Sea (fig. 4) MUM´ el círculo del ecuador; MM´ la proyección del plano del meridiano local sobre el plano del círculo máximo; OS la proyección del meridiano de la estrella o de su círculo horario, girando de Oriente a Occidente según el sentido indicado por la fecha exterior. US será la ascensión recta que llamaremos A; MS el arco del ecuador correspondiente al ángulo horario actual que se ha observado, y llamaremos P. Añadiendo estos dos arcos, se tendrá P + A = MU. Convertida esta suma en tiempo sideral dará pues la distancia de U al meridiano, o la hora sideral.

Aquí no hay circunferencia entera que omitir; habríala si la estrella estuviese del otro lado del meridiano, por ejemplo en S´. Entonces, contando siempre los ángulos horarios a empezar desde OM en el sentido del movimiento diurno, y de 0º hasta 360º se tendría MSM´S´=P´UMS´A´. Por consiguiente

P´ + A´= 360º-MS´ + UMS´;

y así restando 360º, el residuo sería

UMS´ + MS´ o MU

como anteriormente. La fórmula se aplicaría del mismo modo en todos los cuadrantes, lo que consiste en que los arcos que se combinan en ella siempre se cuentan continuamente en su sentido propio desde 0º hasta 360º. (N. del A.)

He aquí la fórmula que expresa esta relación y se obtiene siguiendo el procedimiento empleado por el autor

sen2 I/2 D´ = sen2 I/2(z´´-z´) + [sen2 I/2 D-sen2 I/2(z´´-z´+r´´-r´)] sen z´´ sen z´/sen(z´´+r´´) (sen z´+r´)

en la cual z y z´´ representan las distancias zenitales aparentes ZS´, ZS´´, y r´, r´´ sus respectivas refracciones. (N. del T.)

Como la relación 180/p se ha de presentar con frecuencia en las transformaciones que tendremos que efectuar, será útil establecer aquí su logaritmo y el de la relación inversa con más exactitud que se podría hacer con el auxilio de las tablas ordinarias: estos valores son:

log. (180/p) = 1,75812263241

log (p/180) = 2,24187736759.

Además para abreviar las expresiones algebraicas del radio en grados, y del grado en función del radio, haremos en adelante

w = 180/p lo cual dará R = w D(º) y D(º) = R/w

(N. del A.)

Aquí hemos podido indicar únicamente el principio general de la conmensuración sucesiva. Los pormenores varían según los aparatos de que se use. Hemos tomado principalmente por tipo aquellos que según las ideas de Borda fueron aplicados a la medida de las bases de la gran triangulación verificada en Francia por Machain y Delambre. Su exposición precisa se encontrará en la obra de este último titulada: Medida de la Meridiana, tomo II. Los procedimientos empleados en Inglaterra para una operación análoga han sido expuestos por el general Roy en las Transacciones filosóficas de la Sociedad real de Londres, y reunidos por el general Mudge en una obra titulada: An account of the operations carried on for accomplishing a trigonometrical Survey of England and Walles. 1 vol. Londres, 1799. (N. del A.)

Véase cómo deduce el autor la fórmula que aquí se menciona en una nota particular.

Partiendo de la expresión transformada del §. 61

sen2 1/2 A = sen2 1/2 a-sen2 1/2(z2-z1)/sen z1 sen z2

y poniendo en ella z1 = 90º+h1, z2 = 90º+h2, se tiene restando sen 21/2 a de ambos miembros

sen2 1/2 A-sen2 1/2 a = (1-cos h1 cos h2) sen2 1/2 (h2-h1)/cos h1 cos h2

cuya ecuación se reduce a

sen 1/2 (A+a) sen 1/2 /A-a) = sen2 1/2 a sen2 1/2 (h2+h1)-cos2 1/2 a sen2 1/2 (h2-h1)/cos h1 cos h2.

sustituyendo en vez de

sen2 1/2 A-sen2 1/2 a y de (1-cos h1 cos h2)

sus equivalentes

sen 1/2 (A+a) sen 1/2 (A-a) y sen2 1/2 (h2+h1)+sen2 1/2 (h2-h1).

