Hemos ya presentado antes el origen del número, el análisis de la intuición del objeto y de la expresión de la cosa por la noción de los números; hemos, en fin, aprendido el arte de contar, por lo menos hasta diez o veinte; llegamos ahora a la variedad de los ejercicios, cuya base eran estas nociones preliminares.
El múltiple empleo de los números exige del alumno un conocimiento más fundado, más íntimo y más extenso de los números; presiente el alumno la necesidad de aquellos y la acoge con gusto, considerándola como un objeto especial de la enseñanza. Y siempre debe ser así: todo nuevo objeto de la enseñanza acerca del cual el alumno no presiente nada todavía, debe serle llevado, en cierto modo, por uno de los objetos de la enseñanza con anterioridad presentada; precisa que sea llamado, exigido por el alumno, y debe ofrecerse al joven como una satisfacción para alguna de sus necesidades intelectuales.
El número, representando cantidad y magnitud revela desde el primer golpe de vista una propiedad general peculiar a diversos objetos, especialmente a los de la naturaleza; es la de un origen doble, origen exterior por la combinación de los números, origen interior por el acrecentamiento, la elevación y el desarrollo del número fuera de sí mismo. El número, al compartir con los objetos de la naturaleza el modo de existencia, comparte también con ellos la propiedad de extenderse, de extinguirse y de anularse. Pero esta anulación indica una variedad doble: la una es la anulación por la destrucción de lo exterior; la otra es la anulación por la disolución de lo interior.
Notemos sobre todo que en donde se encuentran la existencia y la anulación, el aumento y la disminución, ahí se encuentran también la igualización, la comparación, y de nuevo una comparación que sólo es exterior, y una comparación del todo interior, una comparación según la ley exterior y una comparación según la ley interior.
Clasificaremos, pues, el conocimiento de los números: en conocimiento de la formación de los números, según la ley exterior y según la ley interior; conocimiento de la anulación de los números, según la ley exterior y según la ley interior; y conocimiento de la comparación de los números, según la ley exterior y según la ley interior.
La enseñanza de estos diversos conocimientos de los números debe darse, no tan sólo para responder al presentimiento que el hombre tiene, en la edad de adolescente, de la vuelta multiplicada de las leyes naturales, en la vida, en el pensamiento y en el hombre, mas también para responder al presentimiento que aquel tiene de la eficaz conformidad existente entre todas las cosas; he ahí por qué el adolescente debe ser iniciado en las leyes de los números y penetrarse bien de toda su importancia.
Es igualmente necesario considerar las leyes de los números bajo sus diferentes aspectos, como también ejercerse en la rápida inteligencia y en la penetración de las relaciones de los números; la una de estas cosas no debe someterse al capricho de la otra. El alumno, llegado a ese grado, será más o menos apto para definirlas, según que las relaciones de los números le sean más o menos claramente demostradas. Apuntemos aquí que la representación por el mismo discípulo, que adquiere así la inteligencia clara de las relaciones de los números en su mezcla o en su combinación, el empleo de los números en sentido contrario, la consideración de todo lo que estos componen, la extracción del número individual por la enunciación del lenguaje, constituyen esencialmente esta enseñanza, como, por lo demás, constituyen la de todo objeto del mismo orden.
La marcha de esta enseñanza refiérese a lo que hemos dicho ya, y puede con facilidad extenderse; nos contentaremos con dar de ello aquí algunos ejemplos:
1º. Recordaremos para esta enseñanza lo que antes dejamos dicho acerca de la manifestación del número por la enunciación del nombre mismo. Se contará desde luego de uno a veinte, y de veinte a uno, enunciando los números con arreglo a su sucesión ordinaria, o bien con omisión o cambio de orden.
2º. Daremos la manifestación y la intuición de las series de los números como un todo continuo.
«Contad de uno a diez y trazad sobre la pizarra tantas líneas verticales de simple longitud como designa la palabra enunciando el número; así digo uno |, dos, ||; las líneas son verticales y se alinean las unas sobre las otras.»
| (Uno) | | (Dos) || | (Tres) ||| |
«¿Han terminado Vds.? - ¿Qué han hecho?
»Hemos contado de uno a diez, añadiendo a la palabra la demostración por las líneas.
»¡Bueno! Pues han representado Vds. la sucesión natural de todos los números de uno a diez.
»¿Qué han representado Vds.?»
Se tendrá también cuidado de insistir sobre los ejercicios que establecerán la reciprocidad existente entre el número escrito y el número determinado por las líneas.
