209. Sean en un lugar cualquiera (fig. 67) NEM el plano del horizonte, NOM la línea meridiana, EO la perpendicular y OZ la vertical, lo que forma, según hemos visto, un sistema completo de coordenadas rectangulares. Sea además OP el eje de rotación del cielo que pasa en O por el ojo del observador. Tiremos un rayo visual OS a una estrella cualquiera S: el ángulo POS formado por este rayo con el eje de rotación se llama la distancia polar de la estrella. Si ésta se mueve circularmente en derredor del polo, dicha distancia debe ser invariable, y el ángulo POS mantenerse constante en todas las posiciones de la estrella sobre el horizonte.
210. Falta encontrar para cada vez este ángulo POS. Esto es fácil cuando se conoce el azimut de la estrella, su distancia al zenit, y la distancia de éste al polo, o sea los ángulos NOA, ZOS y ZOP. Basta entonces resolver un triángulo esférico. Porque si desde el punto O, como centro, se concibe una esfera de un radio cualquiera que corte al eje de rotación, al rayo visual y a la vertical en los puntos p, s y z, los arcos pz, zs y ps que unirán a estos tres puntos sobre la esfera formarán un triángulo esférico en que se conocerán los lados zp y zs que son las distancias del polo y del astro al zenit, mas el ángulo pzs formado por el meridiano pz con el vertical zs del astro; porque este ángulo es igual al azimut NOA del vertical, contado desde el norte. Con estos datos se conocerá pues por el cálculo el tercer lado ps, o la distancia polar del astro44.
211. Ahora bien, efectuando estos cálculos para una estrella cualquiera en todos los puntos de su curso en que es dado seguirla, se encuentra siempre la misma distancia polar ps: el movimiento diurno de las estrellas en derredor de los polos es pues exactamente circular.
Tiénese también una comprobación muy sencilla de tal verdad en que este valor constante es cabalmente la distancia polar del astro que se observa inmediatamente en el plano del meridiano; porque entonces el vertical de aquél es el meridiano mismo. Si el astro pasa por el meridiano al sur del zenit (fig. 68), el ángulo diedro pzs o NOA (fig. 67) es igual a dos rectos, y la distancia polar ps es la suma de las distancias zenitales del astro y del polo. Si por el contrario, el astro pasa por el meridiano al norte del zenit (figs. 69 y 70), el ángulo NOA (fig. 67) es nulo, y la distancia polar es la diferencia de las distancias zenitales del astro y del polo.
212. Para confirmar con ejemplos reales esta rigorosa circularidad con que se verifica el movimiento diurno del cielo, insertamos a continuación cuadros numéricos que presentan las evaluaciones de la distancia polar de diferentes estrellas, deducidas de los valores simultáneos de los azimús y de las distancias zenitales, observados para cada una en las diversas posiciones aparentes a que la ha conducido el movimiento de revolución del cielo.
[NOTA]45
Ponemos primeramente las distancias zenitales observadas inmediatamente en cada azimut, luego la refracción actual que individualmente las afecta y se calcula con arreglo a las indicaciones contemporáneas del barómetro y del termómetro de conformidad con la teoría expuesta en el capítulo VII. De aquí concluimos las distancias zenitales verdaderas, tales como se las hubiera observado sin la interposición de la atmósfera; y de estas, combinadas con el azimut en que la estrella se encontraba a la sazón, deducimos el arco que expresa su actual distancia polar por las fórmulas correspondientes. Estos arcos insertos en la antepenúltima columna del cuadro, están comparados con la distancia polar verdadera de cada estrella, sacada inmediatamente en las observaciones hechas en el mismo meridiano. La postrera columna manifiesta con cuánta precisión son conformes entro sí. Las pequeñas diferencias que se advierten corresponden a aquel orden de errores que no podrían evitarse en semejantes observaciones, y la caprichosa irregularidad de sus signos propios hace ver muy bien que son puramente accidentales. Los elementos de este cuadro están tomados de las observaciones simultáneas de azimut y distancias zenitales hechas por Piazzi con el círculo de Palermo para otro objeto diferente. En la época en que vivía este grande astrónomo no se sabía aún calcular inmediatamente las refracciones por una teoría exacta y en virtud de las indicaciones del termómetro y del barómetro, y se las deducía empíricamente de las observaciones, admitiendo la circularidad del movimiento diurno. Piazzi había tratado de sacarlas de las observaciones simultáneas de las distancias zenitales y de los azimús, tomando como constante la distancia polar observada en el meridiano mismo. Empero la experiencia le ha hecho ver que cantidades tan pequeñas y variables como las refracciones atmosféricas no pueden determinarse por este medio con la suficiente certidumbre. Hoy día se tiene por mucho más seguro calcular por la teoría, y no se piensa ya en obtenerlas de una manera empírica.