Se ve entonces que el segundo miembro será una cantidad muy pequeña del orden del cuadrado de h2 y h1. Además, como se cuida siempre de que el ángulo a tenga una magnitud notable, sen 1/2 (A+a) no será nunca bastante pequeño para compensar como denominador la atenuación ocasionada por los factores sen2 1/2 (h2+h1), sen2 1/2 (h2-h1). Por lo tanto sen 1/2 (A-a), y en su consecuencia el arco A-a, será del mismo orden que ellos. En su virtud, si se consintiese en despreciar el cuadrado de A-a, podría suponerse A igual a a en el factor sen 1/2 (A+a), lo que le transformaría en sen a que es conocido, y se tendría por esta primera aproximación

sen 1/2 (A-a)=sen2 1/2 a sen2 1/2 (h2+h1)-cos2 1/2 a sen2 1/2 (h2-h1)/cos h1 sen a cos h2

y circunscribiéndose a estos términos, se deberá considerar al arco 1/2 (A-a) como proporcional a su seno. Luego si se quiere obtenerlo en segundos de grado, y se representa por R´´ la longitud del radio de círculo expresado del mismo modo, sen 1/2 (A-a) deberá sustituirse con 1/2 A-a/R´´, lo que en este orden de aproximación dará la fórmula (2) de que se trata en el texto.

El término que se añade a a en su segundo miembro se encontrará expresado así en segundos de grado; y en los límites de aproximación a que nos hemos circunscrito, se podrá al calcularle sustituir a cos h1, cos h2 por la unidad en su denominador, porque siendo las cantidades que completan estos cosenos del orden sen2 h1, sen2 h2, si se las concibiera transportadas por desarrollo de la expresión al numerador, formarían con los términos que le componen productos que hemos supuesto tácitamente despreciables, cuando nos hemos limitado a la primera potencia de sen 1/2 (A-a) en la expresión del arco 1/2 (A-a) en función de este seno.

Para justificar la pequeñez supuesta del arco 1/2 (A-a) a pesar de la presencia de R´´ como factor en el numerador de la cantidad que le expresa, es preciso considerar que admitiéndose las alturas aparentes h1, h2, como muy pequeñas en nuestra aproximación, los cuadrados sen2 1/2 (h2+h1) y sen2 1/2 (h2-h1) que están en el numerador, compensarán esta influencia. Con efecto suponiendo a los arcos h2, h1 expresados en segundos de grados como A-a, estos cuadrados serán del orden 1/4 (h2+h1)2/R´´2 y 1/4 (h2-h1)2/R´´2, lo cual restablecerá R´´ de divisor definitivo. Así, cuando se tomen en las tablas los logaritmos de estos senos, y se efectúe el cálculo con regularidad, siempre quedará establecida la compensación, ya se añada al resultado log R´´ o se recte de él log sen 1´´, lo que vendrá a ser lo mismo. La corrección que completa a a resultará siempre expresada en segundos de grado, y será siempre muy pequeña como lo hemos previsto por la naturaleza de la cuestión.

La fórmula (2) puede también resolverse en series, fundándose en la pequeñez reconocida del segundo miembro.

Para esto se hace

sen2 1/2 a sen2 1/2 (h2+h1)-cos2 1/2 a sen2 1/2 (h2-h1)/cos h1 cos h2 = c sen a

y se saca por las transformaciones convenientes

tang2 x+tang a/1-c tang a tang x = c tang a/1-c tang a.