Empezando por la enunciación del número, el maestro y el alumno dirán juntos, e indicando las líneas trazadas sobre el cuadro y sobre la pizarra:
| Uno es | | (una unidad). |
| Dos es || | (dos unidades). |
| Tres es ||| | (tres unidades). |
Luego, procediendo en sentido inverso, el maestro y el alumno indicarán primero el signo y numeración; después, el número por la palabra.
| | | (una unidad) es uno; |
| || | (dos unidades) hacen dos; |
| ||| | (tres unidades) hacen tres; etc. |
La palabra y la cantidad se confunden, apareciendo como si no hicieran que uno, y sólo el número está determinando;
| | | Uno es uno; |
| || | Dos son dos; |
| ||| | Tres son tres; etc. |
3º. Presentaremos los números como números pares y números impares.
Maestro y alumnos dicen a la vez:
| | | Uno es un número ni par ni impar; |
| || | Dos es un número par; |
| ||| | Tres es un número impar; etc. |
La noción de los números pares e impares debe ser aquí solamente indicada: más lejos recibirá su desarrollo.
Bueno será hacer observar al alumno una gran ley que domina profundamente la naturaleza y el pensamiento; es que entre dos cosas y dos nociones, distintas en su moral de organización, aparece siempre una tercera uniendo en sí las dos otras, y encontrándose en cierto equilibrio entre ellas; y prueba de ello es que aun aquí, entre el número par y el número impar, vemos un número que no es ni lo uno ni lo otro, y que sin embargo se encierra en ellos, como ellos en él. En la forma, entre el triángulo obtuso y el ángulo agudo, hallamos el ángulo recto; en el lenguaje entre el tono y la cadencia, hay el sonido. El maestro inteligente y el alumno acostumbrado a pensar y a reflexionar por sí mismo, notarán inevitablemente muchas cosas a propósito de esta ley y a propósito de otras no menos importantes.
Represéntense aquí todos los números pares en su sucesión ordinaria hasta diez, trazando las líneas cuyo número corresponde al anunciado por la palabra; se tendrá cuidado de dejar entre sus series un espacio, que deben venir a ocupar los números impares.
| || |
| |||| |
| |||| etc. |
Hágase enunciar aquí, según su sucesión natural, todos los números pares hasta diez.
Igual ejercicio para los números impares.
Tan pronto como algunos alumnos hayan hecho este ejercicio sobre sus pizarras, el maestro lo repetirá sobre el encerado; precisa que en el curso de las interrogaciones, los alumnos tengan siempre la vista fija en la pizarra o en el encerado, pues el maestro demuestra todo lo que enuncia, por el signo, a la par que por la palabra.
He aquí algunas cuestiones relativas a estos ejercicios:
|||| Señalando a cada una de estas líneas, el maestro pregunta: ¿el plural de los números pares es cuatro?
||||| ¿El plural de los números impares es cinco?
«¿Cuántos números pares hay entre uno y diez?
»¿Cuántos números impares hay entre uno y diez?
»¿Hay más números pares que números impares en la sucesión ordinaria de todos los números de uno a diez?
»¿Por qué hay más números pares?
4º. Demos también el número figurado por el modo exterior.
«Trace Vd., por cada número de la sucesión natural de la serie de los números hasta diez, esta línea |, y vea cuántas veces hay que trazarla.»
El alumno traza y dice:
| | y | son || |
| || y | son ||| etc. |
Pasando a las preguntas:
«Cuando a cada número de la sucesión natural de la serie de los números hasta diez, trazo esta línea |, ¿qué resulta de ello?»
Idénticos ejercicios para todos los números de dos hasta once, y para los números siguientes.
«Cuando a un número par se añade una línea |, ¿qué resulta de allí?
»Un número impar.
»Cuando a continuación de cada una de las series de líneas que representan un número par, se añade siempre una línea |, ¿qué resulta?
»Una sucesión natural de números impares.
Conviene hacer aquí, por el signo y por la palabra, la demostración de ambas leyes, a saber:
Que añadiendo la línea | a un número par de líneas se obtiene un número impar;
Que añadiendo la línea | a un número impar de líneas obtiénese un número par.
Se hará el propio ejercicio añadiendo || al número par y || al número impar.
Al mismo tiempo, constan estas leyes:
Que cuando || se agregan a una serie de números, resultan siempre de ello números que se suceden de dos en dos.
Que cuando se agrega || a cada uno de los números de la sucesión natural de todos los números, obtiénese la sucesión natural de todos los números de tres a doce.
Que || añadido a un número par dan un número par.
Que || añadido a un número impar da un número impar.