213. Habiendo así probado que el movimiento diurno es exactamente circular, puede servir y sirve en efecto esta verdad como una condición geométrica para calcular completamente la posición de una estrella en un momento cualquiera por la sola observación de su altura durante el mismo, con tal que se conozca por otra parte, su distancia al polo según se la observa en el plano del meridiano. Porque entonces, en el triángulo esférico pzs (fig. 67) se conocen los tres lados pz, ps y zs, siendo este último la distancia de la estrella al zenit en el instante de la observación. Pueden pues calcularse los tres ángulos de este triángulo, es decir el ángulo pzs o NOA que es el azimut del astro y los ángulos zsp y zps, es decir, el ángulo en el astro y el ángulo en el polo46.
214. Siendo la distancia polar ps constante para cada estrella durante todo el transcurso de su revolución diurna, como acabamos de demostrar por la experiencia, síguese que el rayo visual OS tirado a una estrella describe en su movimiento diurno una superficie cónica recta de base circular en derredor del eje de rotación del cielo. La punta de esta superficie está situada en el ojo del observador, pero puede transportásela por el pensamiento al centro de la tierra, toda vez que hemos reconocido que relativamente a la distancia de las estrellas son insensibles las dimensiones de esta última.
215. El resultado a que acabamos de llegar indica sólo una relación geométrica entre las direcciones de los rayos visuales tirados a una misma estrella en las diversas partes de su marcha diurna; pero nada determina respecto a la distancia de los astros sobre las prolongaciones de estos rayos. Deberíamos pues mantenernos sobre este punto en una duda absoluta, una vez que estamos acerca de ello en una completa incertidumbre. Pero como la imaginación gusta de detenerse en una idea fija cualquiera, suponemos involuntariamente a todos los astros a una gran distancia indefinida sobre la prolongación de los rayos que nos los hacen visibles; y como nuestros sentidos no nos presentan tampoco ningún término de comparación que nos haga juzgar si unos están más remotos u otros más cerca, los colocamos también involuntariamente a igual distancia. Eso es lo que produce la apariencia de esa bóveda celeste estrellada, tan hermosa de observar durante la noche en un tiempo despejado. Si para prestarnos a esta ilusión de nuestros sentidos concebimos por la posición aparente de cada estrella un plano perpendicular al eje de rotación del cielo, la estrella en su movimiento no saldrá de este plano, y su camino proyectado así sobre el cielo, será una circunferencia de círculo cuyo centro se halla sobre este eje. En este sentido puede decirse: los círculos que parece describen las estrellas por efecto del movimiento diurno, están situados en planos perpendiculares al eje de rotación del cielo. Atribuyendo este concepto, puramente óptico, a la superficie esférica sideral un carácter ideal de ilimitación, podemos en adelante identificarla con la que habíamos descrito (fig. 67) con un radio arbitrario a fin de establecer nuestras construcciones trigonométricas. Esto nos dispensará de usar letras diferentes para designar los puntos de esta esfera geométrica y las prolongaciones indefinidas de los rayos visuales, como habíamos hecho entonces.
216. Sólo falta ya saber si este movimiento circulares uniforme o variable. Para descubrirlo, sean S,S,´S´´ (fig. 71) las sucesivas posiciones de una misma estrella sobre su círculo diurno desde su paso superior por el meridiano por el punto M. Los arcos MS,MS´ serán perpendiculares al plano del meridiano y a los planos visuales tirados a cada instante por la estrella y el eje de rotación. Estando descritos por otra parte en torno del polo P a la distancia angular constante PM o @, serán proporcionales estos arcos a los ángulos diedros ZPS, ZPS´ y ZPS´´ formados con el plano del meridiano por los visuales sucesivos SOP, S´OP y S´´OP.