Resolviendo esta ecuación, y tomando sólo aquélla de las dos raíces que da a x nula cuando c lo es, como nuestra ecuación primitiva no dividida, se encuentra

tang x = tang a/2(1-c tang a{-1+[1+4c(1-c tang a)/tang a]I/2}

Falta sólo desarrollar por series la parte radical del segundo miembro, lo que se consigue por la fórmula del binomio de Newton, y efectuando este desarrollo hasta la segunda potencia de c inclusive, lo que equivale a despreciar sólo las cantidades del orden tang3 x comparativamente con tang x, se obtiene en estos límites

tang x = c-c2/tang a

Ahora bien, en un círculo cuyo radio se toma por unidad, la expresión de un arco menor que 5º es en función de su tangente

x = tang x-1/3 tang3 x+1/5 tang5 x...

Así cuando se desprecia el cubo de tang x, como aquí, se reduce a la tangente misma; y si se representa entonces por R´´ el radio expresado en segundos, y se supone al arco x expresado del mismo modo, resultará

x = c R´´-c2 R´´/tang a

y restituyendo por x su valor, se tendrá por fin

A = a+2cR´´-2c2 R´´/tang a

cuya expresión coincide en su primer término con la que habíamos encontrado. (N. del T.)

He aquí cómo se obtiene el valor de R´´ y dos de log R´´ por el autor en una nota especial.

Sea p la relación de la circunferencia con el diámetro, C la circunferencia de un círculo cuyo radio, expresado en la misma unidad de longitud sea R, y se tendrá evidentemente

2pR = C y R = 1/2 C/p.

Tomemos por unidad de longitud el arco que subtende en el centro del círculo un ángulo igual a un segundo de grado sexagesimal. La circunferencia 1/2 C comprenderá 180º; y el total número de estos arcos de que se compone su contorno será 180. 60. 60 ó 6480900´´. Sustituyendo pues por 1/2 C este valor, R se encontrará expresado en la misma especie de unidades, y será

R´´ = 648000/p

El número p ha sido calculado, como se sabe, con mucha paciencia por muchos matemáticos, cuyos resultados se han comprobado mutuamente. Wega en sus Tablas logarítmicas le da hasta con 140 decimales, y su resultado ha sido mencionado por Delambre en el prefacio de las Tablas de Borda. Limitándose a 20 decimales, se tiene

p = 3,14159265358979323846 y log p = 0,49714987269413385435.

El número 648000 dividido por p da a R´´; y para encontrar ahora su logaritmo tabular, tómense con el mismo orden de decimales los logaritmos de los dos términos de la fracción que la expresa, y se tendrá por sustracción

log R´´ = 5,3144251331764548047.

(N. del T.)

Estas fórmulas son las mismas que hemos considerado en la nota del §. 51, las cuales para un arco cuya longitud absoluta sea A son, limitándose siempre a los dos primeros términos, y en el concepto también de que el mismo no pase de 2º

sen A = A-1/6 A3/R2, tang A = A+1/3 A3/R2

A = sen A+1/6 sen3 A/R2 A = tang A-1/3 tang3 A/R2

en que se ha restablecido el radio R del círculo, expresado en la misma especie de longitud que el arco A por la proporcionalidad de las líneas homólogas en las figuras semejantes.

Tomando ahora los logaritmos de dichas expresiones, se tiene del mismo modo

log sen A = log A-k/6 A2/R2, log tang A = log A+k/3 A2/R2

log A = log sen A+k/6 sen2 A/R2, log A = log tang A- k/3 tang2 A/R2.

En estas expresiones, y circunscribiéndose a diez decimales, se pone k igual a 0,4342944819, y log K igual a 1,6377843113. K es lo que se llama módulo de las Tablas logarítmicas, o sea el número por el cual es preciso multiplicar a los logaritmos hiperbólicos para convertirlos en los de las Tablas comunes. Este módulo se denomina especialmente por el autor directo, en contraposición a 1/h, o sea el número por el cual se debería dividir para hacer igual conversión, y que designa con el nombre de inverso. (N. del T.)

