Sobre el concepto y división de la Matemática
- I -
La Ciencia matemática se ocupa de la cantidad en general, así como también de cada especie de cantidades, en cuanto son tales. Esta ciencia conduce al arte de determinar o medir toda clase de magnitudes, siempre que sean comparables; y tal es la razón de que alguna vez se la haya definido como arte de medir, siendo así que este arte es sólo un resultado de aquella ciencia, y no su objeto propio. La cantidad se define generalmente como la propiedad en virtud de la que una cosa es susceptible de aumento o disminución; pero esta definición no es clara, ni completa, ni esencial: no puede, por tanto, ser satisfactoria, ni la Matemática, ciencia de las ciencias en cuanto a evidencia tomar en ella apoyo y fundamento. De aquí el que deban en primer término examinarse las siguientes cuestiones:
¿Es propiedad de todo lo que puede pensarse, de todo ser, la cantidad? -¿Por qué y en cuanto les conviene esta propiedad?
¿Qué se entiende propiamente por espacio y tiempo; o mejor, qué son espacio y tiempo, por cuya realidad existe la cantidad, y por cuyo conocimiento puede llegarse al conocimiento de ésta? ¿Por qué y hasta qué punto está el mundo en el tiempo y el espacio? -¿Son, pues, infinitos, así el espacio como el tiempo, según generalmente se supone en la Matemática?
¿Cuál es la relación de la Matemática con la Filosofía? -¿Es ésta la primera parte de aquélla o al contrario -o son independientes por completo una de otra»? -¿Cuál es especialmente la relación de la Matemática con la Filosofía de la Naturaleza? -¿Por qué procede ésta según ley aritmético-geométrica (49), tanto en sus formaciones estáticas como en las funciones vitales de sus seres? (50) -¿No es la Naturaleza una vida armónica de números y relaciones? -¿No imprime en las sorprendentes cristalizaciones de los cuerpos inorgánicos las formas más regulares entre las terminadas por superficies planas y líneas rectas; así como, en la belleza de los cuerpos orgánicos, presenta, las figuras infinitamente simétricas de la Geometría de las superficies y líneas curvas?
¿No ofrece, pues, la Geometría de la Naturaleza el ideal morfológico que ésta aspira eternamente a realizar en sí con admirable armonía?
¿Cuál es la primera, más perfecta y más completa enunciación del objeto común a las distintas partes de la Ciencia matemática? -¿De que modo se puede resolver esta cuestión, y cuál es su verdadera prueba y método?
¿Cuáles son, además las partes integrantes de esta ciencia, o las particulares ciencias matemáticas que la constituyen? -¿Cuál es la más exacta expresión del objeto de cada una de ellas? -¿Cuál es el método propio de cada una: en qué orden se encadenan y cómo se hallan enlazadas y subordinadas? -¿Son quizá la Aritmética, la Geometría y la Dinámica (ciencia de la fuerza) todas estas ciencias, o sólo pertenecen la Aritmética y la Geometría a las Matemáticas como ciencia, por ser toda ciencia, en concepto de tal, independiente de la experiencia individual en el tiempo?
Se han separado las Matemáticas puras, es decir, la Matemática como ciencia, de la Matemática aplicada, esto es de la aplicación de estas ciencias a la experiencia exterior: y con fundada razón, en cuanto esta aplicación a la experiencia requiere una investigación especial. Pero, ¿no quedan las Matemáticas igualmente puras o idénticas, cuando se aplican a la experiencia? -¿Y no se debería, por tanto, abandonar esa calificación, y tratar solamente de matemática en general, como se habla de Filosofía en general, puesto que, evidentemente toda ciencia matemática, corno cualquiera otra ciencia, es pura, ideal, racional?
Se sabe que las Matemáticas, según hoy se exponen, se fundan en proposiciones que no se demuestran: antes, por el contrario, se suponen indemostrables, como principios de toda evidencia matemática en cualquiera especial cuestión. Estas proposiciones se llaman axiomas, y las primeras
verdades que en ellos se fundan, postulados. Tales son: que el espacio y el tiempo por ejemplo la línea recta, la serie de los números enteros, son en sí infinitos e incomensurables, etc. Pero esas proposiciones ¿no necesitan de una prueba superior, o lo que es lo mismo, no pueden y deben convertirse estos axiomas en teoremas o proposiciones científicas? ¿Debiera al menos dejarse un solo axioma para todas las Matemáticas, o no son estas proposiciones susceptibles de una prueba más alta, por más que necesiten de un axioma?
Sólo aquel que se halla en estado de responder a estas cuestiones y otras análogas, debiera ser tenido por matemático, no en el sentido vulgar de la palabra, sino en el verdadero y propio. Sólo en estas consideraciones pudiera ser conocido el verdadero y permanente fundamento en que la Matemática, corno verdadera ciencia, puede y debe apoyarse.
- II -
¿Qué es Ciencia? -Dos grados de conocimiento. -Fuentes del modo común de conocer. -Ninguna idea nace de la intuición sensible. -El conocimiento común debe conocer con viva claridad (ser evidente) y hacerse conscio del carácter ideal de los conceptos. -Lo mismo se exige al modo común del conocimiento matemático. -Pero hay además otro modo superior de completar el conocimiento. -Su descripción: es el filosófico. -También las Matemáticas pueden y deben tener este complemento. -Tres elementos, por consiguiente, debe contener el verdadero conocimiento matemático.
