejante prueba. Y esto es por lo que en las grandes operaciones modernas se trata de suplir este procedimiento por otra determinación equivalente, según más tarde se verá. Pero a pesar de la gran longitud de las redes de triángulos a que se ha podido aplicarla, se han encontrado divergencias finales tan pequeñas, que se confunden con los resultados de los errores envueltos en las observaciones, o que, cuando más, sólo se puede reconocerlas como indicios de accidentes locales, cuyo influjo no se hace sentir de un modo seguido; en términos que hasta aquí nada autoriza a afirmar que los meridianos terrestres no son curvas planas en lo que tienen de regular. En su virtud, dado que exista su doble curvatura, debe ser de seguro insensible sobre un arco de un pequeño número de grados, tal como podría cuando más abrazarle un trazado directo según le acabamos de describir.
42. Aun circunscribiéndole a estos límites, se haría preciso para que pudiera ejecutarse sin rectificación, suponer que la superficie del terreno en que se opera es por todas partes exactamente horizontal; es decir, que su convexidad es la misma que la de la superficie de los mares; porque sería necesaria esta condición para que coincidiese con un arco regular de meridiano una cadena, o un hilo flexible extendido sobre el terreno, y que pasase por los pies P´, P´´... de las verticales consecutivas. Y como nunca se presentan así las cosas con el suficiente rigor, se llena dicha condición artificialmente por el medio de conmensuración de que se echa mano. Para esto se preparan muchas reglas o cadenas, formadas de materias poco dilatables, cuya longitud se determina en función exacta del tipo fijo que se quiere tomar como unidad de medida, anotando cuidadosamente la temperatura a que se hace la comparación. Y cuando se sirve uno de ellas con otra temperatura, se las reduce siempre a esta longitud primitiva en virtud de la dilatación conocida de la materia de que se compongan. Para que estas reglas o cadenas, aunque rectilíneas, puedan adaptarse con la suficiente exactitud a la convexidad de la superficie terrestre por aplicaciones sucesivas, es menester que su longitud no exceda de algunas toesas de las antiguas medidas de París, o de un número igualmente limitado de metros. Están extendidas sobre planos inflexibles, cuyos apoyos van provistos de tornillos de movimientos verticales que permiten traerlas a una horizontalidad exacta cuando el terreno en que se opera sólo es poco desigual. Pero como los accidentes locales, harto comunes, harían frecuentemente difícil, y aun imposible, llevar a efecto materialmente un gran número de contactos sucesivos con aquella única condición, se reducen a ella por el cálculo los que son un tanto oblicuos según el ángulo actual de inclinación medido por un nivel dividido que se fija al plano duro sobre que descansa la regla o la cadena. Cada aparato particular de este modo constituido está cubierto con un techo de madera que le guarece de la radiación solar. Píntaselos exteriormente de diversos colores para distinguirlos entre sí, cuando se los traslada sucesivamente para continuar su colocación; y unas puntas metálicas, verticalmente fijadas en los extremos de las cimas de estos techos, sirven de visos para alinear las reglas interiores sobre los jalones levantados en los puntos P´, P´´... que se han marcado sobre el terreno en la dirección de la línea meridiana. Acaso se juzgaría mejor de esta alineación al través de pequeños anteojos provistos de retículas, cuyo eje óptico coincidiese con el de las reglas, y que estuviesen fijadas en los dos extremos de cada techo a alturas un tanto diferentes. Mas un error muy pequeño en la alineación de cada regla no tiene casi importancia; porque la longitud oblicua discrepa entonces muy poco de su proyección sobre la línea directa. La suma, sin embargo, de estas diferencias da necesariamente una medida total más larga que la verdadera en una cantidad susceptible de estimarse, suponiendo cometido en cada sentada el mayor error posible; y de este modo se asegura uno de que es despreciable, aun para una conmensuración muy larga, si se pone el necesario esmero. La coincidencia de estas reglas entre sí no se hace por contactos inmediatos que pudieran ocasionar retrocesos; sino que cada regla o cadena lleva en uno de sus cabos una lengüeta delgada, movible en un bastidor longitudinal donde es conducida por un tornillo de movimiento que sirve para hacerla salir más o menos; y el extremo libre de cada lengüeta es el que se pone en contacto con el fijo de la regla precedente. La cantidad de su salida se aprecia por la indicación de un nuñez que lleva consigo a lo largo de una división rectilínea trazada sobre la regla a que pertenece, leyéndose la coincidencia de aquél sobre un pequeño microscopio fijo en dicha regla. Para efectuar la medición se pone primero la extremidad anterior de la primera regla en coincidencia con la vertical del punto P´ marcado sobre el terreno, de lo que se juzga por el contacto de una plomada que caiga este punto, y cuyo semigrueso debe añadirse también a la medida total indicada por la aposición de las reglas sucesivas. Esta primera regla ha sido además alineada sobre los jalones de guía, como lo estarán todas las otras: y si no es cumplidamente horizontal, se mide también su inclinación para deducir por el cálculo su exacta proyección. Hecho esto, y sin mover dicha regla, se asienta una segunda que se pone en contacto con ella por su lengüeta móvil; luego una tercera que se pone en contacto del propio modo con la segunda; y sólo después de haber sentado así sobre el terreno tres consecutivas por lo menos, es cuando se alza la primera para volver a continuar la operación. Cuando se ha llegado de este modo al fin del arco trazado sobre el terreno por los puntos P´, P´´... jamás sucede que el extremo de la última regla caiga cabalmente en proyección horizontal sobre el último de dichos puntos. Pasa siempre del mismo, o no llega. Entonces se baja una plomada tangencialmente a su extremo, y se marca sobre una chapa metálica fija en tierra el punto en que cae; mídese luego directamente la distancia de este punto a la última estación P; y se la suma o resta de la longitudinal de la regla según los casos54.