Pertenece al sistema de los mínimos radios osculadores de la superficie terrestre, y las anteriores al sistema de los máximos. Véase esta distinción en el § 38. (N. del A.)

El autor indica aquí otro método para llegar a resultados análogos, y con igual grado de precisión, valiéndose de un teorema de Legendre. Vamos a dar una idea de él.

Como los ángulos A, A1, A2 de un triángulo esférico rigoroso son diedros y están medidos en el centro de la esfera por los arcos de círculos máximos interceptados entre los planos diametrales que los limitan, se puede expresarlos por estos mismos arcos a que son proporcionales, independientemente de toda división de la circunferencia; y la expresión del ángulo recto será un cuadrante que llamaremos D. Ahora, sea S la superficie curva del triángulo esférico que se considera y S la total de la esfera, expresadas en las mismas unidades: se tendrá la siguiente relación demostrada por Legendre

A+AI+A2-2D/8D = s/S.

Mientras más pequeña sea s comparativamente con S, más decrecerán los dos miembros de esta ecuación. Si se supone por último que la relación s/S sea insensible, lo que identificaría al triángulo esférico con uno rectilíneo que estuviese comprendido en un elemento superficial infinitamente pequeño del plano tangente a la esfera, el numerador del primer miembro debe serlo también comparativamente con su denominador. Luego en este postrer límite la suma de los tres ángulos del triángulo es igual a dos rectas.

Siendo ahora R el radio de la esfera expresado en igual unidad de longitud que se emplea para la medida de s y de los arcos A, A1, A2, D, y poniendo por S su valor 8DR, mediante a que la superficie de la esfera es cuádrupla de la de uno de sus círculos máximos, expresada aquí por 2DR, resultará

A+A1+A2-2D = s/R.

En derredor del centro C descríbase una esfera concéntrica con la primera, y con un radio igual a la unidad de longitud, y señálense sobre su superficie los tres puntos en que la atraviesan los radios R encaminados a los vértices A, A1, A2. Estas intersecciones formarán en la esfera del radio 1 un triángulo esférico semejante al primero; y con los mismos ángulos diedros. Expresemos estos ángulos por los arcos de círculos máximos a, a1, a2 comprendidos sobre la nueva esfera entre los planos que los limitan, concibiéndolos representados en partes del radio 1; y en virtud de la proporcionalidad de las líneas homólogas, y llamando d al arco de esta misma esfera subtendido por el ángulo recto, tendremos

a+a1+a2-2d = s/R2.

Para expresar a las cantidades abstractas a, a1, a2, d en partes de la graduación numérica del círculo, por ejemplo, en segundos sexagesimales, habrá que convertir el radio 1 en esta especie de unidades, lo que le cambiará en aquel que se ha llamado R´´, y multiplicando a ambos miembros de la igualdad por este factor, resultará

a R´´+a1R´´+a2 R´´-2dR´´=s/R2 R´´.

Los cuatro términos primeros son los valores de los arcos respectivos a, a1, 2d expresados en segundos, lo que transforma al último en 2.90.3600´´ o 180.º Los designaremos respectivamente por a´´, a1´´, a2´´ y d´´, lo que dará

a´´+a1´´+a2-2d´´ = s/R2 R´´.

El primer miembro de estas dos últimas igualdades es lo que se llama el exceso esférico del triángulo de esta especie que se considera. Designando a éste por e en la primera forma y por e´´ en la segunda, obtendremos

e = s/R2, e´´ = s/R2 R´´.

La evaluación directa de e requiere en su consecuencia el conocimiento del radio R; pero el rigor de cálculo de este elemento será tanto menos importante, cuanto menor resulte s con relación a R2, es decir, mientras más pequeña sea la extensión superficial del triángulo considerado comparativamente con la de la esfera sobre que se halla establecido.