¿Cuál es propiamente la naturaleza de la ciencia o del completo saber? Para responder a esto, es preciso notar la doble naturaleza del verdadero saber y los dos grados del conocimiento: éstos sólo están separados en el saber imperfecto, pues en el verdadero saber están sin separación: es decir, que en él se sabe a un tiempo, no sólo que una cosa es, sino por qué es así El primer grado del conocimiento, que el conocimiento y certeza común (en cuanto son considerados exclusiva o principalmente) nos permite conocer que algo (x) es y que es del modo que es; a este conocimiento, corresponde la evidencia o certeza. El segundo grado del conocimiento está indicado por la respuesta a la cuestión de por qué es x, y es del modo que es: y este por qué señala propiamente la cuestión de cómo x resulta ser parte necesaria de una esfera superior, y debe ser precisamente tal como se encontró antes con evidencia por conocimiento común. Si señalamos todavía más determinadamente los caracteres de estos dos modos de conocer, veremos al mismo tiempo que ambos están enlazados inseparable mente en el verdadero conocimiento, y que armónicamente se compenetran.
El modo común de conocer alcanza su evidencia inmediata, esto es, la certeza de que x es realmente, por la intuición viva y determinada que se forma en virtud de una reflexión consecuente y sistemática. Ahora bien, x (es decir, todo objeto de conocimiento,) o es una cosa particular entre las finitas individualidades, tanto de lo sensible del mundo corpóreo, como de lo individual del mundo del espíritu, a (por ejemplo, mis distintos pensamientos, corno tales), tanto del mundo llamado comúnmente exterior, cuanto del interior corpóreo de la fantasía; o x es un todo ideal, un concepto, que puede pensarse a su vez, ya como meramente común a varios particulares, ya como tal concepto en su unidad ideal. Toda cosa individual, absolutamente determinada, del mundo corpóreo, es conocida en los sentidos; así, por ejemplo, un árbol determinado que está delante de nosotros, por los sentidos del cuerpo; un árbol determinado que soñamos, por nuestro sentido interior: es decir, que no cabe conocimiento alguno de una cosa individual, sin su intuición sensible, completamente determinada, y sin la reflexión activa sobre ésta.
No hay duda de que cuanto se representa en los sentidos y es pensado conforme a esta representación, es realmente, y es tal como es pensado. Pero si lo que está en el primer grado del conocimiento es un todo ideal, no puede como tal ser conocido por los sentidos, pues los sentidos dan siempre cosas infinitamente determinadas, particulares, individuales, en las cuales está ciertamente contenido lo general; pero como tal, debe ser conocido por el acto de la comparación, imposible para los sentidos. Un concepto, pues, aun cuando aparezca, no como idea pura, sino como una totalidad de lo que es común a muchas cosas, no se forma, como tal, por mero conocimiento sensible; sino que va acompañado necesariamente, según cualquiera puede ver, de determinadas intuiciones sensibles, y no puede pensarse sin ellas. Así, por ejemplo, para pensar el animal, en general, es decir, el concepto de animal, es preciso representarse por intuición interior sensible un animal, aunque no completamente formado; esto es, se debe conocer lo general del animal en una imagen o esquema, que contiene, además de lo general, más o menos particularidades: si se ve luego este concepto unido con la intuición sensible, se puede ya afirmar que es efectivamente real y exterior, puesto que se ven individuos que en su última concreción llevan en sí lo general de aquel concepto. Así también, para pensar el concepto de ser racional, es preciso considerar un ser racional determinado con determinada acción y vida, y en este ser particular conocer lo general de su concepto. Si llegamos a hacernos conscios del concepto de ser racional, o de hombre, en la infinitud o idealidad de este concepto, como idea; es decir, si llegamos a conocer al hombre tal como es, en el ideal, según su infinita determinación, este conocimiento jamás puede nacer de la intuición sensible de hombre alguno, pues sabemos que un individuo nunca realiza enteramente el ideal; sin embargo, debemos por el pensamiento de ese ideal, representarnos un hombre determinado en la fantasía, en el cual nunca se da completamente lo que está en aquel ideal; pero que contemplamos como esquema de nuestra concepción. Aunque comprendamos, por ejemplo, este concepto ideal del hombre con absoluta certeza, tal como esta certeza nos obliga en conciencia, conoceremos este ideal sólo con conocimiento común, mientras no podamos afirmar, sino que «así es, así lo hallamos, tan verdad como que somos y vivimos.»
Antes de mostrar cómo se eleva a un grado superior en el verdadero conocer esta intuición y vista de la idea, debemos notar que, ni aun lo individual sensible (v. g., que este árbol x se halla realmente delante de nosotros) puede ser conocido, si la intuición de los sentidos y la reflexión sobre ella no van acompañadas de la intuición suprasensible de los conceptos. Resulta. de aquí también que nunca puede decirse que se conoce algo (ni aun por conocimiento común), si en ese conocimiento no están inseparablemente unidos el concepto y la intuición sensible que a este acompaña, ya sea para llegar por ese conocimiento inmediatamente al de lo individual, como en la vida común acontece, ya al conocimiento del concepto mismo como en las especulaciones racionales. Este grado del conocimiento está expresado del modo más completo en el conocimiento común matemático (lo que debe tenerse en cuenta). Pues, de un lado, están en él trazadas interior o exteriormente (producidas mediante legítima reflexión, y cada vez más y más determinadas) las más completas, precisas y, en su género, perfectas intuiciones sensibles esquemáticas; mientras que, de otro lado, estos esquemas se contienen en los conceptos más determinalos y completos también, para cuyo conocimiento se debe precisamente considerar el concepto en su adecuada imagen esquemática, y ver de esta suerte unidos, lo general (el concepto) y lo particular (su imagen individual). El conocimiento común matemático conserva, sin embargo, su valor y dignidad científicos, pues todos sus conceptos son (o deben ser al menos), considerados como ideas, tales como son en sí; nunca el esquema es el concepto tal como éste es en sí, sino sólo como se realiza (incompletamente) en lo particular. Por ejemplo, nadie ha visto la línea recta, ni el círculo, ni la esfera, en su perfección, con vista sensible: pues la línea esquemática es un cuerpo y no una línea, y menos línea absolutamente recta. El matemático habla por consiguiente siempre del ideal, no primeramente en su individualización, sino como es en sí mismo: sus afirmaciones sólo se aplican completamente al ideal; y al esquema sólo en cuanto se acerca a este. Mas aún, cuando el ideal no puede expresarse convenientemente como tal en la imagen sensible, no debe por esto la especulación matemática, como ninguna clase de conocimientos, privarse de representaciones de este género, ni lo puede: de lo que se convencerá cualquiera que lo intente.