Quedan pues por estimar estos ángulos diedros ZPS. Y esto es fácil, toda vez que en el triángulo esférico variable ZPS se conocen los tres lados a saber: ZP, PS y ZS, los dos primeros de los cuales son constantes y el tercero es dado por la distancia zenital presente de la estrella que se puede observar. Efectuando este cálculo, y comparando los valores sucesivos de los ángulos ZPS con los intervalos de tiempo que les corresponden y miden los relojes arreglados con exactitud por observaciones hechas con los instrumentos de pasos, se encuentra que el ángulo ZPS o el ángulo en el polo, es proporcional al tiempo transcurrido desde el paso de la estrella por el meridiano; de forma que toda la circunferencia es al número de grados contenido en este ángulo, o en el arco MS que le es proporcional, como el transcurso de una revolución entera, o un día sideral, es al tiempo corrido desde el paso por el meridiano. Cada uno de los arcos MS, MS´, MS´´ se describe pues por el astro sobre su círculo diurno, como la circunferencia entera, es decir, que el movimiento diurno de las estrellas es uniforme constantemente en todo el curso de su revolución. Aunque en la figura hayamos sólo considerado los arcos situados de un lado del meridiano después del paso superior, es palmario que iguales razonamientos se aplican a los arcos situados del otro lado antes del paso.
217. Reconocida una vez esta verdad, puede servir y sirve en efecto, como principio o condición geométrica para calcular el ángulo en el polo ZPS por el tiempo transcurrido desde el paso de la estrella por el meridiano sin recurrir a la observación altura. Porque sean d el día sideral y el de sur el intervalo de tiempo de igual especie transcurrido desde el paso por el meridiano: se tendrá el valor de P por la fórmula P=360ºt/d. Recíprocamente si el ángulo en el polo es dado por la observación de la altura de la estrella, puede inferirse el tiempo t=P.d. /360º47.
218. Se han dado a los planos visuales POS, POS´, POS´´ los nombres de planos horarios, porque los arcos MS,SS´,S´S´´ que interceptan sobre el círculo diurno de un mismo astro fijo corresponden a las horas y fracciones de hora en que se divide el transcurso de la revolución entera de las estrellas o el día sideral. Por ejemplo, si los ángulos diedros de los planos horarios son de 15º sexagesimales, interceptarán sobre el círculo diurno del astro arcos que serán igualmente de 15º. Habrá 24 de estos arcos en toda la circunferencia, puesto que 24.15 valen 360; por consiguiente cada uno de ellos será recorrido por el astro en la vigésima cuarta parte de un día sideral, es decir, en una hora sexagesimal. Esto se ve desde luego por la fórmula anterior, porque haciendo en ella P=15º, da t=d/24.
Si en vez de 24 planos se supusiesen sólo 10, interceptarían en la circunferencia arcos de 40º decimales, y cada uno de estos arcos correspondería a una hora de la división decimal del día sideral. Entonces el valor de P, expresado en días decimales sería P = 400gt/d y haciendo P = 40g, se tendría t = d/10.
219. En general, si se quieren representar las divisiones del día sideral por los ángulos diedros de los planos horarios, o por los arcos que éstos interceptan sobre el círculo diurno del astro fijo, se encontrará que en la división sexagesimal del círculo y del día, 15º corresponda a 1 hora, 15´ de grado a 1m de tiempo, y 15´´ de grado a 1s de tiempo. Así que para convertir un número de grados, minutos y segundos de arco contados sobre un mismo círculo diurno en horas, minutos y segundos de tiempo sideral, basta dividirlos por 15; y lo contrario hay que hacer, o sea multiplicar por 15, para convertir el tiempo en arco.
En la división decimal del círculo y del día 40 grados corresponden a 1 hora, 40´ de grado a 1m de tiempo y 40´´ de grado a 1´ de tiempo. Para convertir pues los arcos en tiempo, o viceversa, habrá que dividir o multiplicar por 40.
Ligadas como están entre sí por estas relaciones las divisiones del círculo y del día sideral, pueden representarse unas por otras, y entonces la medida de los arcos celestes es dada por el tiempo transcurrido durante su paso por el meridiano. Para dar a esta medida una significación fija, se la expresa en arcos del ecuador.