Que añadiendo siempre || a cada uno de los números de la sucesión natural de todos los números pares, obtiénese de nuevo una sucesión natural de todos los números pares de cuatro a doce.
De la misma manera se añadirán ||| y |||| a los números.
Añadiendo el ||| se tendrá una sucesión natural de números sucediéndose de tres en tres.
Añadiendo el |||| se obtendrá una sucesión natural de números sucediéndose de cuatro en cuatro.
He aquí una ley general: añadiendo un número a otro número, el número siguiente se aleja de este tantas veces como unidades contiene el número añadido.
«Añadan Vds. a cada número de la sucesión natural de todos los números el número que le sigue y vean lo que obtendrán.»
| | y || son ||| |
| || y ||| son ||||| |
| ||| y |||| son ||||||| etc. |
«¿Cuál es el tercer número? - ¿Cuál es el cuarto? O bien: digan a qué cifra de números pertenece tal o cual suma obtenida.»
Según otra ley, cuando a cada número de la sucesión natural de los números se añade el número que le sigue, se obtiene la sucesión natural de todos los números impares, de tres a nueve.
Idéntica experiencia se hará para la sucesión de los números pares y de los números impares.
Se enunciarán entonces las leyes siguientes:
Que un número par, añadido a un número par, da siempre un número par.
Que un número impar, añadido a un número impar, da siempre un número par.
Que un número par añadido a un número impar, da siempre un número impar.
También es ley general, que dos números semejantes, añadidos el uno al otro, dan siempre un número par; y que dos números diferentes, añadidos el uno al otro, dan un número impar.
El número, siguiendo cada uno de los números de la sucesión natural de todos los números pares, añadido a este número da siempre una sucesión, ascendente por cuatro, de números pares de seis a ocho.
El número, siguiendo cada uno de los números de la sucesión natural de los números impares, añadido a este número, da siempre una sucesión, ascendente por cuatro, de números pares de ocho a diez y seis.
Lo que hasta aquí se ha hecho con el número dos puede hacerse con el número tres y con los demás números. Por ejemplo:
||, || y |, ¿cuánto hacen?
No debe comenzarse sino con números bajos y no ir desde luego más allá de treinta. De nuevo insistimos sobre la necesidad de la demostración por la palabra y el signo, y sobre la de las preguntas y respuestas que emanan de la representación misma.
Importa adicionarlo así: el primero y el segundo número;
Después el primero, el segundo, el tercero;
Después el primero, el segundo, el tercero, el cuarto, etc., en la sucesión natural de todos los números: se interrogará así:
«¿Qué sumas producen el primero y el segundo número?
»¿Qué suma producen el primero, el segundo y el tercero?
»¿Qué total da la adición de todos los números de uno a diez?
»¿Qué suma representa la adición de todos los números impares de uno a diez?
»¿Qué suma representa la adición de todos los números impares de uno a diez?»
He aquí otras preguntas muy importantes.
«¿De cuánto es, en la sucesión natural de todos los números de uno a diez, la suma del primero y del último número?
»¿De cuánto es la suma del segundo número y del antepenúltimo número? ¿Cuál es la del tercer número y del ante antepenúltimo número de la sucesión de los números de uno a diez?
»¿Cuál es esta suma en sus diferentes casos?
Idénticos ejercicios con los números pares y con los números impares.
Ley general es, que las sumas de dos números alejados de las extremidades de una sucesión de números en la misma proporción ascendentes, son siempre iguales entre sí.
5º. Consideraremos unidades reunidas entre sí.
«Tracen Vds. en sus pizarras la sucesión natural de todos los números de uno a diez.»
El maestro dice, demostrando las líneas por él trazadas sobre el cuadro:
| | | La unidad hace un uno; |
| || | Dos unidades, consideradas como un todo, hacen un dos; |
| ||| | Tres unidades, consideradas como un todo, hacen un tres; etc. |
«Lo que es mirado como un todo, no dividido, titúlase una unidad.»
El maestro dice y los alumnos repiten:
| | | Un uno es una unidad simple; |
| || | Un dos es una unidad compuesta; |
| ||| | Un tres es una unidad compuesta; etc. |
«Tracen varias veces dos en sus pizarras;
»Tracen varias veces tres en sus pizarras;
»Tracen la sucesión natural de todos los dos, desde un dos hasta diez dos.»
El maestro y los alumnos dicen a la vez:
| || | Un dos no es ni un número par ni un número impar de dos. |
| || || | Dos dos es un número par de dos. |
| || || || | etc., etc. |
El ejercicio de las unidades reunidas es análogo al ejercicio de las unidades simples; bueno será, empero, este último ejercicio para los alumnos mas débiles de inteligencia y de comprensión que los otros.