Esta interior perfección, que aparece en las obras del verdadero espíritu matemático es la que ha hecho recomendable su estudio en todo tiempo, en parte por ellas mismas, y en parte también para la educación de la fantasía, de la reflexión y de la precisión del pensamiento. Una Matemática que no reúne en sí estas cualidades, o que no las reúne por completo, no está en sazón, ni satisface al modo común de conocer, ora sea porque abandone la idealidad, ora porque abandone la contemplación esquemática.
Si con lo que antecede queda en general caracterizado el modo superior del conocimiento, veremos con evidencia que las Matemáticas, como tolas las ciencias, son susceptibles de alcanzar ese modo superior, en el que se abraza y confirma perfectamente el mismo modo común.
Con el conocimiento de que algo es y cómo es, está siempre enlazada la cuestión de por qué es, y es tal como es; o sea de cómo x pasa, por su necesario enlace con otro término, a una esfera superior común, y cómo debe ser precisamente tal cual es dentro de ese todo y por razón de él. Esta cuestión entraña el más alto problema respecto del fundamento por el cual todo lo que es constituye la suprema y absoluta esfera (la realidad); y por consiguiente, también la razón de por qué es x: es decir, no por qué x ha llegado a ser en el tiempo, sino por que se contiene eternamente en esta suprema unidad absoluta. Sólo puede responderse a esta cuestión cuando, en vista de la suprema unidad del universo absoluto, y en esta unidad, se conoce a x como una unidad necesariamente subordinada al todo. Dedúcese de aquí que la forma del verdadero conocimiento no debe ser esta: «x no puede ser sin y; luego y es; pero y, a su vez, no puede ser sin z o, luego z es también,» y así indefinidamente (donde x es una cosa finita y no la suprema unidad): n tampoco ésta: «y, la unidad absoluta infinita, es; pero no puede ser sin que z nazca de ella y se le oponga como puesta fuera de ella;» y así hasta lo infinito. Por el contrario, la forma absoluta del verdadero conocimiento es la siguiente: en la unidad absoluta A, están contenidas, como ella misma, las unidades subordinadas (no disgregadas, sino incluidas dentro de ella) B, C, D... y la armonía de la unidad superior, la suprema, infinita, absoluta, unidad misma. Ahora bien, siendo el axioma supremo de toda ciencia y vida que todo es en el todo y mediante la naturaleza de éste, no puede esto mismo ser verdaderamente conocido en su realidad en el primer grado del conocimiento, sin que sea a la vez considerado como parte orgánica en el todo, en el absoluto; de donde se deduce clarame nte que sólo en el supremo conocimiento puede completarse ese grado ínfimo. Sólo hay un axioma. por tanto; una sola cosa cierta por sí, a saber: la absoluta e infinita armonía del universo. Si el conocimiento superior es la Filosofía, se sigue también, que, pues sólo hay un mundo, sólo hay una ciencia del mundo (Filosofía), que, partiendo de lo absoluto como supremo y único axioma y principio, o mejor, considerándolo todo dentro de este principio, todo lo conoce como es en sí, en cuanto parte orgánica del universo y semejante a él.
Además, resulta que todo lo que ha de conocerse con verdad (y por tanto las Matemáticas) ha de serlo filosóficamente, esto es, en lo absoluto, como parte de la Filosofía una: y también que ninguna ciencia particular puede tener un axioma que no deba probarse en la Filosofía misma y convertirse así en teorema; sino que antes bien, dicha ciencia debe proceder toda de un principio axiomático para ella en su esfera, pero que debe probarse en la Filosofía y referirse a un principio verdadero y probado; y este a su vez, a un primer principio, en virtud de la naturaleza orgánica de la ciencia particular, naturaleza de que participa su objeto, pues toda esfera del universo lleva en sí el carácter orgánico del todo. Debe, pues, en el verdadero conocimiento, conocerse y describirse el objeto en la idea del todo absoluto, y cada esfera particular en su idea, tal como ésta se da en la idea primera del universo. El todo en sí, es en razón antes que la parte; y la parte es, a su vez, de la misma naturaleza que el todo: es decir, que el verdadero conocimiento es, como el mundo mismo, altamente orgánico, armónico, sistemático y uno.
Para considerar ahora cómo la Matemática debe conocerse filosóficamente, nótese que todo lo que, en cuanto inmensurable, escapa a la construcción sensible, supone ya como indemostrado, cuando termina todas sus pruebas de esta manera «y así sucesivamente hasta el infinito,» que ulteriormente se añade la completa convicción, deducida de la naturaleza de lo inmensurable. -La Geometría, por ejemplo, debe afirmar como axioma que el espacio, en cuanto a extensión, considerado puramente como espacio, es infinito, inmenso: que, por tanto, una recta puede prolongarse o acortarse infinitamente; que el espacio es divisible hasta lo infinito, etc.: sin cuyas suposiciones, carecen de fuerza todas sus pruebas por construcción sensible.