43. Si la operación que acabamos de describir se hace sobre una playa arenosa que costee la orilla del mar, las reglas aplicadas así horizontalmente, o más en general sus proyecciones horizontales, calculadas por las indicaciones de su nivel, si son un tanto oblicuas a las verticales sucesivas, representarán otras tantas pequeñas rectas consecutivamente tangentes al arco meridiano en el intermedio de su longitud. Ahora bien, la diferencia entre un arco pequeño y su tangente es en un círculo menor que el tercio del cubo de esta misma tangente dividido por el cuadrado del radio del círculo. Puede pues pensarse que, limitando las longitudes de las reglas como nosotros lo hemos hecho, serán tan pequeñas comparadas con el radio de la Tierra, que resultará despreciable su diferencia con el arco a quien toca; y esto cuando menos puede admitirse en un primer cálculo aproximado. Pero luego que nos llegue a ser conocido el radio de la Tierra por este primer cálculo, podremos asegurarnos de que la diferencia de que se trata será en efecto inapreciable para cada una de nuestras reglas en los límites de longitud que les hemos fijado; y la suma misma de las diferencias acumuladas de este modo en una medición de 300000 ó 400000 metros (358800 a 478400 varas), no formaría una fracción de milímetro determinable por los más perfectos aparatos físicos.
44. Supongamos ahora que la medición no se ha hecho a orillas del mar, sino en una espaciosa llanura situada en lo interior de algún continente; y para conformarnos del todo con las calidades que se presentan ordinariamente, demos a esta llanura una corta pendiente sobre su vertical media. Cuando todas las reglas aplicadas hayan sido reducidas por el cálculo a la horizontalidad sobre sus verticales respectivas, las proyecciones de ellas obtenidas así formarán otras tantas tangentes al círculo meridiano que pasase por el vértice de cada vertical; y en virtud de lo que se acaba de decir, se confundirían sensiblemente con la pequeña porción de arco que cubren. Estos arcos, que suponemos aquí descritos desde el mismo centro, tendrán radios de diversas longitudes a causa de la pendiente general del terreno sobre que se han llevado sucesivamente las reglas. Así que, antes de efectuar la suma de éstas, es menester reducirlas a las dimensiones que habrían interceptado sobre un mismo círculo las verticales que las terminan, por ejemplo, sobre aquel cuyo radio R´ pasase por el punto medio de la línea medida. Es decir, que si a es la diferencia de nivel absoluto entre este punto medio y un punto cualquiera de la línea en que el pequeño arco tangencial es m, es menester transformar este arco en mR´/R´+a o m ma/R´+a. Pero a causa de la excesiva pequeñez de a comparativamente con R´ en los casos de leve pendiente que admitimos, el término que expresa la corrección de cada arco m será individualmente insensible; y la suma de todas las correcciones vendrá a hacerse nula para toda la línea por compensación, toda vez que el factor a, que les da su signo, será positivo para los puntos más elevados que el punto medio, y negativo para los más bajos. En su virtud podrá considerarse sin error alguno al arco total medido M, como correspondiente al círculo meridiano trazado con el radio medio R´.
45. Admitamos ahora que por medio de una nivelación topográfica, o por observaciones barométricas simultáneas, se haya determinado la altura A de la estación media sobre el nivel medio del mar más cercano; y sea R el radio terrestre de dicho mar que termina en este mismo nivel medio. Si la Tierra es exactamente esférica, R será su radio constante. Si tiene una forma algo diferente, R será el radio de la esfera local, osculadora a su superficie media en la región en que el arco M ha sido medido. Desde el centro de esta esfera tiremos dos secantes terminadas en los extremos del arco M, y cuya longitud sea por consiguiente R´ o R+A. También serán las verticales de estos puntos extremos, por lo menos en el primer sistema de aproximación a que aquí nos circunscribimos. Ahora pues, una vez que interceptan el arco circular M a la distancia R+A del centro interceptarán a la distancia R un arco proporcionalmente menor, es decir, MR/R+A o M-MA/R+A. Calculado este arco, será pues el arco meridiano que se habría obtenido entre las mismas verticales que comprenden a M, si se hubiera podido medirle sobre la prolongación de la superficie esférica del mar en la región en que se ha operado. Será lo que se llama el arco M reducido al nivel del mar; y el término sustractivo MA/R+A se llama la reducción a este nivel. Para estimarle numéricamente sería preciso conocer el radio R, que es cabalmente el elemento físico que se trata de determinar. Empero esta apariencia de círculo vicioso se desvanece considerando que según el § 35 el radio local R+A puede sacarse del mismo arco M, supuesto que llamando V al ángulo observado entre las verticales extremas y expresado grados sexagesimales, su longitud es 180ºM/Vp. Así la reducción buscada del arco M, es decir MA/R+A, será VpA/180; y la reducción del simple grado D(º) o 1º.M/V será proporcionalmente pA/180; expresiones cuyos elementos serán todos conocidos por las determinaciones previas de M, V, A, en el lugar mismo y a la altura a que se los haya observado. Para reducirlas a números sólo quedará, pues, que conocer el ángulo en el centro V comprendido entre las verticales de las estaciones extremas; y se le obtendrá, como hemos dicho, por las observaciones astronómicas conducentes al efecto, porque será igual a la diferencia de las distancias de un mismo polo a los zenits de estas dos estaciones.