Con el objeto de hacer concebir la relación del numero con la naturaleza, y la ley oculta en el número, hay este ejercicio capital:
6º. La manifestación de los números bajo todas las formas.
«¿Quién de entre Vds. podría representar la cantidad dos, de diferentes maneras?
»Que lo haga aquel que pueda hacerlo.
»¿Cómo puede representarse dos?
»Por dos (| |) o por un dos (||).
»¿Puede también representarse tres bajo diferentes formas?
»¿Cuáles son estas formas?
| | || | || | | ||| |
Puede también representarse cuatro de muchas maneras:
«Por ||||, ||| |, || ||, | | | |, por un cuatro, por un tres y un uno, por dos doses, y por cuatro unos, etc.»
Para los alumnos más jóvenes y menos adelantados no se irá más allá del siete.
Importa inquirir la ley que hace descubrir todas las formas bajo las cuales puede representarse el número.
Esta ley se descubre sin dificultad, cuando se sigue la marcha en la cual y por la cual las formas de números se desarrollan; sin embargo, a menos que esta enseñanza no se dirija a alumnos más adelantados que los que esta edad supone, queda todavía por buscar la conformidad de esta ley con la misma naturaleza del número.
He aquí esta ley: comprendiendo en ella todas las formas que no difieren entre ellas sino por su posición, cada número siguiente da siempre dos veces tantas formas como el número precedente, o bien:
Obtiénese el número de las formas de cada número, cuando se eleva en sí mismo dos, tan frecuentemente como unidades tiene el número determinante, menos una. Por ejemplo, 4 da: (4-1=3)=23=8 formas.
7º. La disminución o la anulación del número al exterior se demostrará por la representación en sentido inverso de lo que ha sido hecho hasta aquí para el acrecentamiento del número; se presentará de nuevo a los alumnos las mismas leyes, aunque aplicadas en sentido inverso.
8º. Formación del número según leyes interiores, o formación de los números según la ley o el destino de otro número, o también formación del número por una progresión interior.
«Tracen Vds. en sus pizarras la sucesión natural de todos los números, de uno a diez; tomen de nuevo cada uno de los números de estas series, tantas veces como unidades tiene el uno, y vean lo que resulta de ello.»
Representan:
| | | | | | |
| || | | | || |
| ||| | | | ||| |
Uno tiene una unidad:
| | | tomado tantas veces como unidades tiene | o tomado | vez tan sólo, da |. |
| || | tomado tantas veces como unidades tiene || o tomado || veces tan sólo, da ||. |
| ||| | tomado tantas veces etc. |
O bien en otros términos
| | | según la ley de | repetido, | |
| || | según la ley de | repetido, || |
| ||| | según la ley de | repetido, ||| |
El maestro dice y los alumnos repiten juntos:
| | | según la ley de | elevado, da | |
| || | según la ley de | elevado, da || |
| ||| | según la ley de | elevado, da ||| |
O bien aún:
| | | vez | | da | | |
| || | veces | | dan | || |
| ||| | veces | | dan | ||| |
Después:
| | | vez | | da | | |
| || | veces | | dan | || |
| ||| | veces | | dan | ||| |
Finalmente:
| | | vez | | da | | |
| | | vez | || da | || |
| | | vez | ||| da | ||| |
«Alíneese la sucesión natural de todos los números de uno a diez sobre vuestra pizarra, y tómese siempre el uno tantas veces como unidades tiene cada número, y véase lo que de ahí resulta.»
Este ejercicio puede también hacerse de diferentes maneras.
Lo que fue hecho con el || y el ||| puede hacerse también con los números sucesivos.
El objeto de este ejercicio, que la palabra acompaña, es dar al alumno la significación verdadera e interior de la voz vez, y hacerle notar que esta voz supone la designación de otro número:
«Repítase primero el || tantas veces como unidades contiene cada uno de los números de la sucesión natural de los números.
»Luego cada número de la sucesión natural de todos los números tantas veces como unidades tiene el ||.
»Vean Vds. lo que de ambos casos resulta, y opongan, la una a la otra, ambas sucesiones de números.»
| vez || es || (dos) y || veces | son || (dos).
|| veces || son || || (cuatro) y || veces || son || || (cuatro).
||| veces || son || || || (seis) y || veces ||| son || || || (seis).
|||| veces || son || || || || (ocho) y || veces |||| son |||| |||| (ocho).
Pregúntese primero sobre una de las sucesiones de los números, y después sobre los dos de la misma línea.