Cuando en la Aritmética se afirma que la serie de los números enteros es infinita, no puede probarse esta verdad en ella; sino que se encuentra contenida en su hipótesis primera de que toda cantidad continua es en sí inmensurable por cualquiera de sus unidades. Por último, cuando se trata en la Aritmética de relaciones infinitas (incomensurables), no puede esta ciencia fundar su realidad y naturaleza en manera alguna, ni puede cerrarse la demostración pretendida con un «y así sucesivamente hasta el infinito», pues precisamente aquí está la cuestión. Todas estas suposiciones deben y pueden ser conocidas filosóficamente, esto es, en lo absoluto: por ejemplo, que el espacio es el límite infinito o forma de una de las esferas del universo (la Naturaleza); que y por qué el espacio en su finitud debe ser, sin embargo, infinito; que esto mismo es aplicable al tiempo; cuál es el principio eterno de la cantidad; qué sea esta, etc.; que la cantidad determinada, en relación, debe ser finita o infinita (esto último, a saber, en relaciones incomensurables). Todo lo cual, en su necesidad, sólo es conocido por la Filosofía; y debe serlo, si a la evidencia de las Matemáticas en determinadas construcciones, se ha de añadir la verdadera evidencia del todo en lo infinito y absoluto; o más bien, si la evidencia propiamente dicha ha de formarse en su plenitud mediante la naturaleza verdaderamente filosófica de la especulación: si las construcciones matemáticas han de tener un sentido verdaderamente especulativo y bello.
Sólo así se resolverán satisfactoriamente las cuestiones antes propuestas con una contestación; las formas de la Matemática cesarán de ser nudas formas, y aparecerán en su esencial relación a su esencia y en su interna necesidad en el universo: así, por ejemplo, la verdadera significación de la línea curva, únicamente se aclarará por medio de la consideración filosófica.
Tres cosas se exigen, pues, indivisible mente para la verdadera ciencia matemática, que constituyen en realidad una misma:
A. Relación e intuición orgánica de lo construido en el universo absoluto;
B. Intuición clara de la determinada idea por construir; acompañada de
C. Intuición esquemática distinta, clara y adecuada a la idea.
O bien, la construcción de las Matemáticas debe ser filosófica, ideal y esquemática: todo en unidad y orgánicamente.
- III -
Una exposición completa de la Matemática, según esto, deberá por necesidad presentar filosóficamente a esta esfera finitamente infinita en la esfera total del universo; y sólo bajo esta condición podrá tener semejante obra carácter artístico, en virtud del que debe manifestarse en lo finitamente infinito la naturaleza absoluta, la unidad y armonía del universo. Pero si ha de exponerse filosóficamente la Matemática, es preciso conocer su concepto ideal, y por tanto su principio superior (que, para aquella esfera, aparece como el supremo e indemostrable, dentro de sus límites: como un axioma) en el concepto ideal del universo y en el supremo y único principio o proposición fundamental de todo ser y conocer. Abreviando, diremos que se da por supuesto, en primer lugar, para la exposición filosófica, de la Matemática, su fundamento, es decir, el conocimiento completo de su total esfera, y la unidad de la misma en lo absoluto, mediante la especulación superior de la Filosofía: por cuya más elevada especulación es conocido (no demostrado o fundalo en otro principio) lo absoluto mismo o la infinita unidad de todas las unidades en su infinita naturaleza: por cuanto en esta unidad se expone en su idea toda unidad subordinada, en su subordinación y coordenación. Mediante estas ideas, conocidas en lo absoluto, se presentan tantas esferas infinitamente finitas, cuantos objetos hay precisamente de ciencia, llevando en sí los fundamentos de todas ellas: así también se presenta la esfera y el principio de la Matemática en su verdadero ser y en relación orgánica al universo y a la formación del universo en el tiempo. Sólo de la idea así conocida o del concepto infinito de la Matemática, puede nacer una perfecta exposición correspondiente a esta idea, un sistema verdaderamente científico de ella.
En las obras que se escriban para aquellos que empiezan el estudio de esta ciencia (que pudiera llamarse con fundamento bajo este aspecto «doctrina de la ciencia»), no puede desarrollarse una exposición de esta parte de la Filosofía, sino indicarse ligeramente; los que comienzan se guían ante todo por la fantasía y se sirven de ella en intuiciones sensibles y determinada dirección (51); y mediante ella, se hacen luego más aptos para la especulación verdaderamente filosófica, que es imposible sin las condiciones expuestas. Deben, pues, limitarse los que escriban obras elementales a exponer la Matemática al modo común; pero completamente y con carácter sistemático en sus elementos, presentando el todo como superior y único axioma en su idea y supremo principio, y siguiendo el mismo orden que corresponda a la exposición filosófica. Así se hará más visible la falta de un conocimiento verdaderamente filosófico de estas disciplinas.
Deberá exponerse primeramente, según lo que va dicho, el concepto infinito o idea (axioma único) de las Matemáticas.
- IV -
La Ciencia matemática es el conocimiento sistemático y sintético de todas las formas en que una cosa finita de cualquiera especie es o llega a ser tal cosa finita limitada, dentro de su forma infinita.
Entiéndese aquí por forma el límite por el cual lo contenido en éste es y se conoce en su unidad y determinación propias. No conviene, pues, forma alguna al universo absoluto, porque es y se pone, en verdad, como incondicionalmente infinito y absoluto. Hay, empero, contenidas en lo absoluto infinitas esferas subordinadas o unidades que, como partes orgánicas, son de igual naturaleza que lo absoluto, son realmente él mismo; pero no en su totalidad sino cada una en su peculiar figura, forma o límite. Las esferas superiores del mundo son la Naturaleza y el Espíritu: la forma de la Naturaleza es el espacio; la forma del Espíritu es la unidad de concepto; la forma común a ambos y en la que obran y se influyen recíprocamente, es el tiempo. La forma es tan absoluta como el ser mismo: no hay forma sin ser, ni ser sin forma.