Esto supuesto, si se considera un triángulo esférico cualquiera cuyos ángulos sean A, A1, A2, y C, C1, C2 los lados opuestos, se tendrá

sen C1 = sen C sen A1/sen A, sen C2 = sen C sen A2/sen A

Formando con los mismos lados C, C1, C2, extendidos en línea recta un triángulo plano (fig. 17) en que A´, A´1, A2´, designen los ángulos que respectivamente se les opongan resultará

C1 = C sen A´1/sen A´ C2 = C sen A´2/sen A

Pudiera pues resolvérsele inmediatamente por medio de las Tablas de los senos, suponiendo que sus ángulos fuesen conocidos con el lado C. Es evidente por otra parte que estos últimos deben diferenciarse de sus correspondientes en el triángulo curvilíneo; pero también es fácil de preveer que se aproximarán a medida que sea menor la superficie del triángulo esférico comparativamente con la de la esfera, toda vez que la suma de los de este último debe concordar con los primeros en formar dos ángulos rectos exactos en el postrero límite de pequeñez en que se haría insensible esta relación de superficie. Su diferencia debe pues poderse desenvolver en una serie convergente formada con los elementos decrecientes de esta relación, es decir, ordenada según las potencias de C/R, C1/R, C2/R, siendo R el radio de la esfera en que está trazado.

Hecho este cálculo, y expresando los ángulos por los arcos que los miden sobre una esfera cuyo radio fuese igual a la unidad de longitud, se encuentra en efecto, si se circunscriben los desarrollos a su primer término con lo que se omiten sólo aquellos que tienen por divisor a R4 o a potencias superiores de R

A´ = A-1/3 s´/R2, A´1 = A1-1/3 s´/R2, A´2 = A2-1/3 s´/R2

siendo s la superficie del triángulo esférico expresada en las mismas unidades de superficie que R2. Si s no es dada, sino que se conoce la superficie del triángulo rectilíneo que llamaremos s´, se podrá sustituirla a s conservando el mismo orden de aproximación, y se tendrá también

A´ = A-1/3 s´/R2, A´1 = A1-1/3 s´/R2, A´2 = A2-1/3 s´/R2

s/R2 expresa el exceso esférico del triángulo curvilíneo, cuando se toman los arcos que miden a sus ángulos diedros sobre círculos máximos de una esfera cuyo radio es 1, y se les supone expresados en partes de este radio. Pero si se quiere expresarlos en partes de la graduación del círculo, tendrán lugar las mismas relaciones asociándolas al exceso esférico e expresado del mismo modo, lo que se consigue sustituyendo en vez de s/R2 o s´/R2 s/R2 R´´ o s´/R2 R.

Veamos ahora hasta qué punto la evaluación del exceso esférico e´´ expresado en segundos de grado, quedaría afectada por las leves incertidumbres en que pudiera estarse acerca del valor preciso del radio R.

Para ellos empleemos los mismos radios que han servido en la prueba que se menciona en el texto; sólo que, para distinguirlos entre sí, llamaremos R1 al de la esfera osculadora polar, R2 al de la esfera osculadora ecuatorial que se usan en las reducciones geodésicas, designando por R3 aquel que fue dado por la operación de Pensilvania, como osculador según el mismo meridiano en el lugar en que se hizo esta operación. Supongamos entonces que para cierto triángulo ideal, cuyos lados fueran aproximadamente conocidos, el exceso esférico e´´ hubiese sido encontrado igual a 40´´, tomando por denominador el radio R1. Si este mismo exceso se calculase tomando por denominador al radio R2 o al radio R3, se le encontraría igual respectivamente a y e´´R12/R22 y e´´R12/R32; y como en virtud de las expresiones de los logaritmos de estos tres radios expresados en toesas, se tiene