46. En el año de 1768 se hizo precisamente una operación semejante a la que acabamos de describir por los astrónomos Mason y Dixon en el límite de los estados de Pensilvania y Maryland en una península que termina en el mar Atlántico entre los embocaderos de los ríos Chesapeack, Potomack y Delaware; de modo que el arco medido pudo considerarse entonces como extendido sobre la prolongación misma de este mar sin reducción alguna. La medición, prescindiendo de ciertas particularidades que la complican, estuvo esencialmente compuesta de dos partes distintas, cuya disposición relativa está representada (fig. 10) por los arcos de círculo máximo SS1, S1S2, trazados consecutivamente sobre una misma esfera que se supone osculadora a la superficie terrestre en la relación en que están descritos estos arcos. C designa el centro de esta esfera, CP su radio, paralelo al eje de rotación del cielo, y P el polo a que van a converger todos los meridianos de su hemisferio septentrional. Se partió desde el punto S el más inmediato al polo; y determinado que se hubo por observaciones astronómicas la dirección del meridiano propio de esta estación, se midió en su prolongación un arco SS1, que, expresado en pies ingleses, se encontró igual a 104988,pies4. Algunos obstáculos naturales obligaron entonces a desviarse un tanto hacia el Este para seguir otro de círculo máximo S1S2, en que continuó la medición hasta S2; y la longitud S1S2 de este segundo arco se encontró igual a 434011,pies6. Ésta es la razón porque se determinó de nuevo la dirección del meridiano PS2 respectivo a esta última estación S1, y habiendo sacado la de las señales anteriores con relación a ella, se echó de ver que el arco S1S2 se le apartaba hacia el Oeste en un pequeño ángulo azimutal igual a 3º43´30´´. Las distancias del polo celeste al zenit se observaron en las dos estaciones extremas S1S2; mas para obtener su intervalo terrestre, tal como habría sido si se le midiera totalmente sobre un mismo meridiano, es preciso patentemente hacer pasar por una reducción al arco oblicuo S1S2. Porque si por los puntos S1, S2, se conciben dos paralelos terrestres SM, S1M1, descritos en derredor del polo P como centro, se podrá ciertamente trasportar idealmente el arco SS1 a MM, sobre el meridiano de S1, sin alterar su longitud, toda vez que son iguales todos los meridianos esféricos. Pero después se hará menester hallar el arco M1S2 que le completa sobre este mismo meridiano para poder añadirle a MM1 como prolongación; y este arco M1S2 debe ser evidentemente menor que el oblicuo S1S2 que se ha medido. Más adelante calcularemos esta dirección exactamente, y la encontraremos igual a 932,pies45, en que es preciso disminuir al arco S1S2 para tener a MIS2, lo cual dará a éste igual a 433079pies. Empero ya la pequeñez del ángulo S1S2M1 manifiesta que se obtendría un valor muy aproximado para M1S2, considerando a S1M1S2 como un triángulo rectilíneo, rectángulo en M, y cuya hipotenusa fuera S1S2; en cuyo caso se tendría M1S2, igual a S1S2 cos. S1S2M1, lo que daría para su valor 433094pies69, que excede sólo en 15,pies54 a su valor exacto. Pudiera pues hacerse uso de este resultado como una primera evaluación aproximada que serviría para encontrar el arco meridiano total MS2, comprendido entre los paralelos de las estaciones extremas, y por consiguiente el radio de la esfera osculadora local; resultado que se corregiría ulteriormente a favor de un segundo cálculo fundado sobre el valor de este radio de tal manera obtenido. Para evitar este rodeo, emplearemos desde luego los resultados definitivos con la leve reducción de 15,pies54 debida a la curvatura esférica del triángulo S1M1S2, salvo el probar más tarde que la longitud aproximada del radio terrestre que se tendría sin tomarla en cuenta, bastaría para calcular con mucha exactitud su valor. El arco oblicuo M1S2, reducido así, será pues 433094,pies69-15,pies54, p 433079pies15. Añadiéndole a SS1 o a su igual MM1, que era 104988,pies4, se tendrá por suma MS2 igual a 538067,pies55. A este número es preciso añadir 10,pies84 para que las cadenas metálicas empleadas en la medición resulten reducidas a la temperatura de 60º Fahrenheit, o 12º del termómetro centesimal, que era aquella a que se refería la toesa de la Sociedad Real de Londres como tipo de medida. El arco total del meridiano MS2, o M, comprendido entre los paralelos de las estaciones extremas era así pues igual a 538078,pies39.
Ahora bien, las distancias del polo al zenit observadas en los puntos extremos S1, S2, se han encontrado las siguientes:
| En la estación más austral S2. | 51º32´26´´ |
| En la estación más boreal S o M | 50º3´41´´ |
| Diferencia o ángulo comprendido entre las verticales extremas | 1º28´45´´ |
47. Para obtener la longitud del grado terrestre que resulta de estas observaciones, supongamos a la Tierra sensiblemente esférica en una pequeña extensión al rededor de los puntos observados; o lo que viene a ser lo mismo, consideremos a estos puntos como situados sobre la esfera local que se confundiría con la superficie real en la región donde se ha hecho la operación. Los arcos de meridiano medidos sobre esta esfera serán entonces proporcionales a los ángulos en el centro comprendido entre las verticales que los limitan. Así la longitud D(º) de un grado sexagesimal será en ella 1.º538078,pies39/1º28´45´´ o en números redondos 363771 pies ingleses en la parte del meridiano en que la distancia del polo al zenit es por término medio 50º48´. Si se quiere expresar esta longitud en antiguas toesas francesas, idénticas al tipo de hierro adoptado por la Academia de ciencias, basta saber que ésta es con relación a la de la Sociedad Real de Londres, como 76,734 es a 72: de donde se sigue que para convertir el resultado anterior en pies franceses, es menester multiplicarle por 72/76,734; y si después se quiere expresarle en toesas, se necesita dividirle por 6, o lo que viene a ser lo mismo, multiplicarle desde luego por 12/76,734. De este modo se obtienen 56888 toesas para la longitud de 1º del meridiano a la latitud de 39º11´36´,5 media entre las precedentes.
Si la Tierra fuese exactamente esférica, se podría por este resultado calcular sus dimensiones. Porque siendo el valor del grado sexagesimal 56888 toesas, toda la circunferencia sería 360.56888 = 20479680 toesas. Multiplicando este número por 113/355, relación aproximada del diámetro con la circunferencia, se tendría el diámetro de la Tierra igual a 6518884 toesas, y su radio a 3259442. Mas estas deducciones sólo pueden considerarse como provisionales hasta tanto que hayamos comparado las medidas de los grados obtenidos de este modo en diferentes regiones y para distancias medias del polo al zenit muy desiguales, a fin de descubrir si existen diferencias sensibles entre sus longitudes, lo que indicaría que la superficie terrestre se aparte de la figura de una esfera rigurosa.
48. No obstante, los resultados obtenidos hasta ahora van ya a servirnos para demostrar la exactitud de muchas consideraciones a que hemos recurrido en los razonamientos.
La primera es que, haciéndose cada una de las reglas empleadas en la medición normal a la vertical que pasa por su medio, puede mirarse como confundida con el pequeño arco terrestre, cuyas tangentes son cada una de sus mitades.
Para reconocerlo, llamemos a a un pequeño arco tomado sobre la circunferencia de un círculo cuyo radio sea 1. El desarrollo conocido de a (menor que 45º), según se demuestra en los elementos de trigonometría, será
a = tang a-I/3tang3a + I/5tang5a...
Mientras menor sea a comparado con el radio tomado por unidad, más pequeña será la fracción que expresa su tangente, y recíprocamente. Y si esta fracción llega a ser tan pequeña, que su cubo y sus potencias superiores excedan del orden de decimales que se cree poder estimar, el arco de que se trata se confundirá con su tangente en los propios límites de aproximación.