Las formas de estas esferas son, cada una en su peculiar género, infinitas, porque limitan infinitas esferas entre sí y de lo infinito absoluto. El espacio, la unidad de concepto y el tiempo son, pues, límites infinitos.
Si las esferas de estos límites estuviesen vacías, sin variedad ni información; o si no hubiese en cada una de dichas unidades otras muchas unidades infinitas subordinadas a ellas y coordenadas entre sí, tampoco serían ulteriormente limitables las formas mismas; pero como no es así, deben las formas a su vez ser limitadas ulteriormente o entrar «en formas de la forma,» que son, por lo tanto, límites del límite, y así sucesivamente, hasta que la limitación esté completa en sí mediante sus unidades cada vez más subordinadas, y presente una limitación enteramente individual (una individualidad). Así, por ejemplo, siendo el espacio límite infinito, su primera limitación, que es la superficie, es también infinita, tanto en extensión cuanto en género (52); mientras que en el espacio infinito, como tal, desaparece toda distinción de la segunda especie. Y como la superficie a su vez es infinita, puede y debe limitarse por la línea, la que, como límite de un límite, es también infinita en cuanto a extensión y en cuanto a género. El límite de la línea, que sólo es infinita ya bajo un aspecto (la longitud), es ya el límite absoluto, el punto matemático, que ni comprende cosa alguna en sí, ni limita como tal espacio alguno. A estos tres límites subordinados, se reduce el límite infinito del espacio; pero en esto también se encierra la infinta variedad de la individualidad de todo cuerpo finito, puesto que los tres límites, superficie, línea y punto, están presentes por necesidad en cada uno de ellos, en la combinación de sus determinaciones recíprocas.
El límite infinito del tiempo es, como tal, limitado por el momento: dos momentos que son exteriores uno a otro, que no se confunden, dan una determinación finita de tiempo (53).
La forma del Espíritu como tal, la unidad de concepto (unidad de lo particular y general) es limitada interiormente por la forma del género y la especie, donde la especie se pone como ulteriormente determinable, y así sucesivamente, hasta lo infinito, sin alcanzar nunca al individuo. Cada individuo, sin embargo, es y se conoce en forma de un concepto.
Lo individual de todas clases llega, según esto, a ser tal, que está contenido dentro de un límite completamente finito, que se encierra a su vez en un límite infinito.
El tema infinito de las Matemáticas, o sea su concepto ideal, puede, por tanto, expresarse de este modo:
«Las Matemáticas son la exposición sistemática. y sintética de las formas (límites, condiciones formales) del ser y de la información de todo lo individual.»
Como la forma, en cuanto cae bajo límite, aparece como propiedad o accidencia (no como accidente), puede decirse así también:
«Las Matemáticas son la enumeración y exposición sistemática y sintética de todas las accidencias, mediante las cuales la finitud individual es y se forma en todas las esferas del mundo.»
Merced a los límites de las unidades subordinadas o esferas del mundo, y a la necesidad, que nace de lo absoluto, de anular esos límites y recoger lo que excede de ellos, nace la vida y producción en el universo; y en este concepto, el universo es y existe en el tiempo (pero no es temporal). En toda formación u organización, cambia el límite (no el ser), se modifica, se determina ulteriormente. Así se modifican sucesivamente las esferas individuales del mundo, y por tanto también sus formas: debía, por esto, expresarse en nuestra definición de las Matemáticas, que consideran las formas bajo las cuales lo individual de todo género es y existe. Así, por ejemplo, la Ciencia del movimiento es la exposición de las formas bajo las cuales un movimiento individual y la línea descrita en virtud de él, no es, sino que constantemente fluye, corre, deviene.
El mundo es sistemático, esto es, todo él está y vive en la idea infinita del todo, por el cual debe ser conocido también. Esto se muestra asimismo en las formas del universo. Por la esencia infinita del mundo, es su infinita forma; de esta forma primera, proceden sus ulteriores limitaciones; de éstas, otras nueva y así sucesivamente. De aquí, que deban conocerse también, y conocerse sistemáticamente, las formas del mundo. Pero como lo particular es conocido en y dentro de lo general, y la esfera subordinada dentro de su superior y como su parte orgánica, este conocimiento es sintético, es decir, expositivo de lo particular en lo general. Todo conocimiento sistemático es también sintético; implicándose lo uno en lo otro.
Pero lo particular no puede ser conocido en lo general, sin que la intuición viva y guiada por la especulación determine, forme o construya sensiblemente, de un modo necesario, lo pensado: así, por ejemplo, quien no abraza, mediante la fantasía, la ulterior determinación del límite de la línea, y no se forma una representación, tanto de la línea recta como de la curva, nunca sabrá lo que son una ni otra. No es posible especulación alguna sin construcción, ni una construcción verdadera y bella sin especulación o sistema. De aquí, que el concepto completo de las Matemáticas deba expresarse así:
«La construcción sistemática y sintética de todas las formas finitas (límites, accidencias), en que una cosa finita (completamente limitada, individual) de cualquiera esfera, es y deviene como tal cosa finita dentro de su infinita forma.»
- V -
Concepto de la cantidad en general y de la continua y la discreta. -¿Cuándo estarían completas las Matemáticas en toda su extensión? -Único axioma de la Matemática.