Así pues el arco interceptado sobre el perímetro del ecuador entre el meridiano y el plano horario de un astro fijo, o lo que viene a ser igual, el ángulo diedro formado por el plano del meridiano con el horario de este astro, convertido que sea en tiempo, expresará el número de horas y fracciones de hora siderales transcurridas desde el paso del astro por el meridiano o que deben transcurrir hasta este paso; y ésta es la razón porque estos ángulos diedros son designados bajo la denominación de ángulos horarios.
220. Nada determina en estas relaciones la época en que han de empezarse a contar las horas. En la sociedad el uso general es partir del paso del sol por el meridiano inferior, o desde media noche, y contar en seguida 24 horas de una a otra. Mas siendo desigual el movimiento del sol, como se verá más adelante, este sistema es igualmente variable y requiere alguna modificación para aplicarse a la Astronomía. Toda vez pues que estamos precisados a circunscribirnos al tiempo sideral, hasta tanto que hayamos explicado estas desigualdades, puede concebirse siempre que en cada lugar se toma por principio de las horas siderales el paso por el meridiano de una estrella conocida, o de un punto del cielo determinado, y que después se continúa contando las horas a empezar en el instante de este paso. El número de horas, minutos y segundos transcurridos desde esta primera época dará lo que se llama el tiempo absoluto o la hora que es.
221. Estas constantes relaciones entro los tiempos y los arcos celestes no tienen lugar en rigor sino para los astros fijos cuya distancia polar es constante. Aquellos que se señalan por un movimiento propio como el sol, los planetas y los cometas, tienen su distancia polar variable; por consiguiente no describen círculos en derredor del eje de rotación del cielo, sino líneas espirales resultantes de estos movimientos compuestos. No pueden pues aplicárseles con exactitud los razonamientos que acabamos de hacer, y los cuales están fundados en la forma circular de la curva diurna que las estrellas fijas describen con uniformidad. Empero, estudiando las variaciones particulares debidas a sus movimientos propios, se ha llegado a conocerlas con bastante exactitud para calcularlas anticipadamente. Y despojando a los astros de estas desigualdades, su distancia polar puede considerarse después como constante, como nulo su movimiento propio; y entonces la ley del movimiento diurno, uniforme y circular, se manifiesta igual para todos los astros sin excepción alguna.
222. Se han representado estas propiedades, o más bien se ha hecho una aplicación muy útil de ellas por la construcción de un instrumento de Astronomía que se llama máquina paralática, en razón a que sirve para seguir a una misma estrella sobre su círculo diurno; y también ecuatorial, porque el movimiento de revolución que se le da para este objeto es paralelo al ecuador celeste. No podemos definirla mejor en su tipo abstracto representado en la fig. 72, que refiriéndola al modelo universal de los instrumentos astronómicos destinados a medir distancias zenitales en general, a no ser que la rotación del círculo dividido que lleva el anteojo no se verifica en torno de la vertical, si no del eje que pasa por los polos celestes; o también puede asimilársela a un círculo repetidor cuyo eje vertical se hubiese inclinado y fijado, invariablemente según esta dirección. Entonces el círculo C que era horizontal, viene a ser paralelo al ecuador; el círculo C´, que se giraba sucesivamente en los diversos planos verticales, se gira en los diversos planos horarios; y el anteojo OC´L con su retícula local arreglada según condiciones análogas, no describe ya distancias zenitales Z, sino distancias polares @. Las rectificaciones necesarias a los dos instrumentos y la determinación de sus constantes, son por lo demás parecidas; salvo que ahora se refieren al polo, en vez de referirse al zenit, variando sólo en sus pormenores, según el sistema de construcción por que está unido el anteojo al círculo movible que le conduce, y éste, al eje de rotación AP. La observación se hace también de una manera semejante: se gira primero el círculo C´ en la dirección del plano horario del astro, que suponemos sea una estrella, y se dirige el anteojo hacia él a fin de traerle al campo de la visión. Fijásele entonces en su círculo por sus piezas de enlace; y con la ayuda de un tornillo de registro unido a estas piezas, se acaba de colocar a la estrella en el eje óptico físico, que se ha hecho previamente paralelo al limbo por los procedimientos generales que hemos explicado. Suponiendo pues hechas con exactitud todas las rectificaciones anteriores, y al eje de rotación AP en coincidencia estable con el eje polar, si se deja fijo al anteojo sobre su centro C´, y se hace girar a éste en derredor de AP, el rayo visual dirigido según el eje óptico se mantendrá a una distancia polar constante que era la de la estrella al principio de la observación. En su consecuencia, si el movimiento diurno de la estrella se verifica con esta condición de constancia, que será el carácter geométrico de su circularidad, se debe siempre por la sola rotación del círculo que conduce al anteojo poder volver a colocar este último sobre ella, de modo que se oculte aun en el centro de los hilos. Y esto es también lo que se verifica con mucha exactitud, salvas las alteraciones inevitablemente ocasionadas en los lugares aparentes de la estrella por la desigualdad de las refracciones atmosféricas a diversas distancias del zenit. Pero la concordancia viene a ser perfecta y constante, si se tienen en cuenta estos fenómenos por la teoría, la cual da su cabal medida por las indicaciones del barómetro y termómetro.