Dos veces seis o seis veces dos, ¿es lo mismo?
«¿En qué difieren las dos formaciones del número catorce?»
Podránse repetir así y de diversas maneras las sucesiones de números por el tres y el cuatro, comparando ambas series entre ellas.
«¿Cuánto seis veces nueve hacen una vez?
»Al tomar cada uno de los miembros de la sucesión natural de todos los números tantas veces como unidades tiene el |, ¿qué resulta de ahí?
»Siempre el mismo número.»
«Al tomar un número tantas veces como unidades tiene el ||, ¿qué especie de número resulta?
»¿A qué especie de números pertenecen dos y cuatro?
»A los números pares.»
«¿Qué ley se deduce de ahí?
»Que todo número multiplicado por un número par da siempre un número par.»
«Multipliquen Vds. todo número por tres y por cinco, y vean lo que de ahí resulta.
»Resultan de ello números pares y números impares.»
»Y de ahí ¿qué ley?
»Que todo número de la sucesión natural de los números multiplicados por un número impar, da números pares o impares.»
Otras leyes se desprenden de éstas, a saber:
Que un número par multiplicado sea por un número par o por un número impar, da siempre un número par;
Que un número impar multiplicado por un número par, da un número par;
Que un número impar multiplicado por un número impar, da siempre un número impar.
9º. Del número cuaternario o cuadrado.
«Alíneense en las pizarras la sucesión de todos los números de uno a diez. Multiplíquese cada número por el número de unidades que tiene en sí mismo, y véase lo que de ahí resulta.
| | | vez | | | da | | (uno); |
| || | veces | || | dan | || || (cuatro); |
| ||| | veces | ||| | dan | ||| ||| ||| (nueve); |
«¿Qué han hecho Vds.?
»Hemos multiplicado cada número por el número de unidades que encierra.
»¿En otros términos?
»Hemos elevado cada número según la ley que le es peculiar.
»La cantidad o el número que resulta, cuando elevo el número en sí mismo y por sí mismo según la ley que le es propia, llámase número cuaternario o número cuadrado.
»¿Cuál es el número cuadrado de tal o cual cifra?
»¿De qué número es tal o cual número el número cuaternario o cuadrado, por ejemplo 64?»
El número del que otro número es el número cuadrado, es la raíz del número cuaternario o raíz cuadrada.
«¿Puede un número multiplicarse por un número cuadrado?
»Sí, por ejemplo, cinco, nueve veces.
»¿Puede un número cuadrado multiplicarse por otro número cuadrado?
»Sí, por ejemplo, nueve cuatro veces.»
10º. Representación de todas las formas en las cuales cada número puede formarse por la repetición, o representación de las diferentes maneras de representar todo número por la elevación del número.
«Vean Vds. de cuántas maneras pueden obtener || por la elevación.
»De dos maneras: sea que tome una vez || o que tome el | dos veces.
»Tracen Vds. en las pizarras todas las formas por las cuales cada número de la sucesión natural de todos los números hasta diez, se presenta por la repetición o la elevación, y vean lo que hay en ellas de notable.
»¿Se constituyen igualmente todos los números de diversas maneras por la repetición?
»No muchos números; por ejemplo, uno, dos, tres, no se constituyen sino de una manera doble, por la repetición y la elevación.
»¿Cuál es la doble manera por la cual estos números se constituyen siempre?
»Sea que el número se eleve según la ley de uno, de la unidad, o que el uno, la unidad, se eleve según la ley del número.
»Los números que sólo se constituyen de esta doble manera, por la elevación o la repetición, llámanse números fundamentales o números primeros.
»¿Cuáles son los números fundamentales o primeros?
»Nómbrenlos hasta treinta.
»¿Cuántos hay hasta diez? ¿Cuántos hasta veinte?
»¿Cuál es de uno a treinta el número que se represente de más variada manera por la repetición?
11º. De la disminución o anulación del número según las leyes interiores o por la repetición.
Los ejercicios que a ello se refieren, como también a las partes del número por ahí determinadas, y al contenido de un número en el otro, emanan naturalmente de los ejercicios precedentes.
12º. La comparación de los números según leyes exteriores, y finalmente:
13º. La comparación de los números según leyes interiores, serán sin dificultad demostradas a quien siga la marcha hasta ahora indicada.
Nos detendremos aquí, en la comparación del número, según las leyes interiores del número o por la forma exterior (vez), para este grado de desarrollo del alumno de esa edad.
El estudio del número en sus relaciones, como supone un estudio más extenso y una concepción más profunda del número, pertenece al siguiente grado del desarrollo del joven.