Llamando ahora A a un arco de círculo que subtenda el mismo ángulo que a, pero estando descrito este círculo con el radio R, tendremos igualmente por la proporcionalidad de las figuras homólogas en las figuras siguientes
A = tang A-I/3tang3A/R2+I/5tang5A/R4...
y el límite de evaluación de A en tang A se circunscribirá también a los términos del segundo miembro que no se puedan estimar físicamente o que se crea pueden despreciarse.
Para circunscribirle precisamente al primer término es para lo que se adoptan reglas de medición muy pequeñas. Suponiéndolas de dos toesas de largo, la mitad o una toesa será tang A. La operación de Pensilvania nos ha dado R=3259442 toesas, aunque haya sido hecha sin la corrección que ahora queremos apreciar. Pero como el error que de aquí resultaría en el cálculo de R no puede menos de ser muy pequeño, a juzgar por esta misma corrección, podemos, sin cometer un círculo vicioso, hacer uso del valor de R obtenido así para calcular los términos de la serie en que entra como divisor; toda vez que la limitación de tang A los debe hacer patentemente de una pequeñez suma, y el resultado mismo nos manifestará si hubiera sido preciso tenerlo en cuenta en el primer cálculo de R. Considerando pues el primero de estos términos, y calculándole por logaritmos, resulta
I/3 tang3A/R3=1/3(3259442)2=0,0000000000000313756toesas.
Tal, pues, es el valor de este primer término para una media regla sola, y los siguientes serían aún progresivamente más pequeños. Supónganse 50000 reglas completas aplicadas una tras otras, lo que compondrá un arco mayor que el de Pensilvania. La suma de todos los términos análogos será éste, repetido cien mil veces, es decir,
0,00000000313756toesas o líneas 0,000002710851841.
Esta suma será, pues, enteramente inapreciable por los procedimientos más delicados de conmensuración; y por eso ha podido despreciarse muy bien en Pensilvania la corrección de que resulta, así como puede hacerse en todas las operaciones en que la medición se haga con reglas o cadenas cuyas longitudes estén suficientemente limitadas.
49. Veamos ahora de calcular la corrección que es preciso hacer al arco oblicuo S1S2 de la figura 10, para obtener el arco M1S2 del meridiano de la última estación que está comprendido entre los mismos paralelos terrestres. Esta investigación nos será utilísima en lo sucesivo. Porque un cálculo semejante se reproduce en todas las operaciones análogas que tendremos que considerar, no sólo cuando se llega a su postrero término, sino para proyectar sobre el meridiano las diversas porciones de arcos esféricos que las componen, y son más o menos oblicuas a esta dirección.
Para evitar las confusiones de líneas, reproducimos separadamente aquí este sistema de arcos en la fig. 11, colocándole sobre la misma esfera local cuyo radio polar es CP. Añadimos por vía de anticipación esta especificación de localidad; puesto que en esta primera prueba, que sólo será aproximada, podríamos considerar a la superficie terrestre regularizada como si fuese absolutamente una esfera y estuviese descrita con un radio constante. Empero no costará ya nada ponernos desde ahora en el caso más general de una esfera osculadora variable, salvo el ver si podremos determinar su radio local con una aproximación suficiente para el uso que queremos hacer de él, o si deberemos decidirnos a despreciar esta modificación de localidad. Aquí dicha esfera estará caracterizada por la condición de confundirse sensiblemente con la superficie terrestre en la pequeña extensión superficial, cuyo arco S1S2 se ha medido, y la de tener su radio polar CP paralelo al eje de rotación del cielo. Entonces será su superficie aquélla sobre la que construiremos el triángulo esférico S1S2M1, cuyo lado S2M1 representará la dirección del meridiano de S2 con que el arco S1S2 forma el ángulo observado i. Cualquiera que pueda ser el radio de esta esfera osculadora, le representamos por R, concibiéndole expresado en las mismas clases de unidades de longitud que se han empleado para medir el arco S1S2.
Ahora, desde el punto S1 más boreal del oblicuo S1S2 tracemos sobre nuestra esfera un arco de círculo máximo S1N perpendicular al meridiano S2M1. En el triángulo polar PS1N, que tiene a PS1 por hipotenusa, PN será menor que PS1, porque el ángulo en P es necesariamente muy pequeño; y como PM1 es igual a PS1 por construcción, toda vez que los puntos S1, y M1, deben pertenecer al mismo paralelo terrestre, M1N estará situado sobre la prolongación de S2M1 acercándose al polo, según se representa eu la figura. Supuesto esto, vamos a calcular primeramente el arco total S2N. Después determinaremos la longitud del arco M1N por la condición de que los dos puntos M1, S1, estén igualmente distantes del polo en sus respectivos meridianos; con lo que S2N-M1N será la longitud buscada del arco meridiano S2M1.
Los tres arcos de círculos máximos S1S2 S1N, S2N forman sobre nuestra esfera, cuyo radio es R, ¡in triángulo esférico rectángulo en N, en el cual se conoce la hipotenusa S1S2 que llamamos A, con el ángulo adyacente S1S2N igual a 3º43´30´´ que llamaremos i. Se busca el lado S1N, que designaremos por A´, y el lado S1N, que designaremos por @´. Para no introducir explícitamente en el cálculo la especie particular de unidades lineales en que está expresado el arco A, y que sería preciso aplicar al radio R, tiramos idealmente, Partiendo desde el centro C, tres radios o verticales, dirigidas a los puntos S1,S2,N; y luego los cortamos con una esfera concéntrica con la primera, y descrita con un radio igual a 1. Uniendo los tres puntos de intercesión por arcos de círculos máximos, formamos así sobre esta esfera central un triángulo esférico semejante a S1S2N, cuyos lados respectivamente homólogos designamos por a, a´, d´, siendo común el ángulo i. Luego que a´ y d´ sean conocidos en a y en i sobre la esfera central, la proporcionalidad de las líneas homólogas en las semejantes dará evidentemente
(S) A=Ra A´=Ra´@´=Rd´.