Según lo que se acaba de decir, pudiera creerse a primera vista que en una obra de exposición, como la presente, el medio más sencillo de establecer la ley de circularidad del movimiento diurno sería presentarla como un hecho demostrado por la máquina paralática. Pero siguiendo esta marcha, se sustituiría una prueba mecánica a las geométricas que hemos indicado, y que se fundan sobre relaciones cuyo uso es constante en Astronomía. Por otra parte, la colocación de la máquina paralática requiere el conocimiento del meridiano y de la altura del polo, toda vez que no se encuentra el movimiento circular, sino en torno del eje de rotación cuya posición está determinada en este plano. Sería pues preciso admitir hipotéticamente que la casualidad había conducido a establecerla según las especiales condiciones a que está adaptada por construcción, lo cual sería muy poco filosófico; y aun en esta suposición, los efectos de la refracción alterarían siempre la regularidad del círculo descrito por la estrella; de modo que no se podría seguirla con una misma inclinación del anteojo en toda la amplitud de su curso. Por lo que para ver que este movimiento era realmente circular, se haría necesario quitar de estos fenómenos los efectos de la refracción. Por último, el instrumento no dice cuál es la ley de esta rotación. El solo medio rigoroso de descubrirla es el de las consideraciones geométricas que, combinadas con las observaciones del tiempo, demuestran con rigor la forma circular de la trayectoria aparente, y prueban la uniformidad del movimiento del astro que la describe. Hemos ercido útiles estas reflexiones para hacer ver en general, aunque por un ejemplo particular, cuanta ventaja llevan las pruebas matemáticas a las más perfectas máquinas para establecer con rigor las verdades.
Según lo que acabamos de decir es fácil comprender que la máquina paralática, aunque fundada sobre la circularidad del movimiento diurno, no ha sido sin embargo imaginada y construida para probar materialmente esta verdad. Su construcción, a juzgar por la descripción que de ella hemos verificado, la hace acomodada para una multitud de observaciones astronómicas en que se necesita sólo determinar las diferencias de posición de dos astros; por ejemplo, la de un planeta o de un cometa nuevo, relativamente a las estrellas que le están próximas y cuyos lugares invariables se hallan fijados ya. Para esto se añaden a la retícula hilos movibles que miden estas diferencias en los dos sentidos rectangulares de los ángulos horarios y de la distancia polar, cuyos detalles no hacemos más que indicar aquí y sobre los cuales tendremos ocasión de volver. Por último se asegura la regularidad del movimiento de revolución haciéndole producir por un mecanismo de relojería arreglado por el tiempo sideral, lo que mantiene al eje óptico físico en el plano horario variable de la estrella sobre la cual se ha fijado una vez; de forma que la sigue continuamente en su curso diurno, salvas las desigualdades ocasionadas por los cambios de las refracciones.
223. Establecida rigorosamente la ley del movimiento diurno, se puede usarla como una condición de relación cierta para determinar las coeficientes de la expresión analítica de la refracción establecida por la teoría en función de los elementos físicos de que resulta. Basta para ello sujetar esta expresión a que restablezca una equidistancia exacta al polo entre las distancias zenitales meridianas de estrellas circumpolares cuyos dos pasos se efectúan y observan a desiguales distancias del zenit. Es posible hacer semejantes observaciones con círculos fijos, o suponerlas obtenidas por anticipación por medio de círculos repetidores portátiles: los resultados numéricos que se deducen son conformes a los que se sacan de la medida del poder refringente del aire atmosférico aplicado a la constitución estática de la atmósfera, según lo hemos expuesto en el capítulo VII48.