Todo límite finito o forma (dentro del límite infinito, cuyo límite ulterior es esta forma) debe ser limitado y determinado ulteriormente, tanto según la cantidad (quantitate) como según el género (qualitate). La ultra-determinación de los límites finitos por la cantidad es común de igual modo a todo lo limitado: sus límites deben ser constituidos según el género (cualidad), como lo exige también su naturaleza: no obstante, de la esencia de los dos límites infinitos superiores del mundo racional y del corporal, nace la única distinción cualitativa de la cantidad como tal: a saber, que la cantidad de la unidad infinita del concepto es indivisible en género y en individuo (quantitas individua seu discreta); pero que la cantidad de las unidades individuales de la Naturaleza, como tales (pues también éstas se dan bajo la unidad del concepto), es decir, del espacio y de los límites interiores de lo corpóreo (la fuerza), es divisible hasta lo infinito y continua (quantitas in infinitum divisibilis seu continua). La ulterior determinación de las formas o límites según el género es común a todas las esferas; pero la peculiar determinación genérica de todos los límites debe establecerse partiendo de la naturaleza de cada esfera, y conocerse mediante la construcción de ella por la fantasía: el género, pues, de la determinación de los límites se diferencia según el género de la forma infinita de las esferas, y mediante el género de la esencia de éstas.
Tales afirmaciones no pueden aquí probarse filosóficamente, sino sólo sensibilizarse mediante determinada construcción (54).
Si se observa por que modo se determinan y distinguen los límites finitos, se encuentra que su ulterior determinación y diversidad consiste, ya en la cualidad, ya en la cantidad: por ejemplo, la línea es límite infinito de la superficie; la que, a su vez, es límite infinito del espacio. Estos límites infinitos, se distinguen por la cualidad (y después también por la cantidad). La línea, v. g., se puede y debe nuevamente limitar y distinguir. Si se distingue por el género, nacen dos términos: línea recta y línea curva, que no se distinguen por la cantidad (pues ambas son igualmente infinitas); de aquí proceden dos unidades de concepto subordinadas bajo el concepto de línea. Si se diferencia la línea por la cantidad, no es el concepto mismo, sino sólo lo contenido en éste, lo que ulteriormente se limita, permaneciendo enteramente igual por lo que respecta al concepto: v. g., una línea de dos pies de longitud es distinta en cantidad de otra de tres pies. El límite infinito mismo es limitado, sin que haya de ultradeterminarse idealmente; y se determina mediante dos límites absolutos, recíprocamente exteriores (puntos) en uno finito: de aquí se puede deducir que es cantidad porque contiene una cosa real de este género, aunque cosa completamente limitada y finita por tanto. Si fuera dicha línea infinita, no sería cantidad: si fuera el límite absoluto, el punto, tampoco. Mediante cantidad se distingue lo real positivo en la noción: y hasta lo igual, como tal igual, se distingue también. Por tanto, diremos que la cantidad es «la distinción de lo completamente limitado, finito, real, que dentro del mismo límite infinito (en la misma esfera) está encerrado bajo género absolutamente igual. Sólo, pues, lo que está dentro de límites finitos, y sólo bajo este concepto, es un cuanto. Según esto lo infinito de cualquier género, o cualquiera cosa en cuanto es infinita, no es cantidad: tampoco la nada, porque nada hay en ella, y la forma sin contenido cesa de ser hasta forma. Resulta de aquí que los límites infinitos, en cuanto son infinitos, no pueden distinguirse por la cantidad, sino sólo por el género.
Todo lo finito positivo, dentro de su límite infinito, es, según esto, un cuanto y la cantidad misma se distingue sólo por sí, es decir, por la determinabilidad de la finitud que hay dentro de la misma esfera: es por consiguiente infinitamente determinable, y en esta determinabilidad solamente cognoscible mediante comparación de lo finito en la misma esfera, y por tanto, relativamente. La determinabilidad de la cantidad de muchos términos finitos, como tales, de la misma esfera, se llama su relación. Todas las cantidades del mismo género tienen, pues, entre sí, una cierta relación; pero cantidades de distinta esfera no tienen ninguna razón o relación cuantitativa. Ahora, puesto que la determinabilidad de cada cantidad por sí es infinitamente variada, y de aquí nacen relaciones, se deduce que deben darse relaciones infinitamente variadas y esto lo ha de considerar la Matemática.
Debe haber en la cantidad una diferencia genérica, puesto que toda forma debe distinguirse por su género mediante el de su contenido; pero de estas distinciones genéricas en la cantidad, como tal, la una contiene a la otra. Esta relación de distinción se encuentra en la diferencia genérica y en la subordinación a construcciones particulares del las potencias de las fuerzas mecánicas, químicas u orgánicas. Esta subdivisión de la cantidad por el género es la de cantidad continua y discontinua y proviene de la distinción genérica de las formas infinitas de las dos esferas supremas del mundo, el Espíritu y la Naturaleza. En efecto, la cantidad de la unidad de concepto consiste en la capacidad de determinarse constantemente cada vez más, que tiene sintéticamente el signo y en la percepción de la dependencia de los conceptos. Ahora bien, cada concepto es una unidad orgánica indivisible, que no es susceptible de dividirse en partes sin quedar destruida: resulta, pues, que estas unidades de concepto, que están contenidas las unas en y bajo las otras, no pueden separarse, o agruparse por aproximación recíproca, reuniéndose a un todo superior; sino que las inferiores pueden solamente ser conocidas en la superior, como envueltas o contenidas en ella, porque están en ella. Lo que es cierto de las unidades de concepto lo es también de todos los individuos infinitamente determinados: en cuanto son considerados idealmente en lo particular, es decir, referidos a un concepto, son el mismo concepto, infinitamente ultradeterminado. Así como no puedo, por ejemplo, descomponer en partes el concepto del árbol sin destruirlo, tampoco puedo dividir el árbol individual exterior o interior, ni enlazar muchos árboles completamente divididos y destrozados; no por eso resultaría un árbol único, ni dejarían de estar faltos de vida los dos por separado: y efectivamente se verifica esto con el árbol exterior, y tanto más cuanto más orgánico, es decir, cuanto más verdaderamente individual es y más expresa su idea.