Entonces para obtener A´ y @´ en medidas lineales, sólo resta conocer el radio R en estas mismas unidades de medidas, ya con exactitud, si así es indispensable, ya con la suficiente aproximación, si podemos limitar su influencia a pequeños términos correctivos, eliminándole de las partes principales de A y de @´ por su relación con el arco A que es conocido Este último caso es ahora dichosamente aquel que va a realizar nuestro cálculo.
50. La resolución del triángulo central es una aplicación del tercer caso de los triángulos esféricos rectángulos, que Legendre ha considerado en su Tratado de Geometría. Adaptándole las fórmulas que da, se encuentra.
(s) tang a´ = tang a cos i, sen d´ = sen a sen i.
Si se quisieran resolver inmediatamente estas ecuaciones por las tablas de senos y tangentes, sería menester sustituir en ellas el arco a de la esfera central por su valor angular, el cual, llamando R´´ al radio de su círculo, expresado en segundos sería A/R R´´. Esto, pues, exigiría ya el conocimiento exacto del radio R para emplearle como divisor en esta conversión. Luego que los arcos a´, d´, fuesen así conocidos en valores angulares, se haría preciso formar sus valores abstractos a´/R´´, d´/R´´, y luego multiplicarlos por R para tener A´ y @´, lo que daría a la valuación de R una influencia inversa en estos dos cálculos. Es, pues, muy de desear eludir los errores que la exactitud de tal evaluación produciría en estas operaciones recíprocas; y esto cuando menos debe ser esencialmente posible para arcos pequeños tales como los consideramos aquí; toda vez que, si lo fueran tanto, que pudiera considerárselos como proporcionales a sus senos y tangentes, evidentemente el radio R desaparecería del todo de sus mutuas relaciones. Y con efecto, este carácter especial de pequeñez permite separar la parte principal de A´ y @´ que es independiente de su valor.
51. Para ello, y debiendo ser los arcos a, a´ y d´ menores aquí, siempre que 2 grados o 2700 segundos, podremos hacer uso de los siguientes desarrollos, que en el caso indicado de limitación serán siempre convergentes.
(1) tang a = a+I/3 a3+2/I5 a5...
(2) sen a = I/6 a3+I/I20 a5...
(3) a = tang a-I/3 tang3a+I/3 tang5a...
(4) a = sen a+I/6 sen3 a 3/403 sen5 a...
Expresemos ante todo el arco a´ por su tangente que es dada en la primera de las ecuaciones (s), y tendremos, deteniéndonos en los dos primeros términos, mediante a que la aproximación conseguida de este modo excederá siempre a la exactitud a que las observaciones astronómicas y mediciones geodésicas son susceptibles de alcanzar.
a´ = tang a cos i-I/3 tang3 a cos3 i.
sustituyamos ahora en el segundo miembro a tang a por su desarrollo en a que, circunscrito también por igual razón a sus dos primeros términos, es
tang a = a+I/3 a3;
y limitando esta substitución a las potencias de a que no pasan de la tercera para mantenerse en los propios límites de aproximación, encontramos en fin
a´ = a cos i + I/3 a3 cos i sen2 i.
Practicando igual operación con la segunda de las ecuaciones (s), representemos el arco d´ por su seno, que es dado, y circunscribiéndonos siempre a los dos primeros términos del desarrollo, obtenemos
d´ = sen a sen i+I/6 sen3 a sen3 i;
entonces sustituimos a sen a su desarrollo en a, que en iguales condiciones es
sen a = a-I/6 a3;
y ateniéndonos siempre al mismo límite de aproximación, hallamos por último
d´ = a sen i-I/6 a3 sen i cos2 i;
Ahora, para transportar estos resultados a nuestra esfera osculadora, cuyo radio es R, se hace menester sustituir en ellos a los arcos a, a´, d´ sus valores A/R, A´/R, @´/R. Entonces desaparece uno de los factores 1/R de ambos miembros de cada igualdad como común que les es, y se tiene
A´ = A cos i+I/3 A3/R2cos i sen2 i; @´=A sen-I/6 A3/R2 sen i cos2 i.
Los primeros términos de estas expresiones, que forman la parte principal de los valores buscados, son patentemente los que se obtendrían si se resolviese el triángulo terrestre S1S2N como si fuera rectilíneo; y esto es lo que ha hecho el astrónomo inglés Maskelyne al calcular esta operación, fundándose sin duda en la pequeñez del ángulo i. Según nuestro cálculo más general, se echa de ver que estos primeros términos son los solos independientes del radio R, cuyo cuadrado se conserva como divisor en los que les están unidos. Pero cuando las amplitudes de los arcos A son tan limitadas como suponemos, la excesiva pequeñez de la relación A2/R2 hace que estos últimos términos puedan calcularse con toda la precisión necesaria por el conocimiento aproximado que siempre se tiene del radio R. Aquí particularmente es tal la pequeñez de esta relación, que se puede calcularlos con el valor de R, que se reduciría del grado D(º), evaluado de una manera inmediata resolviendo el triángulo S,S2M1 como rectilíneo y suponiendo que el lado S1M1 se confunde con la perpendicular S1N. Esta determinación aproximada daría en pies ingleses D(º) = 363781,81; de donde se deduce en la misma especie de medidas.
R = w D(º); luego log R = logw +log D(º)=7,3189636.
No obstante la ligera inexactitud que puede afectar a esta expresión de R, nos bastará enteramente para calcular nuestros pequeños términos correctivos. Aplicándola a nuestras dos fórmulas y efectivamente también el cálculo directo de sus primeros términos con los valores de A y de i que son dados, se halla
A´=433094,692pies+0,264pies = 433094,936pies;
@´=28196,747pies-2,029pies = 28194,718pies.
La excesiva pequeñez de estos términos justifica así todas nuestras previsiones.