R12/R22 = 1,00639, R12/R32 = 1,01408

multiplicando estas relaciones por 40´´, valor del exceso esférico cuando se le calcula sobre la esfera del radio R1, se tendría para él en el segundo supuesto 40´´, 2556, y en el tercero 40´´, 5652 en vez de 40´´ cabales. Asi en la repartición del exceso por terceras partes entre los tres ángulos esféricos del triángulo que se considera para convertirlo en rectilíneo, el error posible sobre cada ángulo reducido sería el tercio de estas cantidades, 0´´,085 en el primer caso y 0´´,188 en el segundo; las cuales son apenas apreciables en las observaciones más precisas; y en el estado actual da la Geodesia, no se hallarán nunca tan grandes, porque se conocen con harta aproximación los radios de las esferas osculadoras locales en virtud de las operaciones ya hechas para atribuirles valores tan diferentes de los que en cada caso les convienen. Estos resultados han sido resumidos así por Legendre.

1.º «Dado un triángulo esférico cuya superficie es muy pequeña comparativamente con la superficie total de la esfera sobre que se halla establecido, como son los triángulos geodésicos formados localmente sobre el esferoide terrestre; si los ángulos diedros de este triángulo son A, A1, A2, y C, C1, C2 las longitudes de los lados respectivamente opuestos, fórmese un triángulo plano A´, A´1, A2 cuyos lados respectivos sean iguales a C, C1, C2 y sus ángulos respectivamente opuestos tengan por valores

A´ = A-1/3 e, A´1 = A1-1/3 e, A´2 = A2-1/3e

»Todas las relaciones que la trigonometría establezca entre los lados C,C1,C2 de este triángulo ideal tendrán también lugar entre lo mismos del triángulo esférico, despreciando sólo términos de orden 1/R4 y los de órdenes superiores.

2.º »Si los tres ángulos A, A1, A2, son dados en partes de la graduación del círculo, o bajo cualquiera otra forma convenida, se podrá calcular fácilmente el valor de e, bajo la misma forma, puesto que es igual al exceso de su suma sobre dos ángulos rectos. También se podrá calcularle sin tener estos ángulos, si se conoce la superficie s del triángulo esférico que se considera, toda vez que bastará dividirla por el cuadrado del radio R de la esfera, expresado en unidades de superficie de la misma especie que s. Por último, si no se conoce la superficie exacta s del triángulo esférico, se podrá sustituirla en el mismo orden de aproximación con la s´ de este mismo triángulo considerado como rectilíneo, y formado por los lados C, C1, C2, combinados con los de los ángulos esféricos A, A1, A2, que sean dados. La relación s´/R2 dará el exceso desconocido e o e´´ del triángulo esférico en los límites de aproximación del mismo orden que si se hubiera podido calcularle directamente por los elementos mismos de este triángulo, combinados según sus relaciones trigonométricas rigorosas.»

Por medio de estos principios los triángulos geodésicos, aunque tienen sus lados curvos, se resuelven inmediatamente por las Tablas logarítmicas ordinarias de números, senos y tangentes, como si dichos lados fueran rectilíneos. Se usan pues inmediatamente en el cálculo sus longitudes absolutas, tales como son dadas por la medición, sin necesitar de dividirlas primero por el radio R para reducirlas a partes de este radio, y multiplicarla después por R´´ para convertirlas en partes de la graduación del círculo, como suponen expresados a los arcos las Tablas ordinarias. El conocimiento del radio R no es indispensable más que para calcular teóricamente el exceso esférico del triángulo en virtud de la relación de su superficie con la de la esfera cuando sus ángulos diedros A, A1 A2, no han sido determinados todos tres por la observación, y su uso es análogo al que tiene para el cálculo de los términos correctivos en la resolución de los mismos triángulos por los desarrollos ya expuestos. Por esto no es necesario conocerle más que con una aproximación de un orden análogo. (N. del A.)

Para evitar toda mala inteligencia, creo deber advertir que en esta fig. 18, lo mismo que en todas las siguientes, las letras S,S1S2... no designan ya las estaciones mismas en que se han medido los ángulos diedros, sino los puntos en que cada esfera osculadora es atravesada por las secantes tiradas desde su centro a estas estaciones. (N. del A.)