A cada concepto corresponden infinitos individuos: todo límite ideal (de concepto) es por tanto a su vez infinito en la multiplicidad de los individuos a él subordinados; de aquí, que pueda pensarse la ultradeterminación de tantos individuos ideales como se quieran, aunque completos e indivisos, esto es, la infinitud de la multiplicidad, de la unidad entera. En esta multiplicidad, como cantidad determinada de la pluralidad de individuos iguales, entra a su vez la intuición de la misma cantidad determinada o de su relación, porque también aquí una cosa finita, real, a saber, la multiplicidad finita, es sólo cuanta porque no es lo infinito de su género, ni la nada: y también, por tanto, sólo es posible su determinabilidad cuantitativa por su comparación con otras cantidades (cosas finitas) de su género. -Es claro, pues, que hay cantidades de género ideal (de concepto) discontinuas, individuales o discretas, o también lógicas; y por qué las hay.
Si se considera, en comparación con la cantidad, de la unidad de concepto y de las individualidades de la misma, la naturaleza de la cantidad del límite de los cuerpos en el espacio, tanto el límite extensivo como tal, cuanto el límite interior de lo finitamente extenso, como también del tiempo, que lleva en sí la doble esencia del Espíritu y la Naturaleza, por cuanto es el límite común a ambas: si se considera esto, decimos, se encuentra que las cantidades de este género son divisibles hasta lo infinito, continuas, uniformes y componibles en partes cualesquiera de una unidad continua: por ejemplo, la superficie, por límites finitos, se puede dividir en dos, tres o más partes sin perder por eso de su realidad: estas partes se pueden enlazar en cualquier orden, sin cambiar el todo, comenzando la una donde termina la otra cuando se las enlaza; pero también se pueden colocar por sí unas separadas de otras. Así mismo se puede tomar cada una de estas cantidades iguales tantas veces como se quiera, pues la única relación cuantitativa en las cantidades discretas es componerse mediante la repetición de unidades enteras. La naturaleza de las cantidades continuas, consideradas sólo como cantidad, pluralidad y relación determinadas, contiene en sí la naturaleza de las discretas; pero no ésta a aquélla. Lo común a ambas cantidades es el ser cantidades, a saber: que en ambas una cosa real finita aparece en su límite infinito dentro de límites completos; y que en ambas especies de cantidad nace la pluralidad de la unidad y la unidad de la pluralidad: sólo que, en las cantidades discretas, con limitación e individualidad, y en las continuas sigue sin límite alguno, hasta lo infinito.
Las determinaciones de los límites o formas según género deben en cada esfera ser conocidas mediante su adecuada intuición y ser deducidas especulativamente; pero, en todo caso, debe considerarse y conocerse filosóficamente si los miembros de la división son sólo dos o varios y en qué esferas (si el género de las cantidades es divisible, ora dicotómica, ora politómicamente). Sobre esto pueden sólo hacerse las siguientes observaciones.
Primera. Los distintos géneros de cantidades forman distintas esferas de conceptos, coordenadas entre sí, que se excluyen como tales. Así, por tanto, lo que conviene a un género, como tal, no puede decirse de los otros. En la exposición de estos géneros de cantidades deben, pues, observarse las siguientes reglas lógicas generales: que ningún término se omita (como si alguno dijese que las líneas son circulares o espirales), pues la consideración sería incompleta; que además los géneros expuestos sean de igual orden o categoría (no como si alguno dijese que la línea es recta o circular).
Segunda. Las divisiones se oponen positiva o realmente, pues en ellas se expresa la naturaleza general del límite superior cuyo género se determina en ellos: por ejemplo, la línea recta como la curva son longitud con dirección cierta, y ambas deben dar una determinada intuición positiva, es decir, que la recta como la curva puedan ser construidas sensiblemente. Así deben, por tanto, ser todas las oposiciones de la Matemática (como de todas las ciencias).
Tercera. No debe confundirse la aparente con la originaria división genérica del límite: aquella procede sólo de la determinación cuantitativa de varios límites continuos que hay en el mismo individuo, a causa de la pluralidad de cantidades discretas. ¿Por qué se distinguen, v. g., los géneros (species) de triángulos rectilíneos, sino por la diferencia de la cantidad continua, determina la longitud de los lados? O ¿por qué se distingue el cuadrilátero rectilíneo del triángulo, sino por el distinto número de lados (pluralidad lógica de los mismos) y ángulos: pues que, con respecto a la suma de las longitudes de los lados o al área en ellos comprendida, pueden ser iguales? Un triángulo rectilíneo y uno curvilíneo son distintos originariamente por el género en atención a la diferencia específica de sus lados.
Según esto, será claro ahora lo siguiente. La individualidad de cada cosa finita, completamente limitada, se determina mediante la individualidad de su límite, y ésta a su vez mediante la individualidad o sea la cantidad y género de los límites que recíprocamente se determinan; y estarían por tanto las Matemáticas completas cuando hubiesen agotado y construido sintéticamente toda individualidad posible finita en todas las esferas, en el género y en la cantidad de sus límites, del límite infinito; pero esto es imposible de completar, porque el límite de todo género es infinitamente determinable en género, a su vez, lo cual se da inmediatamente en la infinitud del mundo en su contenido y forma.