52. Conocido el arco A´ o S2N de la fig. 11, nos falta hallar M,N que es preciso sustraer del mismo. Para esto notemos que, debiendo estar el punto M, por definición sobre el paralelo de S1, el arco PM1, contado desde el polo P sobre nuestra esfera osculadora, es igual a PS, que representa sobre esta misma esfera la distancia del punto S, al polo P. Como se supone sensiblemente llenada la condición de tangencia en la pequeña extensión superficial del triángulo SINS2, el radio CSI de la esfera tangente coincide con la normal terrestre en SI, y se dirige de este modo exteriormente al zenit de este punto. Además, el radio CP de esta esfera se considera dirigido al polo de rotación en la esfera celeste. Luego, y en razón a la infinita pequeñez de la Tierra, la distancia angular del polo celeste al zenit, que se observaría en S1 y designaremos por d´, es igual al ángulo SICP que el arco PSI subtende en el centro de la esfera tangente. A la verdad no es aquí conocido el ángulo d´ por observaciones astronómicas que se hubieran hecho precisamente en SI; mas dentro de un instante demostraremos que se puede con la suficiente aproximación deducirle de las hechas en la estación más boreal S (fig. 10), combinándolas con la longitud del arco medido entre S y SI según la dirección SSI del meridiano mismo. En su virtud podremos considerar como dado a d´, y suponerle representado por su valor abstracto expresado en partes del radio del círculo tomado como unidad de longitud. Entonces Rd´ expresará la longitud del arco homólogo PS1 sobre la esfera osculadora que consideramos. Representaremos este arco por D´ y expresaremos por II´ el arco PN, que es su proyección sobre el meridiano PMIS2. Acabamos por otra parte de determinar el arco perpendicular SIN que hemos llamado @´. Si pues con tales elementos se llega a determinar a PN, se tendrá por diferencia MIN igual a PSI-PN, que será la incógnita buscada.
53. Los tres arcos D´, II´, @´, forman sobre la esfera osculadora un triángulo esférico rectángulo en N. Si pues, como poco ha, se conciben tres verticales tiradas desde el mismo centro C a los puntos SI, N y al polo P, cortarán a la esfera, cuyo radio es 1, en tres puntos correspondientes que formarán sobre ella un triángulo esférico rectángulo, cuyos lados respectivamente homólogos a D´, H´, @´, designamos por d´, p´, d´. Llamando entonces siempre R al radio de nuestra esfera, se tendrá siempre por proporcionalidad
D´ = Rd´; II´ = Rp´; @´ = Rd´.
Si por la resolución del triángulo central se obtiene a p en función a´ y de d´ que son conocidos, se sacará por la eliminación los valores de II´ en función de D´ y de @´, cantidades cuya segunda está ya encontrada, y cuya primera se deduciría de d´ si se tuviera exacto conocimiento del radio R. Mas se va a ver que aquí, lo mismo que en el ejemplo precedente, la cantidad MIN o II´-D´ que tenemos sólo necesidad de evaluar, podrá deducirse de estos datos sin exigirse otra cosa que la estimación aproximada de este radio de que ya hemos hecho uso.
54. Ahora pues, suponiendo conocida a la hipotenusa del triángulo central, así como a d´, se tiene el primer caso de los triángulos esféricos rectángulos que Legendre considera en su Geometría. Luego designando también por p el ángulo polar NPSI común al triángulo central al terrestre, se tendrá
cos p´ = cos d´/cos d´ sen p = sen d´/sen d´.
Acabamos de reconocer que @´ es un arco terrestre de pocos grados de longitud; d´ será pues también un arco pequeño de la esfera central. Reprodúcese esta circunstancia en todas las operaciones de esta clase; porque, mientras lo permitan las localidades, se trata de tomar la estación extrema, así como las intermedias, poco distantes del meridiano primitivo, a fin de que se pueda con bastante aproximación suponerlas comprendidas sobre las esferas que son sucesivamente osculadoras a las diferentes partes de este meridiano. Siendo así siempre d´ un arco pequeño, p´ discrepa poco de d´; y éste es el motivo de que, en vez de buscar su valor absoluto por medio de su coseno, es preferible buscar el exceso de d´ sobre p´ que corresponde precisamente por proporcionalidad al arco MIN que se quiere conocer; y la pequeñez de permite obtenerle por una aproximación tan exacta como difícil para ponerlo en evidencia, hagamos
p´= d´-x;
x será el exceso buscado. Formando entonces a cos p´ por esta expresión, y sustituyéndole en la ecuación que daba su valor, ésta se convierte en
cos d´ cos x + sen d´ sen x = cos d´/cos d (1)
Ahora es preciso despejar la incógnita x que se encuentra a la vez envuelta bajo los signos de seno y de coseno, cuya circunstancia hay con mucha frecuencia ocasión de encontrar en las aplicaciones de la Astronomía. Esta operación conduce necesariamente a una ecuación de segundo grado en sen x o en tang I/2x, que se resuelve, ora con rigor extrayendo una raíz, ora aproximadamente por series susceptibles de alcanzar una exactitud indefinida. Omitiremos estos detalles; pero expondremos aquí un razonamiento aplicable a todos los casos de estas especies, y por el cual se obtienen sin trabajo los dos primeros términos del desarrollo de la incógnita x, lo que basta casi siempre en las evaluaciones que de ella quieren hacerse.
Fúndase este razonamiento en la prevista pequeñez del arco x, y por consiguiente de sen x, la que resulta de la del arco d´. Tiénese en general
cos x = (1-sen2x)I/2 = 1-I/2sen2x-I/8 sen4x...
cos x no se diferencia pues de la unidad sino por términos del orden del cuadrado y potencias superiores de sen x, los cuales son tanto más pequeños cuanto más elevado es el orden de su potencia. En su virtud se obtendrá una primera estimación aproximada de sen x, haciendo a cos x igual a la unidad en la ecuación (1). Practicando, pues, esta sustitución, y despejando a sen x, se tendrá primero
sen x = cos d´/sen d´(1-cos d´/cos d´) = 2 sen4I/2d´/tang d´ cos d´;
y por consecuencia en el mismo orden de aproximación,
cos x = 1- 2sen4 I/2 d´/tang2 d´ cos2 d´.
Entonces, si se sustituye este valor de cos x en lugar de la unidad en la ecuación (1), y se despeja de nuevo a sen x, se alcanzará una segunda evaluación más aproximada, que será
sen x = 2sen2I/2 d´/tang d´ cos d´+2sen4I/2 d´/tang2 d´ cos2 d´.
Circunscribiremos esta expresión a las cuartas potencias de sen I/2 d´, lo que será siempre más que suficiente para las aplicaciones, y aun explicaremos en el instante por qué la llevamos tan lejos. Entonces será preciso hacer a cos d´ igual a 1 en el denominador de su segundo término, que por su numerador es del orden de pequeñez a que quiere uno limitarse. Pero en el primer término, que es sólo del orden sen2 I/2 d´, se hará preciso desenvolver el factor 1/cosd´ en sen I/2 d´ del modo siguiente:
1/cos d´ = 1/1-2 sen2 I/2 d´ = 1+2 sen2 I/2 d+4 sen4 I/2 d´, etc.
Mas es preciso detenerse en los dos primeros términos, toda vez que aquel a que debe aplicarse el desarrollo como factor es ya del orden sen2 I/2d´. Así pues se tendrá por último
sen x = 2 sen2 I/2 d´/tang d´+4(1 1/2 tang2 d´) sen4I/2d´/tang d´.
Para volver del seno x al arco x se puede emplear la relación de igualdad entre ellos, porque la diferencia es del orden sen3x que correspondería a términos del orden sen6I/2 d´ que traspasarían los límites en nuestra presente aproximación. Por igual motivo pueden sustituirse sen 2I/2 d´ y sen2 4I/2 d´ con I/4 d´2 y I/I6 d´4. Se tendrá entonces
x = d´-p = I/2 d´2/tang d´+I/4 (1+1/2 tang2d´)d´4/tang d´
cabalmente como se la obtendría por las series generales desarrolladas al efecto, y limitándolas a los términos del mismo orden. Empero hemos hallado más arriba
d´ = a sen i-I/6a´3 sen i cos2 i;
sustituyendo a d´ por esta expresión, y deteniéndose en las cuartas potencias del arco a, se encuentra finalmente
d´-p´ = I/2 a2 sen2 i/tang d´+I/4(1-5/3cos2 i+=sen2/tang d´
para trasladar este resultado de la esfera central a la esfera osculadora, cuyo radio es R, es menester poner en lugar de los arcos a, d´, p´ sus expresiones equivalentes A/R, D´/R´ II´/R. El valor de D´-II´ obtenido de este modo expresará la longitud del arco terrestre M1N que queríamos valuar en la fig. 11. Es la distancia comprendida sobre el meridiano PS2 entre el paralelo de la estación L, y el arco SIN, tirado desde SI perpendicularmente a este mismo meridiano. Empero conviene dejar expresado a d´ por su valor angular bajo el signo tangente, porque se presenta bajo esta forma en el cálculo numérico. Después de esta eliminación, desaparece también uno de los factores 1/R como común a ambos miembros de la igualdad, y queda
MIN=D´-II´=I/2A2sen2 i/Rtang d´+I/4(1-5/3cos2 i+sen2 i/2tang2 d´) A4sen2 i/R3tang d´
Para la aplicación particular que aquí nos proponemos, el primer término de esta expresión dará una evaluación muy suficiente. Y aun se ha acostumbrado circunscribirse a él en las reducciones de esta clase que se presentan en todas las medidas de arcos de meridiano; pero no sería imposible que el segundo término se hiciese necesario, si la estación SI, desde donde se tira el arco perpendicular, estuviese más inmediata al polo, lo que daría a tang d´ un valor fraccionario que acrecería los términos en que entra como divisor, de modo que llegasen a aquellos que afectan a A4/R3. Pudieran también concebirse matemáticamente valores de d´, para que la serie que forma el desarrollo de sen x se hiciera divergente, siendo dado d´. Pero las medidas de arcos de meridiano no podrán nunca hacerse bastante cerca del polo para que llegue a verificarse este caso; y en las operaciones ordinarias siempre será fácil confirmar por nuestra fórmula, si el término en A4 es sensible o despreciable.
55. Para reducir a números el segundo miembro de esta fórmula, podemos, como en el cálculo del arco A´ o NS2, atribuir a R el valor de D(º) que nos sirvió entonces, y en que D(º) representa la longitud local del grado de meridiano determinada por nuestra primera aproximación, lo cual nos ha dado en pies ingleses,
log R = 7,3189636;
porque a la pequeñez de la relación A/R se junta además aquí la del factor sen2 i que multiplica a los términos que queremos apreciar. Mas también es preciso conocer el ángulo d´, que es la distancia del polo al zenit en la estación en que se ha trazado el arco @ perpendicular al meridiano remoto. Ahora pues, volviendo a la figura 11 en que esta estación se halla designada por SI, no se ha observado en ella el ángulo d´; pues se puede deducirle aquí con la suficiente aproximación de las observaciones hechas en la estación más boreal S (fig. 10), toda vez que se conoce la longitud del arco meridiano SSI que le enlaza con ella. Efectivamente esta longitud ha sido encontrada por una medición directa igual a 104988pies 4; pero es menester añadirle 2pies 2, parte proporcional del 10,pies 84 que deben aumentarse al arco total para reducir la medición a la temperatura de 16º,25, elevándose por esta razón aquélla a 104990,pies 6. Entonces su proporción con el grado local aproximado D(º) dará su valor angular igual a 1º 104990,6/363781,81 o 0º17´19´´, en que estará más distante del polo la estación SI, que la estación S. Luego siendo por observación 50º3´41´´ la distancia del polo al zenit en S, en SI será mayor esta cantidad, es decir, igual a 50º21´0´´. Tal será, pues, el valor de d´ en la expresión de D´-II´, o MIN. Es fácil comprobar por el cálculo aritmético que una leve incertidumbre en este elemento sólo tendría aquí una influencia insensible sobre la valuación de M1N a causa de la pequeñez de A y de sen i, lo que nos sustrae de la necesidad de conocer al radio R tan rigorosamente como es generalmente necesario para semejantes conversiones.
56. En su consecuencia, y en la aplicación particular que tenemos por objeto, los datos del cálculo serán
A = 43011,pies6 i = 3º43´30´´ d´ = 50º21´0´´;
y circunscribiéndose al primer término de la fórmula que es el solo sensible, se halla
MNI = 15,pies81.