Si se considera, v. g., por dónde se determina la individualidad de una extensión finita como tal, por ejemplo, de una esfera, se encuentra que es determinada inmediatamente por su primer límite, la superficie, que en ella proviene de un doble género, a saber: la curvatura uniforme de las distintas direcciones que concurren en un punto, y por la segunda superficie que al cortar a la primera da una sección de curvatura determinada, exactamente igual. Estas dos superficies son distintas, en primer lugar, por el género mediante sus límites, a saber, la línea y el punto en que las limitan en cuanto a su extensión, etc. O si se toma un hexaedro, se ve que es determinado por el género; número y porción de sus superficies (límites) y el género de estas superficies a su vez por el género y relación de la cantidad del ángulo de sus lados (55). Estaría completo este determinado punto de vista matemático (la Geometría), cuando se hubieran agotado todos los géneros posibles de limitación finita del espacio; para lo cual sería menester haber construido (56) todos los géneros de superficies, su limitación y enlace; y de aquí, a su vez, todos los géneros de líneas. Pero como esto no es posible al presente, se sigue que la Geometría no puede completarse nunca por lo que toca a la perfección absoluta de su síntesis; pero puede y debe ser verdaderamente sistemática,
Resulta también de aquí, que en el concepto de las Matemáticas está contenido el supremo y único axioma que se realiza cada vez más, mediante consiguiente construcción sintética; este axioma, tal como puede aquí exponerse, sin deducción filosófica precedente (no en el sentido general, sino en el indicado antes) es el siguiente:
«A cada subordinada esfera finitamente finita del mundo, convienen límites de distinto género, aunque infinitos; estos pueden determinarse ulteriormente hasta lo infinito, mediante determinación genérica y cuantitativa, estando determinado realmente en sí en el mundo: que los individuos de todas las unidades o esferas de este se hallan contenidos en la forma completa.»
La prueba de este axioma sólo puede darse en el universo infinito, en lo absoluto mismo, y es superior por tanto a la esfera de la Matemática: así, mediante esta prueba, son conocidas absoluta y necesariamente éstas y fundadas filosóficamente.
Mediante esto, se presenta la consideración de las partes de la Matemática o de sus ciencias particulares; así como también el orden y relación en que estas diversas ciencias están entre sí y en la construcción.
- VI -
Primeramente, las Matemáticas tienen que considerar la ulterior determinación común a todas las formas (límites) de las esferas de todo género en la cantidad, en su infinita ultradeterminación e individualización, en la Matemática general, o Aritmética (57). Deben entonces considerar también la ultradeterminación del límite de cada determinada unidad o esfera del mundo según su género y cantidad; y tantas unidades distintas del mundo cuantas se den y tal orden guarden entre sí, otras tantas ciencias matemáticas particulares se darán, o igual orden y relación tendrán unas con otras.
Ahora bien, las dos esferas supremas del mundo son la del mundo corporal y la del espiritual, y por tanto las partes principales de la Matemática, serán la Matemática del Espíritu y la Matemática de la Naturaleza. Las primeras no han sido tratadas como ciencia especial; sino que sus principios fundamentales se tratan generalmente en la Filosofía del Espíritu: por ejemplo, en la intuición de la determinación del límite en la unidad de concepto, cómo y según qué leyes debe irse deduciendo hasta el individuo. La Matemática de la Naturaleza determina empero, y debe determinar deductivamente los límites de esta esfera hasta el individuo. Estos límites pueden manifestarse aquí por mera evidencia de intuición; pero no filosóficamente (58). Son interiores y exteriores. Los límites exteriores son limitaciones del espacio, como tal; en primer lugar, modo determinado de la limitación finita del espacio o figura con determinada cantidad: en segundo lugar, la ulterior determinación permanente de este límite, de la figura, y de la relación de espacio en la formación en el tiempo, el movimiento. De aquí nacen las dos ciencias matemáticas inmediatas a la Aritmética: la ciencia de las figuras o Geometría y la ciencia del movimiento, o Mecánica. -Considera la primera la figura en reposo: la otra la figura en su formación (en el tiempo, como fuerza).
Los límites interiores de la Naturaleza hacen referencia a los límites de su individualización o de su construcción orgánica en el tiempo; y pues esta individualización es, en superior sentido, química y orgánica, se sigue que las dos ciencias matemáticas que restan aquí, son las siguientes: primero, la completa ultradeterminación del límite del proceso químico; y luego, la completa ultradeterminación del límite del proceso orgánico. De aquí se deduce claramente también que estas ciencias matemáticas de la Naturaleza deben estudiarse por el orden siguiente: Geometría, Mecánica, Química, Orgánica: porque el movimiento es una figura formándose; el proceso, químico supone necesariamente en sus productos visibles figura y movimiento, finalmente, el proceso orgánico es juntamente químico, mecánico y geométrico. Es además evidente que las Matemáticas son un término de la Filosofía de la Naturaleza. En efecto, la Matemática se dirige al conocimiento de lo finito como tal, del límite (cuyo conocimiento es sólo posible en lo infinito y su presuposición) y considera siempre en todos los productos naturales sólo el límite de la formación; pero la Filosofía de la Naturaleza abraza la vida indivisa de esta infinitud, la recíproca interior formación de todos sus limites, la absoluta unidad e infinitud de la Naturaleza, como unidad armónica del universo. Las Matemáticas son una obra del entendimiento: la Filosofía de la Naturaleza una obra de la razón (aunque no como si las Matemáticas no necesitasen de la razón, ni la Filosofía de la Naturaleza del entendimiento.)
Todo esto es incompleto: no puede expresarse sino como un puro resultado de otras investigaciones, en un trabajo de esta índole. A los que parezca paradójico o impropio para popularizar la ciencia matemática, rogamos que examinen maduramente la cosa misma o que estudien tratados filosóficos de las matemáticas. Sólo a aquéllos que están familiarizados con estudios filosóficos podemos esperar ser completamente inteligibles.
1867