Conocido MIN se le restará de NS2 o A´ que hemos calculado ahora poco, lo cual dará a MIS2. Entonces el total arco meridiano MMISI (fig. 10), comprendido entre los paralelos de las estaciones extremas, se obtendrá definitivamente como sigue:
| Arco meridiano comprendido
entre la estación S2 y la
intersección del círculo máximo trazado desde SI perpendicularmente al meridiano de S2 |
S2N = 433094,96pies |
| Reducción al paralelo de la estación SI, sustractiva | M2N = 15,81 |
| Parte del arco meridiano comprendido entre los paralelos de SI y S2 | S2M1 = 433079,15 |
| Primera parte del arco
meridiano, medido directamente desde S a SI, trasportada al meridiano de S2 |
MMI = 104988,40 |
| Longitud total del arco meridiano comprendido entre los paralelos de S y S2 | MS2 = 538067,55 |
| Corrección aditiva para reducir la medida a la temperatura de 16º,25 | 10,84 |
| Arco meridiano total valuado en pies ingleses a la temperatura centesimal de 16º,25 | 578016,39 |
Es el número que hemos mencionado por anticipación en el § 46. Combinándole con la amplitud celeste 1º28´45´´, comprendido entre las normales que le limitan, se deduce la longitud del grado D(º), igual a 363771,pies3 que hemos reducido 363771 en números redondos. La diferencia no tiene importancia alguna, siendo muy inferior a las incertidumbres que llevaba consigo la medición del arco total; y no hemos entrado tan minuciosamente en todos estos cálculos más que para presentar un ejemplo de las reducciones que tales operaciones exigen siempre, aun en un caso de medición directa.
57. Para completar la exposición de las particularidades que con él tienen relación, faltaría considerar la ecuación
sen p = sen d´/sen d´
la cual da el ángulo en el polo P, comprendido sobre la esfera tangente entre el meridiano de S2 y el meridiano de otra estación SI separado de aquél por arco de círculo máximo SIN o @´ que le es perpendicular. Más adelante explicaremos el uso general que de esta fórmula se hace para definir las posiciones relativas de los puntos de la superficie terrestre por coordenadas de esta especie @´ y p. En este momento que vemos únicamente hacer notar que, cuando se quiere sacar de semejante ecuación el valor del ángulo p en partes de la graduación del círculo por el uso de las Tablas de los senos, es preciso expresar los arcos d´ y d´ de la esfera central en partes de esta misma graduación, y no en las del radio de la misma. Aquí nos es dado ya d´ de este modo por las observaciones astronómicas transportadas de S a SI, y acabamos de encontrarle igual a 50º21´0´´. Para tener a d´ bajo la propia forma, es preciso considerar que ocupa sobre la esfera central el mismo arco de graduación que @´ sobre la esfera local cuyo radio es R. Ahora bien, se conoce respecto de ésta el arco D(º) que ocupa un grado de la graduación sexagesimal de uno de sus círculos máximos, y encontramos su longitud igual a 363771 pies ingleses. Teniendo pues también al arco @ expresado en la misma especie de unidades de longitud, y habiéndole encontrado igual a 28194,Pies718, su valor @(º)en partes del grado sexagesimal, será proporcionalmente
@(º) = 1.º28194,718/363771 = 0º,0775068 = 4´39´´,024;
será pues también el valor de d expresado bajo idéntica forma. Combinándole entonces con el de d´, y acabando el cálculo por las tablas de los senos, se encontrará
p = 6'1,´´359.
58. Aunque esta valuación del ángulo p no nos era particularmente necesaria aquí, hemos creído útil darla como un ejemplo numérico de estas conversiones cuya necesidad se reproduce con frecuencia. Para evitar las ambigüedades a que pudieran dar lugar, y que más de una vez han sido causa de errores de números, en adelante las caracterizaremos por el índice (º), afecto en forma de exponente al arco cualquiera a que se aplican; de manera que A(º) representará generalmente al arco A transformado en grados sexagesimales del círculo cualquiera a que corresponde. A esta regla no haremos excepción sino relativamente a la expresión D(º) con la cual continuaremos designando el arco que ocupa un grado de la graduación sexagésima sobre los círculos máximos de la esfera localmente osculadora a la superficie terrestre en el sentido del meridiano en cada lugar de la Tierra que se quisiere considerar. Si entonces A es también un arco de círculo máximo perteneciente a esta misma esfera, A/D(º) o A(º) será el valor angular del arco A expresado en partes de la misma graduación.
59. El cálculo del ángulo p que acabamos de exponer nos ofrece ocasión de justificar una particularidad que más arriba hemos anunciado, como que era, si no indispensable, utilísima de establecer en la distribución definitiva de los centros de nuestras esferas tangentes. Para considerarla en el orden de realidades a que se refiere, admitamos anticipadamente que la superficie general de la Tierra podrá, en cuanto ofrece de regular, representarse con toda la exactitud que es dado alcanzar por un elipsoide de revolución cuyo eje polar coincida con el de la esfera celeste, lo que se verá más lejos es el final resultado a que se llega. Acabamos de dirigir aquí el radio polar CP de nuestra esfera tangente hacia los polos celestes: luego será paralelo por esta condición al eje polar del elipsoide. Empero si el centro C de la esfera está colocado en cualquiera punto fuera de este mismo eje, el polo esférico P le será también exterior; y entonces los meridianos esféricos tirados desde este polo a los puntos SI, S2, se diferenciarán, como planos, de los meridianos elípticos tirados a estos mismos puntos. Cuando se haya calculado pues el ángulo polar p sobre la esfera tangente, como acabamos de hacerlo, será preciso para tener el ángulo análogo comprendido entre los meridianos elípticos aplicar a p reducciones dependientes del apartamiento de los polos de las dos superficies, reducciones que deberán variar con la posición absoluta de la esfera tangente que a la sazón se considere. Evítanse estas dificultades colocando todos los centros de las esferas tangentes sobre el eje mismo del elipsoide, lo cual hace coincidir físicamente con aquél a sus radios polares, puesto que se dirigen por otra parte como él a los polos de la esfera celeste situados sobre su prolongación rectilínea. Entonces los meridianos elípticos y los esféricos, tirados a los mismos puntos S1, S2 de la superficie terrestre, coinciden como planos, y comprenden así al mismo ángulo diedro p; de manera que este ángulo resulta conocido para el elipsoide, cuando ha sido determinado sobre la esfera tangente por el cálculo que acabamos de exponer. Esta distribución de los centros de todas las esferas locales sobre el eje polar del elipsoide presenta otras varias ventajas que es fácil adivinar, y tendremos ocasión de reconocer. Falta pues examinar si estas esferas, así definidas, pueden tener con la superficie del elipsoide contactos tan íntimos como prolongados para asimilarse sucesivamente a él con la suficiente precisión en una pequeña amplitud cónica de 1 ó 2 grados en torno de su punto de tangencia. Y esto es lo que confirmaremos con pruebas numéricas indudables.